特训04 期中解答压轴题（上海最新精选，八大题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

特训04 期中解答压轴题（上海最新精选，八大题型） 目录： 题型1：整式的加减的几何应用 题型2：整式的乘法的几何应用 题型3：完全平方公式的几何应用 题型4：平方差公式的几何应用 题型5：乘法公式综合的几何应用 题型6：因式分解综合 题型7：整式的除法 题型8：第11-12章代数应用综合、图形规律题 题型1：整式的加减的几何应用 1．（23-24七年级上·上海闵行·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、，图中阴影部分是正方形．请用含有、的代数式分别表示正方形和正方形的边长．(其中)    2．（24-25七年级上·上海利达中学·月考）生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图①､②､③､④的顺序进行（其中阴影部分表示纸条的反面）： 如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，分别回答下列问题： （1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点与点的距离为3厘米，那么在图②中，__________厘米；在图③中，__________厘米；在图④中，__________厘米． （2）如果长方形纸条的宽为厘米，现不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离（结果用表示）． 题型2：整式的乘法的几何应用 3．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知：5张如图1所示的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，设长．未覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设左上角的阴影长方形的面积为，右下角的阴影长方形的面积为．    (1)请用、、的代数式分别表示． (2)如果，请用、、的代数式表示．（最后结果能化简的要化简） (3)当的长度变化时，如果始终保持不变，求、应满足的数量关系． 4．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）在长方形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．    (1)当，，，时，__________，__________． (2)当，时，__________，__________．（用a和b的代数式表示） (3)当时，的值是__________．（用a、b或a和b的代数式表示） 5．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积． 如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． （1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示） （2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示） （3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小． 6．（22-23七年级上·上海风华初级中学·期中）7张如图1的长为，宽为b的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．    (1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为____________（用含的代数式表示），长方形的面积为____________（用含的代数式表示） (2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，. ①用含的代数式表示； ②当的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S始终保持不变，那么必须满足什么条件? 7．（24-25七年级上·上海南洋模范·月考）阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 题型3：完全平方公式的几何应用 8．（22-23七年级上·上海虹口·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．    (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：__________；方法2：__________； (2)观察图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_________； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求的值． 9．（23-24七年级上·上海复旦五浦汇实验学校·期中）阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 解决问题 （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．    10．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值 （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积． 11．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读理解：“若x满足，求的值． 解：设，， 则，． 那么 ． 解决问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，正方形的边长为x，，，长力形的面积是10，四边形和都是正方形，四边形是长方形．求图中长方形的边长． 题型4：平方差公式的几何应用 12．（23-24七年级上·上海曹杨第二中学附属学校·期中）工厂接到订单，需要边长为（a＋3）和3的两种正方形卡纸． (1)仓库只有边长为（a＋3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a＋3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形． ①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）； ②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一组相邻的边长分别为多少？（用含a代数式来表示）； (2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多4，则的值为 ．（直接写出答案） 13．（23-24七年级上·上海青浦·期中）（1）如图①，在边长为的大正方形纸片上减去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中的阴影部分的面积，方法①___________；方法②_________________； 由此可以验证的乘法公式为_________________________． （2）类似地，在棱长为的大正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积，方法①___________________方法②___________________，由此可得某个多项式因式分解的等式为_______________________．并用所学过的知识说明这个等式成立． （3）利用（2）得到的等式分解式：．    题型5：乘法公式综合的几何应用 14．（23-24七年级上·上海实验学校西校·月考）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．如图1，小正方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为；如图2，若再在图1中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为；如图3，在大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若a＋b＝10，ab＝20，求的值； (3)当时，求的值． 15．（23-24七年级上·上海·期中）如图1，已知并排放置的正方形和正方形的边长分别为、， A、B、E三点在一直线上，且正方形和正方形的面积之差为 12． (1)用含有、的代数式，表示图中阴影部分的面积； (2)、，则四边形的面积是多少？ (3)图中正方形绕点B顺时针旋转后的对应图形， 连接、，若四边形的面积是，求、的值． 16．（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知正方形与正方形，，．根据下列条件平移正方形，解决下列问题．    (1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． 题型6：因式分解综合 17．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中　　　，　　　； (2)对于一元多项式，必定有f（　　）＝0； (3)请你用“试根法”分解因式：． 18．（22-23七年级上·上海青浦·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中_______， _______； (2)对于一元多项式，必定有（___）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 19．（22-23七年级上·上海杨浦·期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：  ，例如：  ，再如：  ．按照这种运算的规定：请解答下列各个问题： (1)  ______． (2)当  时，求x的值． (3)将下面式子进行因式分解：   20．（23-24七年级上·上海静安·期中）先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项．按照这个思路， (1)试把多项式分解因式； (2)试把多项式分解因式． 题型7：整式的除法 21．（22-23七年级上·上海闵行·期中）阅读下列材料，并解决问题． 材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式除以多项式时，一定存在一对多项式、，使得，其中余式的次数小于除式的次数． 例如：多项式除以多项式，商为，余式数为7，即有． 又如：多项式除以多项式，商为，余式数为0，即有，此时，多项式能被多项式整除． 问题： (1)多项式除以多项式，所得的商为　　． (2)多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为　　． (3)多项式分别能被和整除，则多项式除以的商为　　． 题型8：第11-12章代数应用综合、图形规律题 22．（22-23七年级上·上海宝山·期中）先阅读材料： 已知：不论取何值，代数式的值都相同，求的值． 解：因为不论取何值，代数式的值都相同，所以不妨设，得，即无论取什么值，代数式的值都等于； 再取，得，所以． 根据上述材料提供的方法，解决下列问题： 已知不论取什么值，等式永远成立，求的值． 23．（22-23七年级上·上海静安·期中）阅读并思考： 计算时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：47接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． (1)依此方法计算49： 第一步：49接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． (2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式． ． (3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性． (4)写出利用这个公式计算的过程． (5)计算也有一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221． 写出上述过程所依据的计算公式_______________________． (6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性． 24．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）发现与探索：你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手． 先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； 由此我们可以得到：___________． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （1）． （2）． 25．（22-23七年级上·上海长宁·期中）寻找公式，求代数式的值：从开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如表： 加数的个数 连续偶数的和 (1)根据上面的等式，你能发现当个连续的偶数相加时，它们的和___________． (2)按照此规律计算： 的值； 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 期中解答压轴题（上海最新精选，八大题型） 目录： 题型1：整式的加减的几何应用 题型2：整式的乘法的几何应用 题型3：完全平方公式的几何应用 题型4：平方差公式的几何应用 题型5：乘法公式综合的几何应用 题型6：因式分解综合 题型7：整式的除法 题型8：第11-12章代数应用综合、图形规律题 题型1：整式的加减的几何应用 1．（23-24七年级上·上海闵行·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、，图中阴影部分是正方形．请用含有、的代数式分别表示正方形和正方形的边长．(其中)    【答案】正方形的边长为，正方形的边长为 【分析】本题考查了列代数式、整式的混合运算，正方形的面积、长方形的面积，由于正方形分割成四个长方形、、、，所以四个长方形面积的和为正方形的面积，进而求出正方形的边长；再根据，求出，根据，求出，然后利用求出正方形的边长． 【解析】解： 所以，正方形的边长为 所以，正方形的边长为 2．（24-25七年级上·上海利达中学·月考）生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图①､②､③､④的顺序进行（其中阴影部分表示纸条的反面）： 如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，分别回答下列问题： （1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点与点的距离为3厘米，那么在图②中，__________厘米；在图③中，__________厘米；在图④中，__________厘米． （2）如果长方形纸条的宽为厘米，现不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离（结果用表示）． 【答案】（1）21；19；15；（2）（13−x）厘米． 【分析】（1）结合图形、根据旋转的性质计算即可； （2）根据纸条两端超出点P的长度相等、轴对称图形的概念计算即可． 【解析】解：（1）图②中BE=AB-AM-EM=26-3-2=21厘米， 图③中BF=26-3-2-2=19 厘米， 图④中BM=26-3-2-2-2-2=15厘米， 故答案为：21；19；15； （2）因为图④为轴对称图形 所以，， 即开始折叠时点M与点A的距离是（13−x）厘米． 【点睛】本题考查的旋转变换的性质、轴对称图形的概念，正确根据题意列出代数式是解题的关键． 题型2：整式的乘法的几何应用 3．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知：5张如图1所示的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，设长．未覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设左上角的阴影长方形的面积为，右下角的阴影长方形的面积为．    (1)请用、、的代数式分别表示． (2)如果，请用、、的代数式表示．（最后结果能化简的要化简） (3)当的长度变化时，如果始终保持不变，求、应满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）左上角的阴影长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式便可求得结果； （2）右下角的阴影长方形的长为，宽为a，根据长方形的面积公式表示出，进而由题意求得S； （3）由，当t取任何值时，S的值不发生变化得，便可求得结果． 【解析】（1）解：根据题意，得； （2）由图形知，， ； （3）∵当的长度变化时，S始终保持不变， ∴不论t为何值时，S的值不改变， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，长方形的性质，关键是结合图形用代数式表示出阴影部分的长方形的长与宽． 4．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）在长方形内将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．    (1)当，，，时，__________，__________． (2)当，时，__________，__________．（用a和b的代数式表示） (3)当时，的值是__________．（用a、b或a和b的代数式表示） 【答案】(1)， (2)， (3)b 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【解析】（1）解：， ， ，，，， ， ； 故答案为：，； （2）解：，， ， ； 故答案为：，； （3）解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（21-22七年级上·上海奉贤·期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积． 如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． （1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示） （2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示） （3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小． 【答案】（1）；（2）（3）窗户的透光的面积大于遮阳帘遮住的面积 【分析】（1）根据题意求得长方形窗户的长为，高为，即可求得面积； （2）窗户透光的面积等于总面积减去遮阳帘的面积即可； （3）先求得下窗户的遮阳帘的长，进而求得遮阳帘遮住的面积，根据（1）的总面积减去遮阳帘遮住的面积即可得到窗户的透光的面积，进而根据整式的加减作出比较即可求解． 【解析】（1）长方形窗户的长为，高为， 长方形窗户ABCD的总面积为： （2）上面窗户遮阳帘的面积为 下面窗户的遮阳帘的面积为 窗户透光的面积为 （3） 如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，则下面遮阳帘的长为 上面窗户遮阳帘的面积为 下面窗户的遮阳帘的面积为 遮阳帘遮住的面积为 窗户的透光的面积为 b＞a＞0 窗户的透光的面积大于遮阳帘遮住的面积 【点睛】本题考查了列代数式，多项式的乘法，整式的加减的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． 6．（22-23七年级上·上海风华初级中学·期中）7张如图1的长为，宽为b的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．    (1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为____________（用含的代数式表示），长方形的面积为____________（用含的代数式表示） (2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，. ①用含的代数式表示； ②当的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S始终保持不变，那么必须满足什么条件? 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）右下角的图形为边长为a的正方形，左上角图形为长方形，其长和宽分别为，分别计算面积作差即可，找到长方形的长和宽分别为，计算面积即可； （2）①根据进行求解即可；②分别表示出右下角和左上角的长方形面积，进而把S表示出来，令含的项的系数为0，即可得到S与长度无关． 【解析】（1）解：如图2所示，右下角的图形为边长为a的正方形，面积为． 左上角图形为长方形，其长和宽分别为，面积为 ． ∴右下角与左上角的阴影部分的面积的差为． ∵矩形的长和宽分别为， ∴矩形的面积为 故答案为：；； （2）解：①由题意得，， ∴， ∴； ②图3中，右下角的长方形长和宽分别为x，a，则面积为． 左上角长方形长和宽分别为，则面积为． ∴ 整理得到， 当的长度变化时，S始终保持不变，则时成立，即．    【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式在几何图形中的应用，解题关键在于找准各部分图形的边长与边长之间的关系，准确表示出面积的代数式，需要注意的是，长方形的对边与对边长度相等，可互相等量代换求得其他线段的长度． 7．（24-25七年级上·上海南洋模范·月考）阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2； (2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； (3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29． 【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （2）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （3）①根据题意画出图形即可； ②直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可； ③将a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入②中得到的关系式，然后进行计算即可． 【解析】（1）大正方形的面积可表示为=（a+2b）2， 大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2， 所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2， 故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2； （2）大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b）， 大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2， 所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2， 故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； （3）①所画图形如下： ②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2； 正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca； ③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 题型3：完全平方公式的几何应用 8．（22-23七年级上·上海虹口·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．    (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：__________；方法2：__________； (2)观察图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_________； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）正方形的面积可以从整体直接求，还可以是四个图形面积和． （2）由同一图形面积相等即可得到关系式． （3）根据，将所给条件代入即可求解． 【解析】（1）解：方法1：； 方法2：， 故填：；． （2）解：由面积相等可得：， 故填：． （3）解：① ② 由①-②得， ∴． 【点睛】本题考查了几何图形与整式乘法，熟练掌握完全平方公式以及完全平方公式的变形是解题的关键． 9．（23-24七年级上·上海复旦五浦汇实验学校·期中）阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 解决问题 （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．    【答案】（1）120；（2）2019；（3）21． 【分析】（1）根据举例，利用换元法进行解答即可； （2）设，则，，可得，代入c−d=2可求得cd，即可求得结果； （3）根据已知可得，，可表示出构成阴影部分的四个图形的边长，进而表示出这四个图形的面积，由长方形EFGD的面积是5，得到，设，，从而得到ab=5，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【解析】解：（1）设，， 则，， ∴ （2）设， 则，， ∴， 即 解得：，即； （3）正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2， ∴，， ∵NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，长方形EFGD的面积是5， ∴，， ∴ S长方形DEFG=，S正方形MEDQ=，S正方形NGDH=，S长方形PQDH=， 设，，则，， ∴阴影部分的面积= S长方形DEFG+ S正方形MEDQ+ S正方形NGDH+ S长方形PQDH ∵，即， 解得：， ∴，即阴影部分的面积为21． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式． 10．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值 （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）5；（2）28． 【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可； （2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可． 【解析】解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b， 则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2， a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2） ∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3， ∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， ∴（x﹣1）∙（x﹣3）＝48， ∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b， 则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48， a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴a＝8，b＝6，a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析． 11．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）阅读理解：“若x满足，求的值． 解：设，， 则，． 那么 ． 解决问题： (1)若x满足，求的值； (2)如图，正方形的边长为x，，，长力形的面积是10，四边形和都是正方形，四边形是长方形．求图中长方形的边长． 【答案】(1) (2)四条边都为7 【分析】（1）本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值；设，，可得，，再利用，再代入计算即可；熟记完全平方公式的变形是解本题的关键； （2）本题考查的是完全平方公式在几何图形中的应用；由图形可得，，，求解，利用，再结合算术平方根的含义可得的长度，再结合图形的性质可得答案；熟练的把边长的信息进行转化是解本题的关键. 【解析】（1）解：设，， 则，． ∴ ． （2）由题意可得：，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴，； ∴长方形的边长都为7. 题型4：平方差公式的几何应用 12．（23-24七年级上·上海曹杨第二中学附属学校·期中）工厂接到订单，需要边长为（a＋3）和3的两种正方形卡纸． (1)仓库只有边长为（a＋3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a＋3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形． ①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）； ②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的一组相邻的边长分别为多少？（用含a代数式来表示）； (2)若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，测得盒子底部长方形长比宽多4，则的值为 ．（直接写出答案） 【答案】(1)①；②a和a＋6 (2)12 【分析】（1）①根据面积差可得结论； ②根据图形可以直接得结论； （2）分别计算S2和S1的值，相减可得结论． 【解析】（1）解：① 根据题意，得： 答：裁剪正方形后剩余部分的面积为； ②拼成的长方形的宽是：a＋3－3＝a，长为a＋6， 答：拼成的长方形的边长分别为a和a＋6； （2）解：设盒子底部长方形的长BC＝x＋4，则宽AB＝x， 则， ， 所以． 故答案为12． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键． 13．（23-24七年级上·上海青浦·期中）（1）如图①，在边长为的大正方形纸片上减去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中的阴影部分的面积，方法①___________；方法②_________________； 由此可以验证的乘法公式为_________________________． （2）类似地，在棱长为的大正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积，方法①___________________方法②___________________，由此可得某个多项式因式分解的等式为_______________________．并用所学过的知识说明这个等式成立． （3）利用（2）得到的等式分解式：．    【答案】（1）；；证明见解析；（2）；；，证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）仿照（2）中方法计算结果，利用多项式乘多项式法则验证即可． 【解析】（1）方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； （2）方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：等式右边 左边 ； （3）由（2）可得 题型5：乘法公式综合的几何应用 14．（23-24七年级上·上海实验学校西校·月考）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b．如图1，小正方形摆放在边长为的内部右上角，其未叠合部分（阴影）的面积为；如图2，若再在图1中大正方形的右下角摆放小正方形，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为；如图3，在大正方形的外部左下角摆放小正方形，形成阴影部分的面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若a＋b＝10，ab＝20，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为40 (3)的值为15 【分析】（1）根据大正方形减小正方形面积求出阴影部分面积即可； （2）根据图形列出面积的代数式，然后根据完全平方公式整理求值即可； （3）根据图形列出面积的代数式，然后根据完全平方公式整理求值即可； 【解析】（1）由图可得，，； （2）， ，， ； （3）由图可得，， ， ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 15．（23-24七年级上·上海·期中）如图1，已知并排放置的正方形和正方形的边长分别为、， A、B、E三点在一直线上，且正方形和正方形的面积之差为 12． (1)用含有、的代数式，表示图中阴影部分的面积； (2)、，则四边形的面积是多少？ (3)图中正方形绕点B顺时针旋转后的对应图形， 连接、，若四边形的面积是，求、的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方差公式与图形面积、平方根解方程、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）利用两个正方形的面积之和减去三个直角三角形的面积，整式的运算法则计算即可得； （2）利用梯形的面积公式，平方差公式计算即可得； （3）先利用梯形的面积公式、完全平方公式、平方根解方程可得，再求出，然后解二元一次方程组即可得． 【解析】（1）解：图中阴影部分的面积为 ． 答：图中阴影部分的面积为． （2）解：如图，连接、， ∵正方形和正方形的面积之差为 12， ， 则四边形的面积是， 答：四边形的面积是6． （3）解：∵四边形的面积是， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 又， ， ， 联立， 解得． 16．（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知正方形与正方形，，．根据下列条件平移正方形，解决下列问题．    (1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用割补法即可求解； （2），利用割补法即可求解； （3），利用割补法即可求解； （4），利用割补法即可求解； 熟练掌握割补法及利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【解析】（1）解：如图：   ， 故答案为：． （2）延长与交于，如图：    ， 故答案为：． （3）延长延长与交于，延长与交于，如图所示：    ∵， ，， ， 故答案为：． （4）延长与交于，延长与交于，如图：   ，， ， 故答案为：． 题型6：因式分解综合 17．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中　　　，　　　； (2)对于一元多项式，必定有f（　　）＝0； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等，得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）利用试根法，进行因式分解． 【解析】（1）解：， ， ， 故答案为：，； （2）多项式，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． 根据题意若，则， 故答案为：； （3）由（2）可知因式分解后必有因式， 设， 等式右边， ， =． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握试根法，是解题的关键． 18．（22-23七年级上·上海青浦·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中_______， _______； (2)对于一元多项式，必定有（___）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据题意，展开即可求解； （2）根据定义，可得奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，即可求解； （3）根据（2）的结论，设，进而即可求解． 【解析】（1）解：依题意，设 ∴ 解得：， 故答案为：，． （2）解：∵ 其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为 ∴ （3）∵ ∴多项式中有因式 设 ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了多项式乘法与因式分解，理解题意是解题的关键． 19．（22-23七年级上·上海杨浦·期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：  ，例如：  ，再如：  ．按照这种运算的规定：请解答下列各个问题： (1)  ______． (2)当  时，求x的值． (3)将下面式子进行因式分解：   【答案】(1)14 (2) (3) 【分析】（1）先按新运算的规定方法计算，再作有理数的混合运算； （2）先按新运算的规定方法展开等号左边，再解方程即可； （3）先按新运算的规定方法展开，再把看作一个整体展开，而后按二次项系数是“1”的二次三项式的因式分解方法分解因式． 【解析】（1）原式， 故答案为：14； （2）由题意得，， 解得：； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查了定义新运算，解决问题的关键是熟练掌握新定义，有理数的运算，整式的运算，解方程，换元法，因式分解． 