专题11 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形（3大题型）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题11 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形 目录 【类型一 共顶点的等边三角形】 1 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 12 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 21 【典型例题】 【类型一 共顶点的等边三角形】 方法总结：如图，△ABC和△CDE为等边三角形，则根据SAS可得△ACD≌△BCE，∠AOB=60°，△MCN为等边三角形. 例题：（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，连接和，交、于点F、G． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，直接写出和之间满足的数量关系． 2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图1，已知均为等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接交于点F． (1)判断线段，的数量关系，并说明理由． (2)求线段与线段的夹角的度数． (3)如图2，若点B，C，E不在同一条直线上，则（1）（2）中的结论_____________（填“成立”或“不成立”）． 3．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，为等边三角形，在上分别取点，使，连接．    (1)求证：是等边三角形． (2)点分别是的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求证：； (3)在（）条件下，求的度数． 4．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 方法总结：如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，则根据SAS可得△BCE≌△ACD. 例题：（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，和两个大小不同的等腰直角三角形，，， ，、、在同一条直线上，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，． (1)，请你说明理由． (2)求的度数． (3)点关于直线的对称点为，连接，．补全图形，判断与之间的数量关系并说明理由． 2．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点，重合)，连接． 图①                         图②                        图③ (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)如图②，当点在边的延长线上时，直接写出，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； (3)如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系 3．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 4．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）综合与实践： 数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，如图1． 独立思考： （1）如图1，求证：； 实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答： 解决问题： （2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，． ①求的度数； ②线段与线段交于点F，求的值． 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 方法总结：如图，△ABC和△DEC是等腰三角形，且∠ACB=∠DCE，根据SAS可得△ACD≌△BCE. 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）阅读学习“手拉手”模型：如图1， 条件：（1）和都是等腰三角形； （2）（顶角相等） 结论：． 解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证：，利用边角边证得． 解决问题：如图2，和都是等边三角形．B，C，D三点共线，与相交于点O，与交于点F，与交于点G． (1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由． (2)求的度数． 2．（23-24七年级下·四川巴中·期末）已知是等腰三角形，且，点D是射线上的一动点，连接，以为腰在右侧作等腰，使，．    (1)如图1，当点D在线段上时，求证：； (2)如图2，当点D在射线上运动时，取中点M，连接，且．当为等腰三角形时，的度数为______； (3)如图3，当点D在线段的延长线上，时，在线段上截取，使，并连接．求证：． 3．（23-24七年级下·山东泰安·期末）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． (1)如图1，与互为“底余等腰三角形”，若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：___________（填“是”或“否”）； (2)如图1，与互为“底余等腰三角形”，当时，若的“余高”是． ①请用直尺和圆规作出；（要求：不写作法，保留作图痕迹） ②求证：． (3)如图2，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形 目录 【类型一 共顶点的等边三角形】 1 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 12 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 21 【典型例题】 【类型一 共顶点的等边三角形】 方法总结：如图，△ABC和△CDE为等边三角形，则根据SAS可得△ACD≌△BCE，∠AOB=60°，△MCN为等边三角形. 例题：（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，连接和，交、于点F、G． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形；理由见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：为等边三角形；理由如下： 由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，直接写出和之间满足的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可证得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得； （2）过点作于，于，设交于．由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）在上取一点，使得，连接，证明是等边三角形，同理（1）可证，，得出，由三角形面积关系可得出，则可得出答案． 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质的运用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图1中，与都是等边三角形， ，，， ， ，， 即． 在和中， ， ． ． （2）证明：过点作于，于，设交于． ， ， ，， ，， ，， ， 平分； （3）解：，理由如下： 在上取一点，使得，连接， ， ， ， 平分， ， ， 是等边三角形， 同理（1）可证， ， 设，，， ， 同法可证， ， ， ， ， 2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图1，已知均为等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接交于点F． (1)判断线段，的数量关系，并说明理由． (2)求线段与线段的夹角的度数． (3)如图2，若点B，C，E不在同一条直线上，则（1）（2）中的结论_____________（填“成立”或“不成立”）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)成立 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟悉等边三角形的性质和三角形内角和定理． （1）根据等边三角形的性质证明，即可得出； （2）根据全等三角形的性质得出，结合三角形内角和定理即可求出； （3）用和（1）（2）同样的方法，即可解答． 【详解】（1）解：； 理由如下： ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解： ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：成立． 3．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，为等边三角形，在上分别取点，使，连接．    (1)求证：是等边三角形． (2)点分别是的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求证：； (3)在（）条件下，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（）根据等边三角形得到，进而由等边三角形的判定即可求证； （）首先推导出，然后利用即可证明； （）证明，可得，，进而得到，可得为等边三角形，即可求解； 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 4．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）有；8 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 方法总结：如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，则根据SAS可得△BCE≌△ACD. 例题：（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，和两个大小不同的等腰直角三角形，，， ，、、在同一条直线上，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等腰直角三角形性质，三角形面积等． （1）利用全等三角形判定证明即可； （2）利用（1）中全等性质求出，再利用等腰直角三角形性质证明，继而利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵和两个大小不同的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，． (1)，请你说明理由． (2)求的度数． (3)点关于直线的对称点为，连接，．补全图形，判断与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)理由见解析 (2) (3)补全图形见解析，，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、根据等边对等角证明、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）首先根据等腰直角三角形的性质可得，再证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）可知，，，然后由求解即可； （3）根据题意补画图形，结合轴对称的性质可得，，，进而证明，易得，结合可知，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴； （3）如图，，理由如下： ∵点与关于对称， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点，重合)，连接． 图①                         图②                        图③ (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)如图②，当点在边的延长线上时，直接写出，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； (3)如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出，，之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系 【答案】(1)见解析 (2)， (3)， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质； （1）证明，可得，即可推出； （2）证，利用全等三角形的性质即可证明； （3）同（1）得，则，，得，再证即可． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ； （2）解：猜想，，理由如下： ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ； （3）解：，，理由如下： 如图③所示： 同（1）得：， ，， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ． 3．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的面积为 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的的性质得，可推导出，进而证明，得出； （2）由，且，证明，而，，可证明，得，可推导出，则是等边三角形． （3）由等腰直角三角形的性质得，可推导出，进而证明，得，而，所以，可证明，得，推导出，因为，点N是的中点，所以，则，所以． 【详解】解：（1）与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ． （2）证明：点，分别是，的中点， ，， ， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等边三角形． （3）与都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，且点也是的中点， ， ， ，， ， ， 的面积为． 4．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）综合与实践： 数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，如图1． 独立思考： （1）如图1，求证：； 实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答： 解决问题： （2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，． ①求的度数； ②线段与线段交于点F，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，平行线的性质定理．解题关键是找到全等的三角形，得出相等的线段，构造直角三角形解决问题． （1）本题利用证明，再利用三角形全等的性质既可以得到； （2）①由，得出内错角相等，再加上有两个直角和，最后由周角减出即可； ②连接，首先由（1）的全等得出，再证明，从而得出是等边三角形，确定 为30度的直角三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半得出即可； 【详解】（1）证明：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中， ，，， ， ． 在和中，， ， ； （2）解：①， ． ， ． ， ； ②如图，连接， 由（1）知， ，． ， ． 由①知， 在和中，， ， ． ， ， 是等边三角形， ． ， ， 在中，， ． 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 方法总结：如图，△ABC和△DEC是等腰三角形，且∠ACB=∠DCE，根据SAS可得△ACD≌△BCE. 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①，；② 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）利用证明即可得证； （2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解； ②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②，理由如下： ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，为中边上的中线， ∴，即， 又，， ∴． 【点睛】本题是结合了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定等知识的综合问题，熟练掌握知识点，由简入难，层层推进是解答关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）阅读学习“手拉手”模型：如图1， 条件：（1）和都是等腰三角形； （2）（顶角相等） 结论：． 解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证：，利用边角边证得． 解决问题：如图2，和都是等边三角形．B，C，D三点共线，与相交于点O，与交于点F，与交于点G． (1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形的性质，结合证明即可； （2）全等三角形的性质，结合三角形的外角，得到，利用平角的定义，即可求出的度数． 【详解】（1）解： 理由：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·四川巴中·期末）已知是等腰三角形，且，点D是射线上的一动点，连接，以为腰在右侧作等腰，使，．    (1)如图1，当点D在线段上时，求证：； (2)如图2，当点D在射线上运动时，取中点M，连接，且．当为等腰三角形时，的度数为______； (3)如图3，当点D在线段的延长线上，时，在线段上截取，使，并连接．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)或或 (3)证明见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线和进行分类讨论是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）根据（1）可得，分类讨论即可解答； （3）延长点，使得，证明为等边三角形，可得，再证明，得到，最后证明，即可得到． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， ； （2）解：根据（1）中可得， ， 当时，， ； 当时，； 当时，， ， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或； （3）证明：如图，延长点，使得， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即．    3．（23-24七年级下·山东泰安·期末）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】[初步把握]；[深入把握]，证明见解析；[拓展延伸]，，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边和对应角，准确理解“手拉手模型”． [初步把握]根据证明即可 [深入把握]根据证明，再由全等的性质得到 [拓展延伸]根据证明，由全等的性质可得，，进而可证 【详解】[初步把握] 证明∶ 在和中， ． [深入把握] 证明：和都是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中，， ， ；． ， ． [拓展延伸] 解：，，理由如下： ， ， 即， 在和中， ，， ， ． 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． (1)如图1，与互为“底余等腰三角形”，若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：___________（填“是”或“否”）； (2)如图1，与互为“底余等腰三角形”，当时，若的“余高”是． ①请用直尺和圆规作出；（要求：不写作法，保留作图痕迹） ②求证：． (3)如图2，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)是 (2)①见解析；②见详解 (3)5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意可得，，由四边形内角和为，求出，进而可得答案． （2）①作垂线即可； ②过点A作，证明，进而结论得证． （3）过点A作，同理（2）可知，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为“底余等腰三角形”， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴与互为“底余等腰三角形”； 故答案为：是． （2）①解：作垂线如图1，即为所作； ②证明：如图2，过点A作， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图3，过点A作于， ∵， ∴， 同理（2）可知，， 由勾股定理得，， ∴的长为5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作垂线等知识，熟练掌握等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作垂线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$