精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县贯洞中学2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

从江县贯洞中学2024—2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列关于的函数一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 3. 若是一元二次方程的根，则( ) A. B. C. 2 D. 4 4. 三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 10或12 5. 如表是二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的取值范围是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A. B. C. D. 6. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 8. 已知，是二次函数的图象上两点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 9. 如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若，，以顶点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4 11. 二次函数y=ax2+bx+c.的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 二次函数的部分图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④．其中错误的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ③④ 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 已知函数 是关于x的二次函数，则m的值为________． 14. 把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为______． 15. 如图，若被击打的小球距离地面的高度与被击打后经过的时间的关系为，则小球从被击打到落地所用的时间为______． 16. 已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 _____． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线经过点和点，求这条抛物线的解析式． 18. 数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题：，小明同学的做法如下： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）上面的运算过程中从第________步开始出现了错误； （2）请写出正确的解题过程． 19. 已知抛物线L：（m是常数且）． （1）若抛物线L有最低点，求m的取值范围； （2）若抛物线L与抛物线的形状相同，开口方向相反，求m的值． 20. 已知二次函数，说明：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点． 21. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 22. 如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式． 23. 合肥某商场购进一批新型网红玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系： 销售单价x/元 20 25 30 35 月销售量y/件 3300 2800 2300 1800 （1）求y关于x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（），则称点为点P的亲密点，例如：点的亲密点为．若存在互为亲密点的两个点都在一个函数图象上，则称该函数为亲密函数． （1）判断函数是否为亲密函数． （2）若二次函数的图象上有一点，其亲密点也在二次函数图象上，求二次函数的表达式． 25. 如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=-1，抛物线交x轴与点A、C两点，与直线y=x-1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E （1）求抛物线的解析式； （2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标 （3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 从江县贯洞中学2024—2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列关于的函数一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数． 【详解】A、，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，是二次函数，故该选项正确，符合题意； C、，当时，是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； D、，未知数的最高次数不为2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】由方程可知， ∴一次项系数为， 故选：． 3. 若是一元二次方程的根，则( ) A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程即可求得a的值． 【详解】∵是一元二次方程的根， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了将一元二次方程的根代入方程求解方程中的参数，解题的关键是直接将方程的根代入方程，然后再解关于a为未知数的一元一次方程． 4. 三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 10或12 【答案】C 【解析】 【分析】先求出方程的根，再由三角形的三边关系确定出三角形的第三边的取值范围，即可确定第三边的长，利用三角形的周长公式可求得这个三角形的周长． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为3和5， ∴，即， ∵第三边长是方程的根， ∴解之得根为2和4，，不能构成三角形， ∴第三边长为4， ∴三角形的周长：． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一二方程和三角形的三边关系，正确的解一元二次方程是解题的关键． 5. 如表是二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的取值范围是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的取值范围． 【详解】解：∵时，； 时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间， ∴方程有一个根在之间． 故选：A． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 6. 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图像开口向上， ∴a-1＞0，即：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 7. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 8. 已知，是二次函数的图象上两点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质,先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较两个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小． 【详解】解：二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， ， 则点到直线的距离较小 所以． 故选：A． 9. 如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若，，以顶点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知C(0,0)，且过点(2,3)，设该抛物线的解析式为y=ax2，将两点代入即可得出a的值，进一步得出解析式. 【详解】根据题意，得 该抛物线的顶点坐标为C(0,0)，经过点(2,3). 设该抛物线的解析式为y=ax2. 3=a22. a=. 该抛物线的解析式为y=x2. 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意得出两个坐标是解题的关键. 10. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解； 【详解】解：抛物线经过和两点， 可知函数的对称轴， ， ； ， 将点代入函数解析式，可得； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 11. 二次函数y=ax2+bx+c.的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象可以判断a、b、c的正负，从而可以判断一次函数y=-bx+a的图象经过哪几个象限，本题得以解决． 【详解】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得， 开口向上则有a＞0，对称轴在y轴左侧且a＞0则有b＞0，图象与y轴交于正半轴则有c＞0， ∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12. 二次函数的部分图象如图所示，则以下结论：①；②；③；④．其中错误的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，一元二次方程与二次函数的关系，根据对称轴计算公式可得，即，据此可判断①；由函数图象可知，二次函数与x轴有两个不同的交点，据此可判断②；当时，，据此可判断③；由对称轴性可得当时，，则，即，据此可判断④． 【详解】解：∵二次函数对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； 由函数图象可知，二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴，故②正确； 当时，，故③错误； ∵当时，， ∴由对称轴性可得当时，， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴错误的有③④， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 已知函数 是关于x的二次函数，则m的值为________． 【答案】﹣1 【解析】 【详解】解：根据题意得：， 解得：m=﹣1． 