精品解析：上海市金山区蒙山中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2024-2025学年上海市金山区蒙山中学九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题（本题共有6题，每题4分，满分24分） 1. 下列四个命题中，真命题是（　　） A. 直角三角形都相似 B. 等腰三角形都相似 C. 等腰直角三角形都相似 D. 三角形都相似 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似图形的判断，掌握相似图形的判定方法是解题的关键．根据三角形相似的判定方法对各命题逐条进行分析，即可得出结果． 【详解】解：当一个直角三角形的一个锐角是，另一个直角三角形的一个锐角是时， 显然这两个直角三角形不相似．故A选项不符合题意． 当一个等腰三角形的顶角是，另一个等腰三角形的顶角是时， 显然这两个等腰三角形不相似．故B选项不符合题意． 因为所有的等腰直角三角形的三个内角都是， 所以等腰直角三角形都相似．故C选项符合题意． 因为直角三角形和钝角三角形不相似， 所以三角形都相似是错的．故D选项不符合题意． 故选：C． 2. 若，则下列等式不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质判断即可，掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】解；A、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； B、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； C、根据比例的基本性质可以得到，故选项不符合题意； D、根据比例的基本性质可以得到，不能推出，故选项符合题意； 故选：D． 3. 如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的面积比为， 故选：C． 4. 在中，点、分别在线段、上，下列比例式中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握两组对边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】解：A. ∵，， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； B.∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴，故B不符合题意； C.∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故C不符合题意； D. 不等得到，故D符合题意； 故选D． 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 6. 如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　） A. P是边的中点 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用正方形的性质和相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A．∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是正方形的边的中点， ∴ 当P是中点时， ∴， ∴， ∴不能推出与相似，故A符合题意； B．∵， ∴，故选项B不符合题意； C．∵，， ∴，故选项C不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本题共有12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，先根据得出，然后再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 8. 已知a、b、c是线段．且c是a、b的比例项，若a＝6cm，b＝8cm，则c=____cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据成比例线段的性质求解即可． 【详解】 a、b、c是线段．且c是a、b的比例项， a＝6cm，b＝8cm， 故答案为： 【点睛】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键． 9. 已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点P是线段的一个黄金分割点，且， ∴， 故答案为： 10. 在比例尺为的一张地图上，量得A、B两地的距离是，那么A、B两地的实际距离是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，设A、B两地的实际距离是，根据比例尺为，列出方程，解比例即可． 【详解】解：设A、B两地的实际距离是， 根据题意得， 解得：， ， ∴A、B两地的实际距离是． 故答案为：3． 11. 已知，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理得到，则，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为： 12. 如图，、相交于，且，若，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质定理．由，得，即得，故． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ； 故答案为：． 13. 已知：如图， ，若，那么_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据，得出，则，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 14. 已知在等腰中，，点G是重心，如果，，那么_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、重心等知识点，掌握重心到顶点的距离等于对应中线的三分之二成为解题的关键． 如图：延长与交于点M，根据等腰三角形的性质求出、，再根据勾股定理求出，最后根据重心的性质计算即可． 【详解】解：如图：延长与交于点M， ∵点G是的重心，且， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． 又∵点G是的重心， ∴． 故答案为：8． 15. 已知：已知：如图，中，在延长线上，连接交于点，若，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．由四边形是平行四边形，得，，可得，故，知，设，则，有，从而． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ； 故答案为：． 16. 如图，＝3，G为AF的中点，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】作FHAC交BG于点H，先证明△FGH≌△AGE，得GH＝GE＝HE，设GH＝GE＝m，则HE＝2m，由FHAC得△BFH∽△BCE，则，可推导出BH＝6m，BG＝7m，BE＝8m，即可求得结果． 【详解】解：如图，作FHAC交BG于点H， ∵∠FHG＝∠AEG，∠FGH＝∠AGE，FG＝AG， ∴△FGH≌△AGE（AAS）， ∴GH＝GE＝HE， 设GH＝GE＝m，则HE＝2m， ∵FHAC， ∴△BFH∽△BCE， ∵＝3， ∴， ∴ ∴BH＝6m， ∴BG＝BH+GH＝6m+m＝7m，BE＝BH+HE＝6m+2m＝8m， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 17. 如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为___________． 【答案】10.5 【解析】 【分析】根据题干信息判定和相似，从而求出相似比，结合平行线间的性质求出，同理求出，，即可得出结论． 【详解】由平行可得相似， 根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方， 得：， 根据平行线间的距离相等， 得：， 则， 同理，， ∴三个阴影三角形面积之和， 故答案为：10.5． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法以及基本性质是解题关键． 18. 如图，在中，，点D是的中点，以直线为折痕，将翻折到处，与直线相交于点E，则线段的长为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想的应用以及折叠中的对应关系成为解题的关键． 根据勾股定理以及直角三角形的性质可得、、，再根据折叠的性质可得，得，再根据三角形面积公式可求得，最后再运用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴，， ∴， 由翻折得点与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 已知，且，求x、y、z的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质，设，得到，代入解答即可． 