20．（23-24七年级上·上海静安·期中）先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项．按照这个思路， (1)试把多项式分解因式； (2)试把多项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照材料根据原式加上配成完全平方公式，再减去，运用平方差公式因式分解即可； （2）仿照材料根据原式加上配成完全平方公式，再减去，再运用平方差公式因式分解即可． 【解析】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，阅读材料、掌握材料介绍的方法是解答本题的关键． 题型7：整式的除法 21．（22-23七年级上·上海闵行·期中）阅读下列材料，并解决问题． 材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式除以多项式时，一定存在一对多项式、，使得，其中余式的次数小于除式的次数． 例如：多项式除以多项式，商为，余式数为7，即有． 又如：多项式除以多项式，商为，余式数为0，即有，此时，多项式能被多项式整除． 问题： (1)多项式除以多项式，所得的商为　　． (2)多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为　　． (3)多项式分别能被和整除，则多项式除以的商为　　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把已知多项式分解因式即可求解； （2）首先把已知多项式减去余式再分解因式即可求解； （3）设，其中A为一次多项式，然后把和时，代入等式可以得到关于a、b的方程组，解方程组求出a，b，最后分解因式即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴多项式除以多项式，所得的商为． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴多项式除以多项式，所得的余式数为2，则商为． 故答案为：； （3）解：∵多项式分别能被和整除， ∴设，其中A为一次多项式， 当时，， 当时，， 联立解得：， 解得， ∴ ， ∴多项式除以的商为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，正确读懂题意是解题的关键． 题型8：第11-12章代数应用综合、图形规律题 22．（22-23七年级上·上海宝山·期中）先阅读材料： 已知：不论取何值，代数式的值都相同，求的值． 解：因为不论取何值，代数式的值都相同，所以不妨设，得，即无论取什么值，代数式的值都等于； 再取，得，所以． 根据上述材料提供的方法，解决下列问题： 已知不论取什么值，等式永远成立，求的值． 【答案】 【分析】根据题目给出的解答方法解答即可求解． 【解析】根据不论取什么值，等式永远成立， 即有： 当，得，化简得：， 当，得，化简得：， 当，得，化简得：， 解：， 解得：， 即的值为． 【点睛】考查了整式的混合运算—化简求值，此题是材料问题，认真阅读，理解并运用，运用类比的方法解答恒等式问题，根据系数的特点，适当运用x的特殊值可以解决系数前的符号问题． 23．（22-23七年级上·上海静安·期中）阅读并思考： 计算时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：47接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． (1)依此方法计算49： 第一步：49接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． (2)请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式． ． (3)利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性． (4)写出利用这个公式计算的过程． (5)计算也有一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221． 写出上述过程所依据的计算公式_______________________． (6)利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性． 【答案】(1)25，1，1 (2)25，， (3)见详解 (4)见详解 (5) (6)见详解 【分析】（1）根据山桂娜同学的简便运算步骤解答即可； （2）根据（1）的规律书写公式即可； （3）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（2）中公式的正确性； （4）利用（2）中得到的公式求解即可； （5）分析的简单运算，书写计算公式即可； （6）利用整式乘法运算法则进行计算，即可说明（5）中公式的正确性． 【解析】（1）解：根据题意，计算49： 第一步：49接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． 故答案为：25，1，1； （2）根据山桂娜同学的方法，填写出正确的计算公式如下： ． 故答案为：25，，； （3）∵， ， ∴公式正确； （4） ； （5）计算的口算方法，具体步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221． 结合上述计算过程，可书写计算公式为． 故答案为：； （6）∵ ， 又∵ ， ∴公式是正确的． 【点睛】本题主要考查了数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算、整式混合运算等知识，理解题意，正确书写简便运算公式是解题关键． 24．（23-24七年级上·上海闵行·阶段练习）发现与探索：你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手． 先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； 由此我们可以得到：___________． 请你利用上面的结论，完成下面两题的计算： （1）． （2）． 【答案】；（1）；（2） 【分析】根据所给式子从而总结出规律是； （1）将；写成的形式进行计算即可； （2）设，根据，得出，求出即可得出答案． 【解析】解：根据规律可得：； 故答案为：； 解：（1）∵， ∴； （2）设， ∵， ∴， ， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般要根据所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，难度一般． 25．（22-23七年级上·上海长宁·期中）寻找公式，求代数式的值：从开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如表： 加数的个数 连续偶数的和 (1)根据上面的等式，你能发现当个连续的偶数相加时，它们的和___________． (2)按照此规律计算： 的值； 的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）根据表格中的运算结果，直接可得一般规律； （2）①由（1）的结果，当时，代入求值即可； 将所求的式子变形为，再用（1）的规律运算即可． 【解析】（1）根据所给的表格可得， 故答案为：； （2）①由（1）的结果可知，， ； 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的表格，得到运算结果的一般规律，并能灵活应用得到的规律进行运算是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$