故答案是：﹣1． 14. 把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律． 根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可； 【详解】解：把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为, 故答案为：． 15. 如图，若被击打的小球距离地面的高度与被击打后经过的时间的关系为，则小球从被击打到落地所用的时间为______． 【答案】6s##6秒 【解析】 【分析】根据关系式，令即可求得t的值为飞行的时间． 【详解】解：依题意，令得， 得， 解得（舍去）或， 即小球从飞出到落地所用的时间为6s， 故答案为：6s． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单． 16. 已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出翻折部分的解析式，再根据图象确定直线与图象恰有四个公共点时m的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴，， 根据翻折变换，关于x轴的对称点为， ∴曲线所对应的函数解析式为， 当直线与图象2恰有四个公共点时，如图所示： ①当直线与x轴重合，即时与图象②有两个公共点， 所以当时与图象②有四个公共点； ②当时，直线与有三个公共点， 所以当时，直线与新图象有四个交点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出图象，找出新图象与直线有四个不同公共点的条件是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线经过点和点，求这条抛物线的解析式． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确计算是解题的关键．将代入，得，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得 解得 所以这条抛物线的解析式为． 18. 数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题：，小明同学的做法如下： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）上面的运算过程中从第________步开始出现了错误； （2）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）一 （2） 【解析】 【分析】（1）解析过程中不能直接约去，即可得出结果； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：上面的计算过程第一步开始出现错误， 故答案为：一 【小问2详解】 ， ∴ 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键． 19. 已知抛物线L：（m是常数且）． （1）若抛物线L有最低点，求m的取值范围； （2）若抛物线L与抛物线的形状相同，开口方向相反，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线L有最高点，则，于是得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线L有最低点， ∴二次项的系数a大于0． 即． ∴． 【小问2详解】 ∵抛物线L与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键． 20. 已知二次函数，说明：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点． 【答案】 证明∶， ， 即， 无论取何实数，抛物线总与轴有两个交点． 【解析】 【分析】先计算判别式得到，再根据非负数的性质得，然后根据抛物线与x轴的交点问题即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点∶二次函数是常数，与轴的交点与一元二次方程根之间的关系∶决定抛物线与轴的交点个数；时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 21. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 【答案】（1） （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案. 【小问1详解】 解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为： 把代入抛物线的解析式得： 解得： 所以抛物线为： 【小问2详解】 解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间， 所以当时， 而 所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过. 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键. 22. 如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与坐标轴交点问题； （1）根据题意得出，待定系数法求抛物线的解析式，即可求解； （2）根据解析式得出点的坐标为，进而待定系数法求的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：因为，所以． 把代入， 得，解得． 所以抛物线的解析式为，即． 【小问2详解】 当时， 可得， 则点的坐标为． 设直线的解析式为． 把代入，得，解得． 所以直线的解析式为． 23. 合肥某商场购进一批新型网红玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系： 销售单价x/元 20 25 30 35 月销售量y/件 3300 2800 2300 1800 （1）求y关于x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣100x+5300；（2）当销售单价为35元时，月销售利润最大，最大利润是32400元. 【解析】 【分析】（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）用待定系数法求解即可； （2）设月销售利润为w元，根据每件的利润乘以销售量，得出关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0） 由题意得： 解得： ∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+5300． （2）设月销售利润为w元， 则w＝（x﹣17）（﹣100x+5300） ＝﹣100x2+7000x﹣90100 ＝﹣100（x﹣35）2+32400 ∵﹣100＜0 ∴当x＝35时，w有最大值，最大值为32400． 答：当销售单价为35元时，月销售利润最大，最大利润是32400元. 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法及二次函数的最值求解. 24. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（），则称点为点P的亲密点，例如：点的亲密点为．若存在互为亲密点的两个点都在一个函数图象上，则称该函数为亲密函数． （1）判断函数是否为亲密函数． （2）若二次函数的图象上有一点，其亲密点也在二次函数图象上，求二次函数的表达式． 【答案】（1）函数是亲密函数 （2）二次函数的表达式为 【解析】 【分析】（1）设点，则点P的亲密点，若函数为亲密函数，则，进行计算即可得； （2）根据亲密点的定义得点的亲密点为，则，进行计算即可得． 【小问1详解】 解：设点，则点P的亲密点， 若函数为亲密函数， 则， 解得， ∴亲密点与都在函数上， ∴函数是亲密函数． 【小问2详解】 解：∵点的亲密点为， ∴根据题意，得， 解得， ∴二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 25. 如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=-1，抛物线交x轴与点A、C两点，与直线y=x-1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E （1）求抛物线的解析式； （2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标 （3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标 【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点P的坐标是（，）；D1（0，3），D2（-6，-3），D3（-2，-7）． 【解析】 【分析】（1）令y=0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x=-1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设点P（m，-m2-2m+3），利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，利用S△ABP=S△PBM+S△PMA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标； （3）求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标． 【详解】（1）令y=0，可得：x-1=0，解得：x=1， ∴点A（1，0）， ∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=-1， ∴-1×2-1=-3，即点C（-3，0）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式：y=-x2-2x+3； （2）∵点P在直线AB上方的抛物线上运动， ∴设点P（m，- m 2-2m+3）， ∵抛物线与直线y=x-1交于点A，B两点， ∴，解得: ， ∴点B（-4，-5）， 如图，过点 P作PM∥y轴交直线AB于点M， ∴PM=- m 2-2m+3-m+1=- m 2-3m+4， ∴S△ABP=S△PBM+S△PMA=(- m 2-3m+4)(m+4)+ (- m 2-3m+4)(1-m) =， ∴当m=时，△ABP的面积最大，此时，点P的坐标是（，）； （3）当x=-1时，y=-1-1=-2， ∴E（-1，-2）， 如图，直线BC的解析式为y=5x+15，直线BE的解析式为y=x-1，直线CE的解析式为y=-x-3， ∵以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形， ∴直线D1D3的解析式为y=5x+3，直线D1D2的解析式为y=x+3，直线D2D3的解析式为y=-x-9， 联立，得D1（0，3）， 同理得D2（-6，-3），D3（-2，-7）， 综上所述：符合条件点D的坐标为D1（0，3），D2（-6，-3），D3（-2，-7）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法，分类讨论思想，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $