第2章 有理数的运算（单元测试B卷）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（浙江专用）

第2章 《有理数的运算》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，满分30分） 1．（3分）2023年全省人口变动情况抽样调查，是依据省政府决策部署，由省统计局具体组织实施的一项重大省情省力调查，这次调查以2023年11月1日零时为标准时点，采取多阶段、分层、概率比例抽样方法，最终抽样单位为住户，共调查登记人口90.9万人，其中90.9万用科学记数法可表示为（　　） A．90.9×104 B．9.09×105 C．0.909×106 D．9.09×106 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．﹣（﹣4）+（﹣5）＝﹣1 B．（﹣7）﹣（+4）＝﹣3 C． D．（+3）+（﹣5）＝2 3．（3分）定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣15 4．（3分）计算的结果是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 5．（3分）将8.3954精确到百分位约是（　　） A．8.4 B．8.39 C．8.395 D．8.40 6．（3分）下列各组数中，运算结果相等的是（　　） A．﹣42和（﹣2）4 B．﹣53和（﹣5）3 C．﹣12024和（﹣1）2024 D．和 7．（3分）下列结论正确的是（　　） A．不大于0的数一定是负数 B．任意有理数乘以（﹣1）都等于这个数的相反数 C．两数和为负数，则这两数一定都为负数 D．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号 8．（3分）若|a|＝20，|b|＝24，|a+b|＝﹣a﹣b，则b﹣a的值为（　　） A．4或44 B．﹣4或﹣44 C．﹣4 D．﹣44 9．（3分）下列是甲、乙两位同学简便计算“”的方法，下列判断正确的是（　　） 甲同学：原式＝ ＝ 乙同学：原式＝ ＝ A．只有甲的方法正确 B．只有乙的方法正确 C．甲、乙的方法都正确 D．甲、乙的方法都不正确 10．（3分）对于有理数a，b，我们规定运算“⊕”：a⊕b＝；对于任意有理数a，b，c，若（a⊕b）⊕c＝a⊕（b⊕c）成立，则称运算“⊕”满足结合律．下列说法正确的是（　　） A．．运算“⊕”满足结合律 B．（﹣1）⊕（﹣2）＝，运算“⊕”满足结合律 C．，运算“⊕”不满足结合律 D．，运算“⊕”不满足结合律 二．填空题（每小题3分，共6小题，满分18分） 11．（3分）把﹣（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣2）+（﹣4）写成省略括号与加号的形式 　 　． 12．（3分）的倒数与的相反数的和是 　 　． 13．（3分）﹣2024的倒数是 　 　；1.49万精确到 　 　位． 14．（3分）一根1米长的小棒，第一次截去它，第二次截去剩下，如此截下去，第10次后剩下的棒的长度是　 　米． 15．（3分）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是（9﹣8）×8×3或（9﹣8÷8）×3．现有1，8，10，﹣5，则列出一个求“24点”的算式是 　 　（写出一种即可）． 16．（3分）定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若a⊗b＝a*b，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，2⊗3＝2*3，所以2，3就是一对“隔一数对”， （1）下列各组数是“隔一数对”的是 　 　（请填序号）． ①a＝1，b＝2②，③a＝﹣1，b＝1 （2）计算：（﹣3）*4﹣（﹣3）⊗4+（﹣2024）*（﹣2024）． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）计算： （1）（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）； （2）（简便计算）． 18．（6分）（1）； （2）（﹣2）3﹣（﹣1）2024×（﹣6）+（﹣3）2． 19．（8分）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）； 列式，并计算： （1）﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ （2）5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ 20．（8分）小明的爸爸车辆使用情况的相关信息如下．汽车平均每月行驶1000km，平均每10km大约耗油0.9L． （1）若汽油每升8元，请计算出小明的爸爸平均每月汽车用油大约需要多少钱． （2）某加油站正在对原价450元的加油卡进行酬宾活动，活动方案如下： 方案①：打八折； 方案②：若在本次活动中先花20元办一张会员卡，则在打八折的基础上再打九折． 请通过计算确定哪种方案购买加油卡更合算． 21．（10分）【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：计算：． ①小明写出如下解题过程：原式＝ ＝． ②小强写出如下解题过程：原式的倒数为 ＝． 则原式＝． 【类比分析】 （1）请你选择一名同学的方法，计算：． 【学以致用】 （2）计算：． 22．（10分）在今年的“国庆+中秋”的8天长假中，我市景区再度上演“人从众”，其中最火爆的5A级景区为太姥山风景．正所谓“不到长城非好汉，不去太姥山很遗憾”，景区每天旅游人数变化如表：（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 29日 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日 人数变化（万） +0.6 ﹣0.4 +0.2 ﹣0.3 +0.5 ﹣0.1 ﹣0.4 ﹣1 （1）若9月28日的游客人数为1.2万人，则10月4日的游客人数是多少万人？ （2）8天中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ （3）如果每万人带来的经济收入约为70万元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数来表示） 23．（12分）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设S＝1+2+3+⋯+100，① 则S＝100+99+98+⋯+1，② ①+②得2S＝101+101+101+⋯+101． 所以2S＝100×101，S＝（100×101）÷2＝5050， 所以1+2+3+⋯+100＝5050． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： （1）计算：1+2+3+⋯+1000； （2）计算：100+101+102+⋯+200． 24．（12分）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： （1）应用一：已知如图，点A在数轴上表示为﹣2，数轴上任意一点B表示的数为x，则AB两点的距离可以表示为　 　， （2）应用二：若点B表示的整数为x，则当x为　 　时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （3）应用三：|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出|x+5|+|x﹣2|的最小值为　 　，此时所有符合条件的整数x的和为　 　． （4）应用四：如图，将数轴沿着点A折叠，若数轴上M，N两点折叠后重合，且点M在点N的左侧，M，N两点之间距离为12，M，C两点之间距离为4，则点M表示的数是　 　；点N表示的数是　 　；点C表示的数是　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 《有理数的运算》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，满分30分） 1．（3分）2023年全省人口变动情况抽样调查，是依据省政府决策部署，由省统计局具体组织实施的一项重大省情省力调查，这次调查以2023年11月1日零时为标准时点，采取多阶段、分层、概率比例抽样方法，最终抽样单位为住户，共调查登记人口90.9万人，其中90.9万用科学记数法可表示为（　　） A．90.9×104 B．9.09×105 C．0.909×106 D．9.09×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：90.9万＝909000＝9.09×105． 故选：B． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．﹣（﹣4）+（﹣5）＝﹣1 B．（﹣7）﹣（+4）＝﹣3 C． D．（+3）+（﹣5）＝2 【分析】根据有理数的加减运算法则计算即可求解． 【解答】解：﹣（﹣4）+（﹣5）＝4+（﹣5）＝﹣1，则A符合题意； （﹣7）﹣（+4）＝（﹣7）+（﹣4）＝﹣11，则B不合题意； ，则C不合题意； （+3）+（﹣5）＝﹣2，则D不合题意； 故选：A． 3．（3分）定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣15 【分析】利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得， （﹣3）⊕2， ＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）， ＝9+6， ＝15， 故选：C． 4．（3分）计算的结果是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 【分析】按照从左到右的顺序计算即可． 【解答】解：， 故选：D． 5．（3分）将8.3954精确到百分位约是（　　） A．8.4 B．8.39 C．8.395 D．8.40 【分析】精确到百分位，即对千分位上的数字进行四舍五入，据此求解即可． 【解答】解；8.3954≈8.40（精确到百分位）， 故选：D． 6．（3分）下列各组数中，运算结果相等的是（　　） A．﹣42和（﹣2）4 B．﹣53和（﹣5）3 C．﹣12024和（﹣1）2024 D．和 【分析】根据有理数的乘方解决此题． 【解答】解：A．﹣42＝﹣16，（﹣2）4＝16，那么﹣42≠（﹣2）4，故A不符合题意； B．﹣53＝﹣125，（﹣5）3＝﹣125，那么﹣53＝（﹣5）3，故B符合题意； C．﹣12024＝﹣1，（﹣1）2024＝1，那么﹣12024≠（﹣1）2024，故C不符合题意； D．，，那么，故D不符合题意． 故选：B． 7．（3分）下列结论正确的是（　　） A．不大于0的数一定是负数 B．任意有理数乘以（﹣1）都等于这个数的相反数 C．两数和为负数，则这两数一定都为负数 D．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号 【分析】根据有理数的乘法法则、相反数的定义、绝对值的性质、有理数的加法法则进行逐项判断即可． 【解答】解：A．“不大于0的数”包括了0，0不是正数也不是负数，选项错误； B．任意有理数乘以（﹣1）都等于这个数的相反数，选项正确； C．选项错误，如5+（﹣7）＝﹣2而两数一正一负； D．异号两数相乘，结果的符号为负，选项错误； 故选：B． 8．（3分）若|a|＝20，|b|＝24，|a+b|＝﹣a﹣b，则b﹣a的值为（　　） A．4或44 B．﹣4或﹣44 C．﹣4 D．﹣44 【分析】先根据绝对值的定义求出a、b的值，再根据|a+b|＝﹣a﹣b进一步确定a、b的值，最后计算b﹣a即可． 【解答】解：∵|a|＝20，|b|＝24， ∴a＝±20，b＝±24， ∵|a+b|＝﹣a﹣b， ∴a+b≤0， ∴a＝20，b＝﹣24或a＝﹣20，b＝﹣24， 当a＝20，b＝﹣24时，b﹣a＝﹣24﹣20＝﹣24+（﹣20）＝﹣44； 当a＝﹣20，b＝﹣24时，b﹣a＝﹣24﹣（﹣20）＝﹣24+20＝﹣4； 综上，b﹣a的值为﹣44或﹣4， 故选：B． 9．（3分）下列是甲、乙两位同学简便计算“”的方法，下列判断正确的是（　　） 甲同学：原式＝ ＝ 乙同学：原式＝ ＝ A．只有甲的方法正确 B．只有乙的方法正确 C．甲、乙的方法都正确 D．甲、乙的方法都不正确 【分析】根据有理数的乘法运算律计算即可． 【解答】解：甲同学： ＝ ＝； 乙同学： ＝ ＝ 所以甲、乙的方法都正确． 故选：C． 10．（3分）对于有理数a，b，我们规定运算“⊕”：a⊕b＝；对于任意有理数a，b，c，若（a⊕b）⊕c＝a⊕（b⊕c）成立，则称运算“⊕”满足结合律．下列说法正确的是（　　） A．．运算“⊕”满足结合律 B．（﹣1）⊕（﹣2）＝，运算“⊕”满足结合律 C．，运算“⊕”不满足结合律 D．，运算“⊕”不满足结合律 【分析】根据运算“⊕”的定义分别计算（a⊕b）⊕c和a⊕（b⊕c），判断（a⊕b）⊕c＝a⊕（b⊕c）是否成立；再分别计算1⊕（﹣2）、（﹣1）⊕（﹣2）和（﹣1）⊕2即可． 【解答】解：∵（a⊕b）⊕c ＝⊕c ＝ ＝， a⊕（b⊕c） ＝a⊕ ＝ ＝， ∵≠， ∴（a⊕b）⊕c≠a⊕（b⊕c）， ∴运算“⊕”不满足结合律， ∴AB不正确； 1⊕（﹣2）＝＝﹣， ∴C正确，符合题意； （﹣1）⊕2＝＝， ∴D不正确，不符合题意． 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共6小题，满分18分） 11．（3分）把﹣（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣2）+（﹣4）写成省略括号与加号的形式 　3﹣6+2﹣4　． 【分析】先根据有理数的减法法则把减法变成加法，即可得出答案． 【解答】解：﹣（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣2）+（﹣4） ＝3﹣6+2﹣4． 故答案为：3﹣6+2﹣4． 12．（3分）的倒数与的相反数的和是 　0　． 【分析】根据倒数，相反数的定义求出的倒数与的相反数，然后相加即可得出答案． 【解答】解：﹣1＝﹣，它的倒数是，的相反数是， 则， 即的倒数与的相反数的和是0， 故答案为：0． 13．（3分）﹣2024的倒数是 　　；1.49万精确到 　百　位． 【分析】根据倒数的定义可得答案；根据一个近似数精确到哪一位，即要看末位数字实际在哪一位，即可看出答案． 【解答】解：∵， ∴﹣2024的倒数是； ∵1.49万中1在万位，4在千位，9在百位， ∴1.49万精确到百位， 故答案为：；百． 14．（3分）一根1米长的小棒，第一次截去它，第二次截去剩下，如此截下去，第10次后剩下的棒的长度是　　米． 【分析】由题意可知，第一次截后剩下的棒的长度是，第二次截后剩下的棒的长度是，据此即可求解． 【解答】解：由题意可得，第五次后剩下的小棒的长度是： （1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝． 故答案为：． 15．（3分）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是（9﹣8）×8×3或（9﹣8÷8）×3．现有1，8，10，﹣5，则列出一个求“24点”的算式是 　[1﹣10÷（﹣5）]×8（答案不唯一）　（写出一种即可）． 【分析】根据有理数的混合运算法则列式即可． 【解答】解：依题意可得：[1﹣10÷（﹣5）]×8 ＝（1+2）×8 ＝3×8 ＝24． 故答案为：[1﹣10÷（﹣5）]×8（答案不唯一）． 16．（3分）定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若a⊗b＝a*b，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，2⊗3＝2*3，所以2，3就是一对“隔一数对”， （1）下列各组数是“隔一数对”的是 　①②　（请填序号）． ①a＝1，b＝2②，③a＝﹣1，b＝1 （2）计算：（﹣3）*4﹣（﹣3）⊗4+（﹣2024）*（﹣2024）． 【分析】（1）按照题干定义分别求出对应的a⊗b、a*b，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【解答】解：（1）①，， ∴a⊗b＝a*b，则①是“隔一数对”； ②，， ∴a⊗b＝a*b，则②是“隔一数对”； ③，， ∴a⊗b≠a*b，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）原式＝ ＝ ＝ ＝． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）计算： （1）（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）； （2）（简便计算）． 【分析】（1）直接运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可； （2）运用有理数的乘法运算律进行简便运算即可． 【解答】解：（1）（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5） ＝4+4÷2 ＝4+2 ＝6； （2） ＝ ＝ ＝25×1 ＝25． 18．（6分）（1）； （2）（﹣2）3﹣（﹣1）2024×（﹣6）+（﹣3）2． 【分析】（1）先算绝对值，再算除法，后算加减； （2）先算乘方，再算乘法，后算加减． 【解答】解：（1） ＝3﹣（﹣2）÷（﹣）+8 ＝3﹣（﹣2）×（﹣4）+8 ＝3﹣8+8 ＝3； （2）（﹣2）3﹣（﹣1）2024×（﹣6）+（﹣3）2 ＝﹣8﹣1×（﹣6）+9 ＝﹣8+6+9 ＝7． 19．（8分）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）； 列式，并计算： （1）﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ （2）5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ 【分析】（1）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的四则运算法则求解即可； （2）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的四则运算法则求解即可． 【解答】解：（1）[（﹣3）×2﹣（﹣5）]2+6 ＝（﹣6+5）2+6 ＝（﹣1）2+6 ＝1+6 ＝7； （2）[5﹣（﹣5）]2×2+6 ＝（5+5）2×2+6 ＝102×2+6 ＝100×2+6 ＝200+6 ＝206． 20．（8分）小明的爸爸车辆使用情况的相关信息如下．汽车平均每月行驶1000km，平均每10km大约耗油0.9L． （1）若汽油每升8元，请计算出小明的爸爸平均每月汽车用油大约需要多少钱． （2）某加油站正在对原价450元的加油卡进行酬宾活动，活动方案如下： 方案①：打八折； 方案②：若在本次活动中先花20元办一张会员卡，则在打八折的基础上再打九折． 请通过计算确定哪种方案购买加油卡更合算． 【分析】（1）先求出行驶1000km的油耗，再乘单价即可； （2）分别求出方案①和方案②所需费用，再比较大小即可． 【解答】解：（1）1000÷10×0.9×8＝720（元）， 答：小明的爸爸平均每月汽车用油大约需要720元． （2）方案①的花费是450×0.8＝360（元）， 方案②的花费是20+450×0.8×0.9＝344（元）， ∵344＜360， ∴方案②购买加油卡更合算． 21．（10分）【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：计算：． ①小明写出如下解题过程：原式＝ ＝． ②小强写出如下解题过程：原式的倒数为 ＝． 则原式＝． 【类比分析】 （1）请你选择一名同学的方法，计算：． 【学以致用】 （2）计算：． 【分析】（1）计算原式的倒数，则可利用乘法分配律简化运算，再取结果的倒数即可； （2）考虑到相加的两式正好互为倒数，因此利用分配律计算出的值，即可得另一加数的值，然后相加即可． 【解答】解：（1）原式的倒数为 ＝ ＝×（﹣54）+×（﹣54）﹣×（﹣54） ＝﹣10﹣36+24 ＝﹣22， 则原式＝； （2） ＝ ＝×（﹣）﹣×（﹣）﹣×（﹣） ＝ ＝， 则， ∴原式＝． 22．（10分）在今年的“国庆+中秋”的8天长假中，我市景区再度上演“人从众”，其中最火爆的5A级景区为太姥山风景．正所谓“不到长城非好汉，不去太姥山很遗憾”，景区每天旅游人数变化如表：（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 29日 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日 人数变化（万） +0.6 ﹣0.4 +0.2 ﹣0.3 +0.5 ﹣0.1 ﹣0.4 ﹣1 （1）若9月28日的游客人数为1.2万人，则10月4日的游客人数是多少万人？ （2）8天中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ （3）如果每万人带来的经济收入约为70万元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数来表示） 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以计算出10月4日的游客人数； （2）根据表格中的数据可以计算出每天的游客人数，再比较大小，即可求解； （3）用8天的总人数乘以70万元，计算出结果，再用科学记数法表示即可． 