专题09 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧（3大题型）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题09 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 1 【考点二 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 7 【考点三 利用倍角关系构造新等腰三角形】 20 【典型例题】 【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 例题：（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图中，、的角平分线交于点，过作交于，交于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图是的角平分线，，交于点．求证：是等腰三角形． 3．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，在四边形中，，E是的中点，的角平分线过点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，若，求证：． 3．（2023上·全国·八年级期末）如图1，在中，和的平分线交于点O，过点O作，交于E，交于F．    (1)当，则___________； (2)当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F，试判断，之间的关系，并说明理由． 4．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 【考点二 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    (1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； (2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) (3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）（1）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．                                 （2）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，求线段的长度． 2．（2024上·广东中山·八年级统考期末）如图，中， ， ， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)． (1)求证: ； (2)求证: ； (3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由． 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：是的角平分线，点E为直线上一点，，过点E作交直线于点F，当点F在边的延长线上时，如图①，延长、交于点G，易证； (1)当点F在边上，如图②，写出、与的数量关系，并证明； (2)当点F在边的延长线上，是的外角平分线时，如图③，直接写出、与的数量关系． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 【考点三 利用倍角关系构造新等腰三角形】 例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图1，是的角平分线，，试探究线段，，之间的数量关系．小明的解题思路如下： ①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：________）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则________ 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为________． (1)请你补全小明的解题思路． (2)小明又想尝试其它方法：延长到点，使，连接．请你帮助小明，完成解答过程． 2．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 问题初探 (1)如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点． 求证：＋；    方法迁移 (2)如图2，是的角平分线，．求证：＋；    问题拓展 (3)如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系．    3．（2023上·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）已知，在中，点是边上一点，点是延长线上一点，交于点，点是上一点，连接于点． (1)写出图1中与相等的角，______； (2)如图1，若，在图中找出与相等的线段并证明； (3)如图2，若，求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 1 【考点二 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 7 【考点三 利用倍角关系构造新等腰三角形】 20 【典型例题】 【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 例题：（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图中，、的角平分线交于点，过作交于，交于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据等角对等边证明边相等、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，等角对等边； （1）根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，进而根据三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，则，，根据等角对等边可得，，进而即可得出结论． 【详解】（1）∵， ∴ ∵、的平分线交于点 ∴， ∴ ∴ （2）∵、的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图是的角平分线，，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义得出，由平行线的性质得出，推出，即可得证． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 3．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，在四边形中，，E是的中点，的角平分线过点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质．掌握相关性质是解题的关键． （1）证明，即可； （2）过点E作于点M，角平分线的性质得到，平行加角平分线，得到，进而得到，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵E是CD的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）如图，过点E作于点M， ∵，， ∴， 即． ∵是的角平分线且， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， 且， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 3．（2023上·全国·八年级期末）如图1，在中，和的平分线交于点O，过点O作，交于E，交于F．    (1)当，则___________； (2)当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F，试判断，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)8 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证，即可得出答案； （2）与（1）同理由平行线的性质和角平分线的定义可证． 【详解】（1）解：∵， ∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB， ∵和的平分线交于点O， ∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠BCO， ∴∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC， ∴， ∴， 故答案为：8； （2），理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 4．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边． （1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，即可得出结果； （2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，进而得到即可； （3）同法（2）可得：，利用，求解即可； （4）同法（2）得到，推出的周长等于，即可得出结果； （5）同法（2）得到，推出的周长等于的长即可． 掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）∵平分，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3； （3）同法（2）可得：， ∴； 故答案为：12； （4）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：30； （5）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：5cm． 【考点二 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    (1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； (2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) (3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定． （1）求出，推出，根据等腰三角形性质求出，即可得出答案； （2）过作，交于，证明，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形， ． ∵点为中点， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，交于点，    则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）解：结论仍成立，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，    则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）（1）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．                                 （2）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析（2）1.5 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，可根据全等三角形的判定定理证明，得，，由，得，可推导出，得，所以； （2）延长到，使，连接，证明，得到，，等边对等角和对顶角相等，得到，得到，求出的长即可． 【详解】⑴证明：如图，延长至点，使，连接． 为的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ． （2）解：如图，延长到G，使，连接， ∵是的中线 ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 2．（2024上·广东中山·八年级统考期末）如图，中， ， ， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)． (1)求证: ； (2)求证: ； (3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)为定值5，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键． （1）利用、的移动速度相同，得到，利用线段间的关系即可推出； （2）过点P作，交于点F，利用等边对等角结合已知可证，即可得出结论； （3）过点P作，交于点F，由（2）得，可知为等腰三角形，结合，可得出即可得出为定值． 【详解】（1）证明：、的移动速度相同， ， ， ； （2）如图，过点P作，交于点F， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 在与中， ， ， ； （3）解：为定值5，理由如下： 如图，过点P作，交于点F， 由（2）得：， 为等腰三角形， ， ， 由（2）得， ， ， 为定值5． 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：是的角平分线，点E为直线上一点，，过点E作交直线于点F，当点F在边的延长线上时，如图①，延长、交于点G，易证； (1)当点F在边上，如图②，写出、与的数量关系，并证明； (2)当点F在边的延长线上，是的外角平分线时，如图③，直接写出、与的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）延长、相交于点，证明，推出，利用证明即可得到； （2）当点在边的延长线上，是的外角平分线时，延长交于点，同理得到． 【详解】（1）结论：． 证明：如图②，延长、交于点G， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ； （2）结论：． 证明：如图③，延长AD交EF于点G， 平分， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）方法一根据平行线的性质易证，结合角平分线的性质可知是等腰三角形，从而可证；方法二根据角平分线的性质易证，从而可知是等腰三角形，再结合平行线的性质可求得也是等腰三角形，从而可证； （2）过点作的平行线交于点，交的延长线于点，根据方法一可得是等腰三角形，结合等腰三角形性质，，，可证得，从而可得． 【详解】（1）方法一：证明：延长交于点F，如图②； 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ； 方法二：证明：在上取一点G，使，连接，如图③； 是的平分线， ， ，， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作的平行线交于点，交的延长线于点，连接， 由方法一同理可知：， ，， ∵平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质与判定等知识点，解题关键在于作辅助线构造全等三角形． 【考点三 利用倍角关系构造新等腰三角形】 例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图1，是的角平分线，，试探究线段，，之间的数量关系．小明的解题思路如下： ①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：________）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则________ 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为________． (1)请你补全小明的解题思路． (2)小明又想尝试其它方法：延长到点，使，连接．请你帮助小明，完成解答过程． 【答案】(1)，， (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意作辅助线，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，证得，得到，等量代换即可证明． 【详解】（1）解：①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为； （2）证明：延长到点，使，连接．如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 问题初探 (1)如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点． 求证：＋；    方法迁移 (2)如图2，是的角平分线，．求证：＋；    问题拓展 (3)如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，证明，得出，，进而根据等腰三角形的性质得出，等量代换后即可得证； （2）在上截取，证明，则，结合已知条件可得，得出，，进而即可得出结论； （3）延长至，使得，连接，证明，得出，，设，根据三角形的外角的性质得出，进而可得，即可得出结论． 【详解】证明：是由沿着折叠得到的， ，， 在与中 ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取    是的平分线， ， 在与中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3） 如图所示，延长至，使得，连接，    ∵是的外角的平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴， 设， ∵，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理与外角的中，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（2023上·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）已知，在中，点是边上一点，点是延长线上一点，交于点，点是上一点，连接于点． (1)写出图1中与相等的角，______； (2)如图1，若，在图中找出与相等的线段并证明； (3)如图2，若，求的长度． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）运用三角形外角性质即可求得答案； （2）利用证明，可得，，即可得出答案； （3）延长交的延长线于，过点作交的延长线于，可证得则，设，再根据等腰三角形性质可得，建立方程求解即可得出答案. 【详解】（1），， ． ， 故答案为：； （2），理由如下， ，，， ， 在和中， ， ，． ， 即； （3）如图2，延长交的延长线于，过点作交的延长线于， ， 则， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 设， ，， ，． ， ，， ． ， 解得： ， ， 故的长度为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，全等三角形的 性质与判定，构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$