专题10 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线（3大题型）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题10 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线 目录 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】 15 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 27 【典型例题】 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F． (1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________； (2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点O为的中点，交于点E，F．求证：． 2．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知锐角中，、分别是边、上的高，M、N分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 4．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，，点D是边的中点． (1)如图，若点E，F分别在边，上，，求证：，并说明理由； (2)在（1）的条件下，，求的值． 5．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）已知：如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为，，且． (1)求证：是等边三角形． (2)延长交的延长线于点，求证：． 6．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N， (1)当且M与A重合时，求证： (2)当E为中点时，连接，求证： 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】 例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．    【变式训练】 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，平分，，求证：． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）（1）如图1所示，在中，，，，求证． （2）如图2所示，在中，，，延长至使，求． 4．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 5．（2022·北京西城·二模）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 6．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．    (1)若线段，求线段的长； (2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接． ①是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段的数量关系，并说明理由． 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中） (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题： 如图1，点在的角平分线上，过点作的垂线分别交、于点、．求证：．请你帮助完成此证明．    【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题： （1）将图1沿着过点的直线折叠，得到图2，使点正好与边上的点重合，此时测得．求的度数． （2）如图3，，平分交于，若，，求边的长度． 【拓展提升】 （3） 如图4，是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米．该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口、分别在、上，步道、分别平分和，，．现要用围栏完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线 目录 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】 15 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 27 【典型例题】 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F． (1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________； (2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】（1）连接，先根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据垂直的定义、等量代换可得，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）分①当点在线段的延长线上，且在的下方时，②当点在线段的延长线上，且在的上方时两种情况，参考（1）的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，，为的中点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 故答案为：． （2）解：，理由如下： ①如图，当点在线段的延长线上，且在的下方时， 如图，连接， 在中，，，为的中点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ； ②如图，当点在线段的延长线上，且在的上方时， 如图，连接， 在中，，，为的中点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ； 综上，线段与的数量关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点O为的中点，交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，先由等腰直角三角形的性质得到，，，再证明，则可证明，进而证明． 【详解】证明：如图，连接． ，，为的中点， ，，， ∴． ，，， ． 在和中， ， ． 2．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)110度 【知识点】角平分线的性质定理、等边对等角、根据三线合一证明 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知锐角中，、分别是边、上的高，M、N分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理， （1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到，再根据等腰三角形三线合一的性质证明； （2）根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形两底角相等表示出，然后根据平角等于180°表示出，整理即可得解； 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵、分别是、边上的高，是的中点， ∴，， ∴ 又∵为中点， ∴； （2）解：在中，， ∵， ∴ ∴； 4．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，，点D是边的中点． (1)如图，若点E，F分别在边，上，，求证：，并说明理由； (2)在（1）的条件下，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)a． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】（1）连接，证明即可得到； （2）由（1）可得：，进一步得到：． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质． 5．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）已知：如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为，，且． (1)求证：是等边三角形． (2)延长交的延长线于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂线的定义理解、全等的性质和HL综合（HL）、根据三线合一证明、等边三角形的性质 【分析】（1）证得，又得，，即可得证； （2）连接，先证明得，进而利用三线合一得，由（）知得，从而得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵为的中点，， ∴， 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 （2）证明：连接 ∵是等边三角形，为的中点 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 由（）知 ∴ ∴，即 ∴ 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定及性质，垂线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 6．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N， (1)当且M与A重合时，求证： (2)当E为中点时，连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、根据三线合一证明 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质， （1）根据等腰直角三角形的性质可得，利用三角形外角的性质与等量代换可得，在根据全等三角形的判定即可证明； （2）连接，在上截取，根据等腰直角三角形的性质可得，，证得，可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：连接，在上截取， ∵，，E为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或17 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。 （1）①连接，即可证明；②根据，看图即可得出结论； （2）连接，即同（1）可证明，根据看图即可得出结论； （3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。 【详解】（1）证明：①如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ②∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （2）解：如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （3）如（1）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴. ②如（2）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴ 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】 例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．    【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质．作交于，由等腰三角形的性质可得，由含角的直角三角形的性质得出，计算出即可得到答案．熟练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于，   ， ，， ， 在中，，，， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据三线合一证明 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，如图所示，过点A作于F，由三线合一定理得到，，再由线段的和差关系即可证明． 【详解】证明：如图所示，过点A作于F， ∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴， ∴，即（等式的性质）． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明 【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，取中点，连接，则由三线合一定理得到，再证明，进而证明，则，即可证明． 【详解】证明：如图，取中点，连接， ，点E是的中点， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）（1）如图1所示，在中，，，，求证． （2）如图2所示，在中，，，延长至使，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明 【分析】（1）作交于，过点作交的延长线于，过点作，由题意得和，利用等角对等边可得，利用三线合一的性质得，结合含角的直角三角形性质得，可证明，即可证得结论； （2）在上取，连接，作平分，交于，交于，根据题意得，利用等腰三角形两腰上的高相等得，结合含角的直角三角形性质得，由题意得，即可求得，即可求得答案． 【详解】解：（1）作交于，过点作交的延长线于，过点作，如图， ，， ，， ， ， ， ， ，，， ，， 在和中， ， ， ． （2）在上取，连接，作平分，交于，交于，如图， 平分，， ，， ， ， 即是等腰三角形， 作，则（等腰三角形两腰上的高相等）， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三线合一的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质，解题的关键是添加辅助线并找到对应边角之间的关系． 4．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】（1）过作于点，根据三线合一可得：，，即可证明； （2）过作于点，易证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过作于点， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5．（2022·北京西城·二模）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)互相垂直； (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出； （2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到； ②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到． 【详解】（1）解：当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∴，     ∴， 即与的位置关系是互相垂直， 若，过点A作于点M，如图：    则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：互相垂直；； （2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下： 过点A作于点M、于点N，如图：        则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图：        ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，     ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 6．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．    (1)若线段，求线段的长； (2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接． ①是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①成立，理由见解析；②，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、根据三线合一证明 【分析】（1）如图所示，过点B作于H，由三线合一定理得到，由角平分线的定义得到，进一步证明，得到，则； （2）①如图所示，过点B作于H，由三线合一定理得到，同（1）可得，则，由，即可推出； ②如图所示，在上截取，连接，先证明，进而证明，得到，进一步证明，从而证明，得到，由可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于H， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴    （2）解：①成立，理由如下： 如图所示，过点B作于H， ∵， ∴，即， 同（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴；    ②，理由如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，即可得出； （2）过点C作交于点M，由可得，根据平行线的性质得出，可得，进而得出，再根据据证明，得出，等量代换即可得到． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）证明：过点C作交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键． 【变式训练】 1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中） (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 (4)的面积是 【分析】（1）证（），得，即可； （2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论； （4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 故答案为：； （2）解：如图2，延长交于点F， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，证明如下： 如图3，延长、交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， 由问题情境可知，， ∴； （4）解：如图4，延长交于E， 由问题情境可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的面积是． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题： 如图1，点在的角平分线上，过点作的垂线分别交、于点、．求证：．请你帮助完成此证明．    【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题： （1）将图1沿着过点的直线折叠，得到图2，使点正好与边上的点重合，此时测得．求的度数． （2）如图3，，平分交于，若，，求边的长度． 【拓展提升】 （3） 如图4，是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米．该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口、分别在、上，步道、分别平分和，，．现要用围栏完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）    【答案】【情景建模】见解析；（1）；（2）；（3）至少需要围挡40米． 【分析】情景建模：利用角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，求证即可解题． （1）利用角平分线的性质和等腰三角形的性质“等边对等角”将边的关系转化为角的关系，再应用第一问的条件和结论结合方程即可解题． （2）延长和相交于点，利用勾股定理和第一问的结论得出,即可解题． （3）延长交于点，延长交于点，得三角形全等，利用全等得性质，将转化为，再用代数式表示出、、即可解题． 【详解】情境建模 证明：点在的角平分线上， ， 由题知， ， ， ， ， （1）解：点、点关于直线对称， 直线垂直平分， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， （2）解：延长和相交于点，如图所示： ， ， 平分，， ， ， 在中， （3）解：延长交于点，延长交于点，如图所示： 、分别平分和，，， 由“情境建模”的结论得：，， ，， 在和中， ， ， ，米，米， 米    设，，则，， ，， ，，， ， ， 的周长 答：至少需要围挡40米． 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，本题的关键在于灵活应用角平分线性质结合全等三角形的性质，求解角和边． 学科网（北京）股份有限公司 $$