本题考查了比例的基本性质，设是解题的关键． 【详解】解：设，则， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20. 已知：如图，点是的边上的一点， ，交于点，点在的延长线，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，由可得，进而可得，由此即可证明，，继而得出，根据平行四边形定义即可得出结论． 【详解】略． 21. 已知，，点、分别在边、上，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）； （2） ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得结论； （1）先证明，进而可得，再利用相似三角形的对应边成比例计算即可； （2）根据线段长计算可得，进而可证明，由此可得，根据同位角相等两直线平行可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长(结果精确到0.01米)． 【答案】小军身高BE的长约为1.75米． 【解析】 【分析】先利用相似三角形的性质求出MN的长度，再利用相似三角形的性质求出EB的长度就可． 【详解】由题意可知∠CAD=∠MND="90°," ∠CDA=∠MDN ∴△CAD∽△MND ∴ 即 ∴ MN=9．6 又∵∠EBF=∠MNF=90°,∠EFB=∠MNF ∴△EBF∽△MNF ∴ 即 ∴ EB=1．75 所以小军身高BE的长为1．75米． 23. 已知：如图，在中，点M、N分别在边上，点P是上一点，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2） ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解题的关键． （1）由可证得，然后由相似三角形的对应边成比例即可证明结论； （2）由可证得可得，又由可得，则可证得，最后根据相似三角形的对应角相等即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，． ，， ． 在与中， ． （2）6 【解析】 【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ． 由（1）知， ， ． ，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 25. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F，连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）． （1）当t为何值时，△APM与△ACB相似？ （2）设四边形PQCM的面积为y，求y与t之间的函数关系式； （3）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）y＝t2﹣8t+40 （3）存在，t＝s时点M在线段PC的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）假设△APM与△ACB相似，根据相似三角形的性质得到PM∥BC，进而得到AP＝AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值； （2）过点P作PE垂直AC．由PQ运动的速度和时间t可知线段BP＝t，根据PQAC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形，即BP＝PQ＝t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE＝DF＝8﹣t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM＝2t，所以梯形的下底CM＝10﹣2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式； （3）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP＝MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值． 【小问1详解】 ∵△APM∽△ABC， ∴PMBC， ∴AP＝AM， ∴10﹣t＝2t， ∴t＝； 【小问2详解】 ∵四边形PQCM为梯形，y＝， ∵PQ＝PB＝t，MC＝10﹣2t，BF：BD＝BP：AB ∴BF＝， ∴DF＝8﹣t， ∴y＝（t+10﹣2t）•（8﹣t）＝； 【小问3详解】 假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC， 过M作MH⊥AB，交AB于H， ∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°， ∴△AHM∽△ADB， ∴，又AD＝＝6， ∴， ∴HM＝t，AH＝t， 即HP＝10﹣t﹣t＝10﹣t， 在直角三角形HMP中，， 又∵， ∵， 即， 解得：＝，＝0（舍去）， ∴t＝s时点M在线段PC的垂直平分线上． 【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用．第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例，进而求出关系式，第三问属于探究性试题，需要采用“逆向思维”，都应先假设存在这样的情况，从假设出发作为已知条件，寻找必要条件，从而达到解题的目的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市金山区蒙山中学九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题（本题共有6题，每题4分，满分24分） 1. 下列四个命题中，真命题是（　　） A. 直角三角形都相似 B. 等腰三角形都相似 C. 等腰直角三角形都相似 D. 三角形都相似 2. 若，则下列等式不正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，点、分别在线段、上，下列比例式中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 6. 如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　） A. P是边的中点 B. C. D. 二、填空题（本题共有12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么________． 8. 已知a、b、c是线段．且c是a、b的比例项，若a＝6cm，b＝8cm，则c=____cm． 9. 已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么______. 10. 在比例尺为的一张地图上，量得A、B两地的距离是，那么A、B两地的实际距离是________． 11. 已知，，，则的长为______． 12. 如图，、相交于，且，若，，，则__________． 13. 已知：如图， ，若，那么_______． 14. 已知在等腰中，，点G是重心，如果，，那么_______． 15. 已知：已知：如图，中，在延长线上，连接交于点，若，那么________． 16. 如图，＝3，G为AF的中点，则＝_____． 17. 如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为___________． 18. 如图，在中，，点D是的中点，以直线为折痕，将翻折到处，与直线相交于点E，则线段的长为 __________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 已知，且，求x、y、z的值． 20. 已知：如图，点是的边上的一点， ，交于点，点在的延长线，且．求证：四边形是平行四边形． 21. 已知，，点、分别在边、上，，． （1）求的长； （2）求证：． 22. 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长(结果精确到0.01米)． 23. 已知：如图，在中，点M、N分别在边上，点P是上一点，且． （1）求证：； （2）求证：． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 25. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F，连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）． （1）当t为何值时，△APM与△ACB相似？ （2）设四边形PQCM的面积为y，求y与t之间的函数关系式； （3）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $