专题1.1 集合与简易逻辑（考点精讲）-2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题1.1 集合与简易逻辑 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：集合的基本概念 4 考点二：集合间的基本关系 6 考点三：集合的基本运算 7 考点四：Venn图 8 考点五：充分必要条件 9 考点六：全称量词与存在量词 10 【考纲要求】 1.集合 （1）集合的概念与表示：了解集合的含义；了解全集与空集的含义；理解元素与集合的属于关系；能用符号语言刻画集合. （2）集合的基本关系：理解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集. （3）集合的基本运算：能求两个集合的交集、并集；能求子集的补集. （4）能使用 Venn 图表达集合的基本关系与基本运算. （5）理解区间的含义. 2.常用逻辑用语 （1）理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解命题中条件与结论的关系. （2）全称量词命题与存在量词命题及其否定. 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 4. 充分条件、必要条件、充要条件的判断 5. 全称量词命题与存在量词的应用 【知识导图】 【知识清单】 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 运算性质 A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 4.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 __p⇒q__ pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 5.充要条件 1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作__p⇔q__，此时p是q的充分必要条件，简称__充要条件__． 2．条件与结论的等价性：如果p是q的__充要条件__，那么q也是p的__充要条件__． 3．概括：如果__p⇔q__，那么p与q互为__充要条件__． 6.全称量词与全称量词命题 1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__全称量词__，并用符号“__∀__”表示． 2．全称量词命题：含有__全称量词__的命题，叫做全称量词命题． 3．全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为__∀x∈M，p(x)__． 4．全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可． 7.存在量词与存在量词命题 1．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__存在量词__，并用符号“__∃__”表示． 2．存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做__存在量词命题__． 3．存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__∃x∈M，p(x)__． 4．存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在集合M中，能找到一个元素x，使p(x)成立即可；否则这一命题就是假命题． 8.全称量词命题的否定 全称量词命题p ¬p 结论 ∀x∈M，p(x) __∃x∈M，¬p(x)__ 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定 存在量词命题p ¬p 结论 ∃x∈M，p(x) __∀x∈M，¬p(x)__ 存在量词命题的否定是全称量词命题 【考点分类剖析】 考点一：集合的基本概念 例1．下列各对象可以组成集合的是（    ） A．清华大学2024年入校的全体学生 B．我国十四届全国人大二次会议的全体参会成员 C．中国著名的天文学家 D．不等式x－1＞0的实数解 例2．已知a∈R，且a∉Q，则a可以为(　 　) A．　　　　　　　　 B． C．－2 D．－ 例3．下列元素与集合的关系判断正确的是__ __(填序号)． ①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤∉R． 例4．若，则a的值为______. 例5．下列集合中恰有2个元素的集合是(　 　) A．{x2－x＝0}　　　　　　 B．{y|y2－y＝0} C．{x|y＝x2－x} D．{y|y＝x2－x} 【变式探究】1.下列各组对象： ①某个班级中身高较小的女同学；②联合国安理会常任理事国；③2024年在法国举行的第24届冬奥会的所有参赛运动员；④的所有近似值． 其中能够组成集合的是__ __． 2.下列关系中，正确的是__. ①；②；③|﹣20|∉N*；④；⑤﹣5∉Z；⑥0∈N. 3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．设x∈N，且∈N，则x的值可能是(　 　) A．0 B．1 C．－1 D．0或1 5．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为(　 　) A．{0,1} B．{(0,1)} C． D． 考点二：集合间的基本关系 例1. 下列与集合表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若集合，，且，则______． 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 例2. 设集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知，若，则__________． 考点三：集合的基本运算 例3. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例4．已知集合，，则（    ） A． B．（1，3） C． D． 例5. 已知全集，集合，，则（    ） A．{2，4} B．{6，8，10} C．{6，8} D．{2，4，6，8，10} 例6. 已知集合，，则 ___________； 【变式探究】1. 设集合，，，则集合B＝___． 2. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．集合，，则=（   ） A． B． C． D． 4. 已知集合，则_________． 考点四：Venn图 例1. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A． B． C． D． 例2．已知全集，集合，，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式探究】1.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 考点五：充分必要条件 例1. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若a∈Q，则a∈R； ②若a＜b，则＜1； ③若x＞1，则x2＞1； ④若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； ⑤若△ABC中，若A＞B，则BC＞AC； ⑥已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0． 例2. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ ①若|x|＝|y|，则x＝y； ②若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； ③p：x＝1，q：x－1＝； ④p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5； ⑤p：a是自然数，q：a是正整数； ⑥p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形． 例3.判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ ①在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC； ②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； ③p：|x|＞3，q：x2＞9． 【变式探究】1. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？ (1)若x2＝y2，则x＝y； (2)若内错角相等，则两直线平行； (3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数； (4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0． 2. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若a是1的平方根，则a＝1． (2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12． (3)若a是无理数，则a是无限小数． (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等． 3. a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　 　) A．ab＝0　　　　 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 考点六：全称量词与存在量词 例1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)梯形的对角线相等； (2)存在一个四边形有外接圆； (3)二次方程都存在实数根； (4)过平面内两点有且只有一条直线． 例2.判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，x2＋1＞； (2)∃α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2； (3)存在一个数既是偶数又是负数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立． 例3.写出下列全称量词命题的否定： ①任何一个平行四边形的对边都平行； ②∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根； ③∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； ④可以被5整除的整数，末位是0． 例4. 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． ①p：存在x∈R,2x＋1≥0； ②q：存在x∈R，x2－x＋＜0； ③r：有些分数不是有理数． 【变式探究】1. 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)对任意的n∈Z,2n＋1是奇数； (2)有些三角形不是等腰三角形； (3)有的实数是无限不循环小数； (4)所有的正方形都是矩形． 2. 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)∃x，y∈Z，使3x－4y＝20； (4)任何数的0次方都等于1． 3. 写出下列全称量词的否定： (1)∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2； (2)任何一个实数除以1，仍等于这个数； (3)所有分数都是有理数； (4)任意两个等边三角形都相似． 4. 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (3)在同圆中，同弧所对的圆周角相等； (4)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合与简易逻辑 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：集合的基本概念 4 考点二：集合间的基本关系 7 考点三：集合的基本运算 8 考点四：Venn图 10 考点五：充分必要条件 12 考点六：全称量词与存在量词 15 【考纲要求】 1.集合 （1）集合的概念与表示：了解集合的含义；了解全集与空集的含义；理解元素与集合的属于关系；能用符号语言刻画集合. （2）集合的基本关系：理解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集. （3）集合的基本运算：能求两个集合的交集、并集；能求子集的补集. （4）能使用 Venn 图表达集合的基本关系与基本运算. （5）理解区间的含义. 2.常用逻辑用语 （1）理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解命题中条件与结论的关系. （2）全称量词命题与存在量词命题及其否定. 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 4. 充分条件、必要条件、充要条件的判断 5. 全称量词命题与存在量词的应用 【知识导图】 【知识清单】 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 运算性质 A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 4.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 __p⇒q__ pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 5.充要条件 1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作__p⇔q__，此时p是q的充分必要条件，简称__充要条件__． 2．条件与结论的等价性：如果p是q的__充要条件__，那么q也是p的__充要条件__． 3．概括：如果__p⇔q__，那么p与q互为__充要条件__． 6.全称量词与全称量词命题 1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__全称量词__，并用符号“__∀__”表示． 2．全称量词命题：含有__全称量词__的命题，叫做全称量词命题． 3．全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为__∀x∈M，p(x)__． 4．全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可． 7.存在量词与存在量词命题 1．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__存在量词__，并用符号“__∃__”表示． 2．存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做__存在量词命题__． 3．存在量词命题的表述形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为__∃x∈M，p(x)__． 4．存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在集合M中，能找到一个元素x，使p(x)成立即可；否则这一命题就是假命题． 8.全称量词命题的否定 全称量词命题p ¬p 结论 ∀x∈M，p(x) __∃x∈M，¬p(x)__ 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定 存在量词命题p ¬p 结论 ∃x∈M，p(x) __∀x∈M，¬p(x)__ 存在量词命题的否定是全称量词命题 【考点分类剖析】 考点一：集合的基本概念 例1．下列各对象可以组成集合的是（    ） A．清华大学2024年入校的全体学生 B．我国十四届全国人大二次会议的全体参会成员 C．中国著名的天文学家 D．不等式x－1＞0的实数解 [解析]　“著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C． 例2．已知a∈R，且a∉Q，则a可以为(　A　) A．　　　　　　　　 B． C．－2 D．－ [解析]　∈R，且∉Q，故选A． 例3．下列元素与集合的关系判断正确的是__①④__(填序号)． ①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤∉R． [解析]　π，为无理数，为实数，故填①④． 例4．若，则a的值为______. 【答案】 【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答. 【详解】因为，则当，即，此时，矛盾， 若，解得，此时，，符合题意，即， 而，即， 所以a的值为. 故答案为： 例5．下列集合中恰有2个元素的集合是(　B　) A．{x2－x＝0}　　　　　　 B．{y|y2－y＝0} C．{x|y＝x2－x} D．{y|y＝x2－x} [解析]　选项A是以方程为元素的集合，其中只有一个元素．B选项中化简得{0,1}符合题意．C选项是个无限集，D选项也是无限集． 【变式探究】1.下列各组对象： ①某个班级中身高较小的女同学；②联合国安理会常任理事国；③2024年在法国举行的第24届冬奥会的所有参赛运动员；④的所有近似值． 其中能够组成集合的是__②③__． [解析]　①中的“身高较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③． 2.下列关系中，正确的是__. ①；②；③|﹣20|∉N*；④；⑤﹣5∉Z；⑥0∈N. 【答案】①②⑥ 【分析】根据元素与集合的关系进行判断即可. 【详解】①，正确； ②，正确； ③因为|﹣20|＝20∈N*，则|﹣20|∉N*，错误； ④因为；则，错误； ⑤﹣5∉Z，错误； ⑥0∈N.正确； 所以正确的是①②⑥. 故答案为：①②⑥ 3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素． 4．设x∈N，且∈N，则x的值可能是(　B　) A．0 B．1 C．－1 D．0或1 [解析]　∵－1∉N，∴排除C；0∈N，而无意义，排除A、D，故选B． 5．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为(　B　) A．{0,1} B．{(0,1)} C． D． [解析]　解方程组得 故该集合为{(0,1)}． 考点二：集合间的基本关系 例1. 下列与集合表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐个选项分析特征，选择符合题意的. 【详解】方程的解为或，所以，C选项正确； A选项不是集合，BD选项表示的是点集，只有C选项符合. 故选：C 【变式探究】若集合，，且，则______． 【答案】0 【分析】利用两个集合相等结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】因为集合，所以解得或， 当时不满足集合元素互异性的要求舍去， 当时，， 故答案为：0 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 例2. 设集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化简，即可由集合间的关系求解. 【详解】由，所以Ü， 故选：B 【变式探究】已知，若，则__________． 【答案】 【分析】解方程求集合B，然后根据包含关系可得. 【详解】由得， 因为，所以. 故答案为： 考点三：集合的基本运算 例3. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集概念即可求得结果. 【详解】根据交集定义，由运算可得. 故选：A 例4．已知集合，，则（    ） A． B．（1，3） C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合B，然后再求两集合的并集即可. 【详解】由，得，解得或， 所以或， 因为， 所以， 故选：C 例5. 已知全集，集合，，则（    ） A．{2，4} B．{6，8，10} C．{6，8} D．{2，4，6，8，10} 【答案】C 【分析】先求出集合的补集，再求即可 【详解】因为全集，集合， 所以， 因为， 所以， 故选：C 例6. 已知集合，，则 ___________； 【答案】 【分析】解方程组求出交集中的元素，再根据列举法可得答案. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：. 【变式探究】1. 设集合，，，则集合B＝___． 【答案】 【分析】首先由和求出全集，再根据，即可求出． 【详解】因为，， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：． 2. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的定义计算即可. 【详解】由题意得. 故选：C 3．集合，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集与补集的定义求解即可. 【详解】因为集合，所以，所以. 故选：B. 4. 已知集合，则_________． 【答案】 【分析】求直线的交点可得. 【详解】由，解得，所以． 故答案为：. 考点四：Venn图 例1. 集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析图中阴影部分表示的集合是，再由集合的运算，分别算出对应集合即可得出答案. 【详解】集合 ， ∴图中阴影部分表示的集合为： 故选：B 例2．已知全集，集合，，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案. 【详解】， 阴影部分表示集合为. 故选：D 【变式探究】1.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据Venn图，结合集合的运算，可得正确结果. 【详解】易知图中阴影部分所表示的集合为 ， 易知 ， ， 所以 . 故选：C 2．已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出阴影为，在直接计算即可. 【详解】图中阴影部分为，因为，， 所以，. 故选：A. 考点五：充分必要条件 例1. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若a∈Q，则a∈R； ②若a＜b，则＜1； ③若x＞1，则x2＞1； ④若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； ⑤若△ABC中，若A＞B，则BC＞AC； ⑥已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0． [解析]　(1)4＞3.14，则x＞4能推出x＞3.14， 故选C． (2)①由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． ②由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1， 因此pq，所以p不是q的充分条件． ③由x＞1可以推出x2＞1．因此p⇒q， 所以p是q的充分条件． ④由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3， 因此pq，所以p不是q的充分条件． ⑤由三角形中大角对大边可知，若A＞B，则BC＞AC．因此p⇒q，所以p是q的充分条件． ⑥因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q， 所以p是q的充分条件． 例2. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ ①若|x|＝|y|，则x＝y； ②若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； ③p：x＝1，q：x－1＝； ④p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5； ⑤p：a是自然数，q：a是正整数； ⑥p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形． [解析]　(2)①若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y， 因此pq，所以q不是p的必要条件； ②直角三角形不一定是等腰三角形． 因此pq，所以q不是p的必要条件； ③当x＝1时，x－1＝＝0， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件； ④当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立， 所以pq，所以q不是p的必要条件； ⑤0是自然数，但是0不是正整数，所以pq， 所以q不是p的必要条件； ⑥等边三角形一定是等腰三角形， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 例3.判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ ①在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC； ②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； ③p：|x|＞3，q：x2＞9． [解析]　①在△ABC中，显然有∠A＞∠B⇔BC＞AC， 所以p是q的充要条件． ②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件． ③由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件． 【变式探究】1. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？ (1)若x2＝y2，则x＝y； (2)若内错角相等，则两直线平行； (3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数； (4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0． [解析]　(1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (2)若内错角相等，则两直线平行是真命题， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)若整数a能被4整除，则a是偶数， 所以a的个位数字为偶数； 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 2. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若a是1的平方根，则a＝1． (2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12． (3)若a是无理数，则a是无限小数． (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等． [解析]　(1)1的平方根是±1， 所以pq，所以q不是p的必要条件． (2)因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2， 所以m＝±12，所以pq， 所以q不是p的必要条件． (3)因为无理数是无限不循环小数， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 3. a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　D　) A．ab＝0　　　　 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 [解析]　a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0． 考点六：全称量词与存在量词 例1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)梯形的对角线相等； (2)存在一个四边形有外接圆； (3)二次方程都存在实数根； (4)过平面内两点有且只有一条直线． [解析]　(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题． (2)命题为存在量词命题． (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故为全称量词命题． (4)命题是命题“过平面内任意两点有且只有一条直线”的简写，故为全称量词命题． 例2.判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，x2＋1＞； (2)∃α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2； (3)存在一个数既是偶数又是负数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立． [分析]　对于全称量词命题，判断为真，需要证明，判断为假，举出反例；对于存在量词命题，判断为真，举出特例，判断为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假． [解析]　(1)真命题，因为x2＋1－＝x2＋， 因为x2≥0，所以x2＋1≥1，x2＋1＞恒成立． (2)真命题，例如α＝0，β＝1，符合题意． (3)真命题，如数－2，－4等，既是偶数又是负数． (4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数． (5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解． 例3.写出下列全称量词命题的否定： ①任何一个平行四边形的对边都平行； ②∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根； ③∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； ④可以被5整除的整数，末位是0． [解析]　(3)①存在一个平行四边形，它的对边不都平行． ②∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根． ③∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． ④存在被5整除的整数，末位不是0． 例4. 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． ①p：存在x∈R,2x＋1≥0； ②q：存在x∈R，x2－x＋＜0； ③r：有些分数不是有理数． [解析]①任意x∈R,2x＋1＜0，为假命题． ②任意x∈R，x2－x＋≥0． 因为x2－x＋＝(x－)2≥0，所以是真命题． ③一切分数都是有理数，是真命题． 【变式探究】1. 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)对任意的n∈Z,2n＋1是奇数； (2)有些三角形不是等腰三角形； (3)有的实数是无限不循环小数； (4)所有的正方形都是矩形． [解析]　(1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题． (2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题． (3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题． (4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题． 2. 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)∃x，y∈Z，使3x－4y＝20； (4)任何数的0次方都等于1． [解析]　(1)全称量词命题．在平面直角坐标系中， 任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在量词命题．存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (3)存在量词命题．取x＝0，y＝－5时，3×0－4×(－5)＝20成立，所以该命题是真命题． (4)全称量词命题．0的0次方无意义，所以该命题是假命题． 3. 写出下列全称量词的否定： (1)∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2； (2)任何一个实数除以1，仍等于这个数； (3)所有分数都是有理数； (4)任意两个等边三角形都相似． [解析]　(1)该命题的否定： ∃x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|＜2． (2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数． (3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数． (4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似． 4. 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (3)在同圆中，同弧所对的圆周角相等； (4)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小． [解析]　(1)假命题．任意一个梯形的对角线都不互相平分． (2)真命题．∀x∈{x|x是无理数}，x2是有理数． (3)真命题．在同圆中，同弧所对的圆周角不相等． (4)真命题．任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$