精品解析：广西壮族自治区河池市河池市十校2024-2025学年高二上学期第一次联考（10月）数学试题

2024年秋季学期高二年级校联体第一次联考 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 经过，两点的直线的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 经过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 点在直线上，为原点，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 如图，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 直线恒过定点 D. 若，则直线与直线垂直 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为上的动点，则的最小值为 C. 点到直线的距离为 D. 平面与平面相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，则________． 13. 设，分别是空间中两个不重合的平面，的法向量，且，，则平面，的位置关系是________． 14. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为，在轴上的截距为； （3）经过，两点. 16. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求： （1）向量，，的坐标； （2）异面直线与所成角的余弦值. 17. 已知直线，，其中为实数， （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且平行于直线的直线方程． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 19. 如图1，平面图形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，点是中点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）． （1）当二面角为直二面角时，求点到平面的距离； （2）在（1）的条件下，设点为线段上任意一点（不与，重合），求二面角的余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期高二年级校联体第一次联考 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， 则有，即. 故选：B. 2. 经过，两点的直线的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】代入斜率公式求解即可. 【详解】经过，两点的直线的斜率. 故选：. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量数量积坐标公式得到方程，求出答案. 【详解】，解得. 故选：C 4. 若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜截式方程的定义求解即可. 【详解】直线的斜率，在轴上的截距. 故选：D. 5. 经过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的倾斜角求得斜率，再根据直线的点斜式方程化简即得. 【详解】依题意，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得， 即. 故选：A 6. 点在直线上，为原点，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式直接求出原点到直线的距离，即为的最小值. 【详解】原点到直线上的点的距离的最小值为原点到直线的距离， 由点到线的距离公式可得原点到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：C. 7. 如图，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可. 【详解】在长方体中，为与的交点， 因为，，， 则，， 所以 故选：B. 8. 已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，数形结合求出直线的斜率的取值范围. 【详解】直线的方程化为，由，解得， 因此直线过定点，线的斜率，直线的斜率， 由直线与线段总有公共点，得直线的斜率有或， 又直线的斜率， 所以直线的斜率的范围为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的坐标运算与表示，共线向量的坐标运算，共面向量定理，逐项判定，即可求解. 【详解】由向量， 可得，，所以A、B正确； 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以向量与向量不共线，所以C错误； 设，可得， 所以，解得，所以共面，所以D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 直线恒过定点 D. 若，则直线与直线垂直 【答案】CD 【解析】 【分析】A化为斜截式判断；B特殊值判断即可；C化为，即可确定定点；D将参数代入直线方程即可判断. 【详解】A：将直线化为斜截式，有，即直线斜率为，错； B：当时，直线为也过第三象限，错； C：， 令，即直线过定点，对； D：由题设，，显然两线垂直，对. 故选：CD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为上的动点，则的最小值为 C. 点到直线的距离为 D. 平面与平面相交 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，故故与平面不平行，A错误；B选项，将两平面展开到一个平面内，利用勾股定理求出最小值；C选项，利用点到直线距离向量公式求出答案；D选项，求出平面的法向量，与平面的法向量不平行，得到两平行相交. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 所以， 故与平面不平行，A错误； B选项，把平面与平面以为公共边展开到同一平面内，如图， 连接与相交于点，此时最小， 最小值为，B正确； C选项，，，， ， 点到直线的距离为，C错误； D选项，，所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 显然与不平行，故平面与平面不平行， 又两平面不重合，故两平面相交，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由空间两点距离公式可得答案. 【详解】由题，. 故答案为： 13. 设，分别是空间中两个不重合的平面，的法向量，且，，则平面，的位置关系是________． 【答案】平行 【解析】 【分析】利用向量共线关系，即可判断两平面是平行的. 【详解】因为，， 所以，即， 则平面平面. 故答案为：平行 14. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】 分直线过原点不不过原点两种情况，当直线过原点时，设直线方程是，当直线不过原点时，这直线. 【详解】当直线过于原点时，设直线，代入点，得， 所以直线方程是，即， 当直线不过原点时，设直线方程，代入点，得，解得， 所以直线方程是. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为，在轴上的截距为； （3）经过，两点. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由直线的点斜式方程可得； （2）由直线的斜截式方程可得； （3）先求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程即得. 【小问1详解】 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； 【小问2详解】 由直线的斜截式方程可得直线方程为， 即； 【小问3详解】 由题意，直线的斜率为， 故由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即. 16. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求： （1）向量，，的坐标； （2）异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）写出相关点的坐标，进而结合向量运算的坐标表示即可求出向量的坐标； （2）利用空间向量法结合向量夹角余弦值公式即可求出异面直线夹角的余弦值. 【小问1详解】 依题意， ，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17. 已知直线，，其中为实数， （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且平行于直线的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两条直线平行求得，然后求平行直线距离即可； （2）先求两个直线的交点，然后设平行直线的方程，求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，解得， 所以， 此时直线，之间的距离为. 【小问2详解】 由题可知，，联立，解得， 所以与的交点坐标为. 设所求直线为，所以有，得， 所求直线为. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，又由于为棱的中点，则在正方体中可得： 则四边形是平行四边形，所以； 又由于为棱的中点，又可得 则四边形是平行四边形，所以； 由平行的传递性可知：， 又因为平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过取的中点为，再利用线线平行即可证明线面平行； （2）利用空间向量法可直接求出二面角的余弦值； （3）利用空间向量法可先求出线面角的正弦值，再利用同角关系求出余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，在棱长为2的正方体中，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即 令，则，所以， 由于平面与轴垂直，则平面的法向量可取， 所以， 由图可看出二面角一定是锐角，所以可设它为， 则， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）得，平面的法向量可取， 则， 设直线与平面所成角为，则， 所以 即直线与平面所成角的余弦值为． 19. 如图1，平面图形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，点是中点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）． （1）当二面角为直二面角时，求点到平面的距离； （2）在（1）的条件下，设点为线段上任意一点（不与，重合），求二面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离. （2）设，求得点坐标，表示出二面角的余弦值，再求其范围. 【小问1详解】 ∵，，∴． 点是中点，，∴， 结合折叠前后图形的关系可知， ∵二面角为直二面角，则侧面底面， 侧面底面， ∴平面， 易知，，两两垂直． 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为， 则，取，得，， 则为平面的一个法向量， 则点到平面的距离． 【小问2详解】 设点满足（）． ∵，∴， ∴， ∴． 设平面的法向量为， 又∵，， ∴， 取，则，， 取为平面的一个法向量． 易知平面的一个法向量为， 二面角的余弦值为 ， 由，所以，则， 所以二面角的余弦值的取值范围为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $