6.1 幂函数（九大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

6.1 幂函数 课程标准 学习目标 以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养. （1）了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. （2）通过具体实例，结合，，，，的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 知识点01 幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 知识点02 幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【即学即练2】（多选题）（2023·全国·高一专题练习）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．函数在为减函数 D．函数在为增函数 题型一：幂函数的概念 【典例1-1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【方法技巧与总结】 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数． 【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-3】（2024·高一·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：求函数解析式 【典例2-1】（2024·高一·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【变式2-1】（2024·高一·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·河北张家口·开学考试）已知幂函数，若函数的图象过点，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·广东茂名·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 题型三：定义域问题 【典例3-1】（2024·高一·上海·课前预习）函数的定义域为 ． 【典例3-2】（2024·高一·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【方法技巧与总结】 使表达式有意义． 【变式3-1】（2024·高一·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【变式3-2】（2024·高三·上海静安·期中）函数的定义域为 . 【变式3-3】（2024·高一·浙江金华·期中）幂函数的图象过点，则 ，的定义域为 ． 题型四：值域问题 【典例4-1】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 【典例4-2】（2024·高一·广东阳江·阶段练习）下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 【方法技巧与总结】 利用单调性求解． 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【变式4-2】（2024·高一·湖南·课后作业）已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 【变式4-3】（2024·高一·山东泰安·阶段练习）已知幂函数（其中，）满足： ①在区间上为减函数； ②对任意的，都有. 求幂函数的解析式，并求当时，的值域. 题型五：幂函数的图象 【典例5-1】（2024·高一·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高三·河南周口·期中）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 【变式5-1】幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式5-2】（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 题型六：定点问题 【典例6-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【典例6-2】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【方法技巧与总结】 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 【变式6-1】（2024·高一·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【变式6-2】（2024·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【变式6-3】（2024·高一·全国·课后作业）函数恒过定点 ． 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 【典例7-1】（2024·高三·江西宜春·阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 【典例7-2】（2024·高一·河南郑州·期中）若，则的取值范围是   ． 【方法技巧与总结】 运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 【变式7-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围 ． 【变式7-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 【变式7-3】（2024·高一·天津和平·期中）已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足 的a的取值范围为 . 【变式7-4】（2024·高一·上海·专题练习）已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 题型八：比较大小 【典例8-1】（2024·高一·浙江宁波·期中）下列大小关系错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·高三·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 【变式8-1】（2024·高一·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高一·天津·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型九：幂函数性质的综合运用 【典例9-1】（2024·高一·广西河池·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【典例9-2】（2024·高一·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式． (2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减． (3)判断函数的奇偶性并说明理由． 【方法技巧与总结】 以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题． 【变式9-1】（2024·高一·河南开封·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【变式9-2】（2024·高一·广西钦州·期中）已知是幂函数. (1)求、的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式9-3】（2024·高一·山东济宁·期中）已知幂函数的图象过点，设函数. (1)求函数的解析式、定义域，判断此函数的奇偶性； (2)根据“定义”研究函数的单调性，画出的大致图象（简图），并求其值域. 【变式9-4】（2024·高一·山东烟台·期中）已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【变式9-5】（2024·高一·湖北孝感·期中）幂函数为偶函数，. (1)求的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 1．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·重庆黔江·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．奇函数 D．减函数 4．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（   ） A．或 3 B．1 或 C． D．3 5．（2024·高一·湖南长沙·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高一·江苏·专题练习）若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．（2024·高一·广东广州·期中）已知定义在上的函数满足，且函数的图象关于点中心对称，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 11．（多选题）（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 12．（2024·高一·江西新余·期中）已知幂函数过定点，且满足，则的范围为 ． 13．（2024·高一·上海·期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 14．（2024·高一·福建福州·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 15．（2024·高一·全国·单元测试）已知幂函数的图象过点. (1)求此函数的解析式； (2)根据单调性的定义判断函数在上的单调性. 16．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数（）在定义域上不单调． (1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由； (2)若，求实数的取值范围． 17．（2024·高一·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 18．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 19．（2024·高一·广东惠州·阶段练习）已知幂函数为偶函数． (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，判断函数在区间的单调性并根据定义证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 幂函数 课程标准 学习目标 以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养. （1）了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. （2）通过具体实例，结合，，，，的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 知识点01 幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 知识点02 幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【即学即练2】（多选题）（2023·全国·高一专题练习）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．函数在为减函数 D．函数在为增函数 【答案】AC 【解析】因为是幂函数，所以设， 又的图像经过点，所以，所以，即， 所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误； 故选：AC. 题型一：幂函数的概念 【典例1-1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 【典例1-2】在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】函数为幂函数； 函数中的系数不是1，所以它不是幂函数； 函数不是（是常数）的形式，所以它不是幂函数； 函数与不相等，所以不是幂函数． 所以这4个函数中，幂函数只有1个 故选：B 【方法技巧与总结】 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数． 【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，中指数上有变量，所以此函数不是幂函数，所以A错误， 对于B，是指数函数，不是幂函数，所以B错误， 对于C，是幂函数，所以C正确， 对于D，是一次函数，不是幂函数，所以D错误， 故选：C 【变式1-2】（2024·高一·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 【变式1-3】（2024·高一·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合. 故选：A． 题型二：求函数解析式 【典例2-1】（2024·高一·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数解析式为，代入点可得，即，所以 所以该幂函数的解析式是. 故选：B 【方法技巧与总结】 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【变式2-1】（2024·高一·辽宁本溪·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数，将点代入得，所以, 所以幂函数的解析式为. 故选：B. 【变式2-2】（2024·高一·河北张家口·开学考试）已知幂函数，若函数的图象过点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】幂函数的图象过点，则，即，解得， 故选：C 【变式2-3】（2024·高一·广东茂名·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，即， 所以，. 故选：A. 题型三：定义域问题 【典例3-1】（2024·高一·上海·课前预习）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 【典例3-2】（2024·高一·全国·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域是， 所以，解得，所以函数的定义域为． 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是． 故答案为： 【方法技巧与总结】 使表达式有意义． 【变式3-1】（2024·高一·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【解析】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 【变式3-2】（2024·高三·上海静安·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 【变式3-3】（2024·高一·浙江金华·期中）幂函数的图象过点，则 ，的定义域为 ． 【答案】 2 【解析】设幂函数，其图象过点，；解得，，故， 由，解得：，故函数的定义域为：. 故答案为2， 题型四：值域问题 【典例4-1】（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 【答案】B 【解析】因为，所以定义域为， 由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，. 故选：B. 【典例4-2】（2024·高一·广东阳江·阶段练习）下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 【答案】②③ 【解析】对于①，，则其值域为；对于②，，则其值域为； 对于③，，则其值域为，对于④，，则其值域为. 综上符合题意的是②③. 故答案为：②③. 【方法技巧与总结】 利用单调性求解． 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【解析】（1）由于， 则，，， 所以过点， 故的图象，如图所示，函数的定义域为； （2）由题可知， 设，则， 当时取等号，故的值域为． 【变式4-2】（2024·高一·湖南·课后作业）已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 【解析】（1）依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或 （2）若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； 若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减； 若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； （3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 【变式4-3】（2024·高一·山东泰安·阶段练习）已知幂函数（其中，）满足： ①在区间上为减函数； ②对任意的，都有. 求幂函数的解析式，并求当时，的值域. 【解析】，，，0，1. 对任意，都有，即，是偶函数. 当时，，满足条件①②； 当时，，不满足条件①； 当时，，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数的解析式为，且在区间上是增函数，当时，函数的值域为. 题型五：幂函数的图象 【典例5-1】（2024·高一·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，定义域为，排除A，B． 经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快. 故选：C. 【典例5-2】（2024·高三·河南周口·期中）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 所以函数是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C. 故选：A. 【方法技巧与总结】 先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 【变式5-1】幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【解析】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 【变式5-2】（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 【变式5-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意结合图象可知. 故选：B. 题型六：定点问题 【典例6-1】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【答案】 【解析】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 【典例6-2】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 【方法技巧与总结】 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 【变式6-1】（2024·高一·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【答案】 【解析】当时，， 所以定点为. 故答案为： 【变式6-2】（2024·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【解析】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 【变式6-3】（2024·高一·全国·课后作业）函数恒过定点 ． 【答案】 【解析】当，即时，，函数恒过定点. 故答案为：. 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 【典例7-1】（2024·高三·江西宜春·阶段练习）已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【典例7-2】（2024·高一·河南郑州·期中）若，则的取值范围是   ． 【答案】 【解析】因为幂函数在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 【变式7-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围 ． 【答案】 【解析】因为幂函数的图象关于轴对称， 且在上是减函数， ，则，当时是奇函数，不满足题意， ，时是偶函数且在上是减函数，，满足题意， 根据函数图象关于轴对称，且在上是减函数， 可得在上是增函数， 由可知定义域为， 由，可得， 所以， 即，解得或， 故答案为:. 【变式7-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为且在上单调递减， 则由， 得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式7-3】（2024·高一·天津和平·期中）已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足 的a的取值范围为 . 【答案】 【解析】幂函数在上单调递减， 故，解得. ，故，，. 当时 ，不关于轴对称，舍去； 当时 ，关于轴对称，满足； 当时 ，不关于轴对称，舍去； 故，，函数在和上单调递减， 故或或，解得或. 故答案为：. 【变式7-4】（2024·高一·上海·专题练习）已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】幂函数，所以定义域为且在定义域上单调递减， 所以需满足，解得， 故答案为：． 题型八：比较大小 【典例8-1】（2024·高一·浙江宁波·期中）下列大小关系错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，所以，A正确； 对于B，因为，所以，B正确； 对于C，因为在上单调递增，所以， 又因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，， 所以，故D正确. 故选：C. 【典例8-2】（2024·高三·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设幂函数， 因为的图象经过点，则，解得， 所以. 因为函数在定义域内单调递增， 则当时，， 所以，且， 故选项错误； 又因为函数单调递增， 则当时，，且， 故选项D正确，选项错误. 故选：D. 【方法技巧与总结】 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 【变式8-1】（2024·高一·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 【变式8-2】（2024·高一·天津·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确. 故选：A. 【变式8-3】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即. 故选：D. 题型九：幂函数性质的综合运用 【典例9-1】（2024·高一·广西河池·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）设函数，由的图象过点，得，解得， 所以函数的解析式是. （2）由（1）知，，则，由，得， 即，令，依题意，任意，， 而函数在上单调递减，，因此， 所以实数的取值范围是. 【典例9-2】（2024·高一·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式． (2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减． (3)判断函数的奇偶性并说明理由． 【解析】（1）由题意，设，则，故， 所以； （2）设任意且， 则， 而，，， 故，即 函数在上单调递减． （3）函数的定义域为，不关于原点对称， 则函数为非奇非偶函数． 【方法技巧与总结】 以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题． 【变式9-1】（2024·高一·河南开封·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数. (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【解析】（1）幂函数，则，解得或， 幂函数在上是减函数，故，解得， ，故或，幂函数图象关于轴对称， 当时，，图象关于轴对称，符合题意； 当时，，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或，； （2），，则， . 当且仅当，，即时等号成立. 所以的最小值是2. 【变式9-2】（2024·高一·广西钦州·期中）已知是幂函数. (1)求、的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为是幂函数， 所以，解得； （2）由（1）可知，定义域为，且， 所以是上的单调递增函数， 又因为， 所以，解得， 所以的取值范围是. 【变式9-3】（2024·高一·山东济宁·期中）已知幂函数的图象过点，设函数. (1)求函数的解析式、定义域，判断此函数的奇偶性； (2)根据“定义”研究函数的单调性，画出的大致图象（简图），并求其值域. 【解析】（1）依题意，设幂函数. 因为函数的图象过点，所以， 易得，所以. 易得函数的定义域为； 显然，函数的定义域不是关于原点对称的区间， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数. （2）由（1）知，，. 设，且， 则 ， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. 函数图象如图所示： 易得，函数的值域为. 【变式9-4】（2024·高一·山东烟台·期中）已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围． 【解析】（1）设的解析式为， 则，解得，因此． （2）因为，所以． 令，则，且． 令，， 因为在单调递增，在单调递减，所以． 因为存在，使得，所以． 所以．又因为，所以的取值范围为. 【变式9-5】（2024·高一·湖北孝感·期中）幂函数为偶函数，. (1)求的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）因为幂函数为偶函数， ∴，解得或， 当时，，定义域为， ，所以为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为， ，所以为奇函数，不合题意， 综上， （2）因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 当时，得恒成立，则； 当时，得， ，当且仅当时等号成立，故， 当时，得， ， 当且仅当时等号成立，故， 综上，. 1．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 2．（2024·高一·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 3．（2024·高一·重庆黔江·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．奇函数 D．减函数 【答案】C 【解析】因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以. 对A、B：因为，定义域为，值域为，故A错误，故B错误； 对C：，即为奇函数，故C正确； 对D：在区间，上单调递减，由可知在定义域上不是减函数，故D错误. 故选：D. 4．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（   ） A．或 3 B．1 或 C． D．3 【答案】D 【解析】因为是幂函数， 则，则或， 当，，不符合题意， 当，，则在区间上是单调递增函数，符合题意，则； 故选：D. 5．（2024·高一·湖南长沙·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调，由在上不可能单调递增， 则函数在上不可能单调递增，故在R上单调递减， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：D. 6．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增， 则为正偶数，则， 则不等式即， 整理得， 此不等式等价于或， 解之得或. 则满足的a的取值范围为或. 故选：D 7．（2024·高一·江苏·专题练习）若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①若且时，不等式成立，此时 ②若，此时不等式组的解为； ③若，不等式组无解， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 8．（2024·高一·广东广州·期中）已知定义在上的函数满足，且函数的图象关于点中心对称，对于任意，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的图象关于点中心对称， 可知函数的图象关于点中心对称，即函数为奇函数， 设，则对于任意，都有成立， 即当时，有，即在上单调递增； 当时，不等式可转化为，即， 又，可知时. 当时，， 因此为偶函数；则在上单调递减. 不等式可转化为，即， 又，可知时. 即不等式的解集为. 故选：B. 9．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对A，直接利用不等式的基本性质，所以，故A正确； 对B，令，所以，故B错误； 对C，， 由已知可得， 所以，则，故C正确； 对D，，所以，故D正确. 故选：ACD 10．（多选题）（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】将点代入函数得：，则． 所以， 显然在定义域上为增函数，所以A正确． 的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确． 当时，，即，所以C正确． 当时， 即成立，所以D正确． 故选：ACD． 11．（多选题）（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】对于选项A，因为，所以，得到的定义域为，所以选项A正确， 对于选项B，由知，所以选项B错误， 对于选项C，任取，且，则， 因为，所以，，又， 所以，即，所以选项C正确， 对于选项D，因为定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，故选项D正确， 故选：ACD. 12．（2024·高一·江西新余·期中）已知幂函数过定点，且满足，则的范围为 ． 【答案】 【解析】设，则，解得，所以，函数的定义域为且为增函数， ，为奇函数， 所以，即， 所以，解得或， 故的取值范围为. 故答案为：. 13．（2024·高一·上海·期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为，得函数在时的取值集合包含 当时，在上单调递减，函数值集合为，不符合题意， 当时，，函数值集合为，不符合题意， 当时，在上单调递增，函数值集合为， 由，得，解得，由，得，因此， 所以的取值范围是. 故答案为： 14．（2024·高一·福建福州·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为R，且， 故为偶函数； 当时，，此时函数在上单调递减， 则函数在上单调递增， 则，即， 故，即， 故实数的取值范围是， 故答案为： 15．（2024·高一·全国·单元测试）已知幂函数的图象过点. (1)求此函数的解析式； (2)根据单调性的定义判断函数在上的单调性. 【解析】（1）设（是常数），过，故，可得， 所以. （2）在上的单调递减，判断如下： 任取，则， 而，，故，即， 所以在上的单调递减. 16．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数（）在定义域上不单调． (1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 综上所述：，. 函数为奇函数，理由如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （2）由及为奇函数， 可得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 17．（2024·高一·上海宝山·期末）已知幂函数的图像经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. 18．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【解析】（1）由是幂函数，得，解得或， 由的图象与坐标轴无交点，得，则， 所以的解析式是. （2）显然函数是偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，解得且， 所以原不等式的解集为且. 19．（2024·高一·广东惠州·阶段练习）已知幂函数为偶函数． (1)求幂函数的解析式； (2)若函数，判断函数在区间的单调性并根据定义证明． 【解析】（1）由幂函数， 得，解得或， 又因为函数为偶函数， 所以， 所以； （2）由（1）得， 函数在区间上单调递增， 令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递增. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$