【解答】解：（1）1.2+0.6﹣0.4+0.2﹣0.3+0.5﹣0.1＝1.7（万人）， 答：10月4日的游客人数是1.7万人； （2）由表格可得， 9月28日的游客人数是1.2万人， 9月29日的游客人数是1.2+0.6＝1.8（万人）， 9月30日的游客人数是1.8﹣0.4＝1.4（万人）， 10月1日的游客人数是1.4+0.2＝1.6（万人）， 10月2日的游客人数是1.6﹣0.3＝1.3（万人）， 10月3日的游客人数是1.3+0.5＝1.8（万人）， 10月4日的游客人数是1.8﹣0.1＝1.7（万人）， 10月5日的游客人数是1.7﹣0.4＝1.3（万人）， 10月6日的游客人数是1.3﹣1＝0.3（万人）， ∴最多一天人数为1.8万人，最少一天人数为0.3万人， 则8天中游客人数最多的一天比最少的一天多：1.8﹣0.3＝1.5（万人）， 答：8天中游客人数最多的一天比最少的一天多1.5万人； （3）（1.8+1.4+1.6+1.3+1.8+1.7+1.3+0.3）×700000＝7840000＝7.84×106（元）， 答：该风景区在这8天假期的旅游总收入约为7.84×106元． 23．（12分）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设S＝1+2+3+⋯+100，① 则S＝100+99+98+⋯+1，② ①+②得2S＝101+101+101+⋯+101． 所以2S＝100×101，S＝（100×101）÷2＝5050， 所以1+2+3+⋯+100＝5050． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： （1）计算：1+2+3+⋯+1000； （2）计算：100+101+102+⋯+200． 【分析】（1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可． （2）计算出1+2+3+⋯+100+101+⋯+200和1+2+3+⋯+99的值；100+101+102+⋯+200＝（1+2+3+⋯+100+101+⋯+200）﹣（1+2+3+...+99）． 【解答】解：（1）设S＝1+2+3+⋯+1000，① 则S＝1000+999+998+⋯3+2+1，② ①+②得：2S＝（1+1000）+（2+999）+⋯+（1000+1））＝1000×1001＝1001000， ∴S＝1001000÷2＝500500， ∴1+2+3+⋯+1000＝500500； （2）设T＝1+2+3+⋯+100+101+⋯+200，① 则T＝200+199+⋯+100+⋯+3+2+1，② ①+②得：2S＝（1+200）+（2+199）+⋯+（200+1）＝200×201＝40200， ∴S＝20100， 1+2+3+⋯+99＝（1+2+3+⋯+99+100）﹣100＝5050﹣100＝4950． ∴100+101+102+⋯+200＝（1+2+3+⋯+100+101+⋯+200）﹣（1+2+3+...+99）＝20100﹣4950＝15150． 24．（12分）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： （1）应用一：已知如图，点A在数轴上表示为﹣2，数轴上任意一点B表示的数为x，则AB两点的距离可以表示为　|x+2|　， （2）应用二：若点B表示的整数为x，则当x为　﹣1　时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （3）应用三：|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出|x+5|+|x﹣2|的最小值为　7　，此时所有符合条件的整数x的和为　﹣12　． （4）应用四：如图，将数轴沿着点A折叠，若数轴上M，N两点折叠后重合，且点M在点N的左侧，M，N两点之间距离为12，M，C两点之间距离为4，则点M表示的数是　﹣8　；点N表示的数是　4　；点C表示的数是　﹣12或﹣4　． 【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示x的数与表示4和﹣2的数的距离相等，则数轴上表示x的数是表示4和﹣2的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可； （4）根据题意可得点M和点N到点A的距离都为6，据此根据数轴上两点距离计算公式求出点M和点N表示的数，进而求出点C表示的数即可． 【解答】（1）解：AB＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|， 故答案为：|x+2|； （2）解：∵|x+4|与|x﹣2|的值相等， ∴表示x的数与表示4和﹣2的数的距离相等， ∴表示x的数是表示4和﹣2的数的中点， ∴， 故答案为：﹣1． （3）解：∵|x+5|+|x﹣2|表示x对应的点到﹣5和2对应的两点距离之和， ∴当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|有最小值，最小值为x+5+2﹣x＝7， ∴整数x有﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，它们的和为﹣12， 故答案为：7；﹣12； （4）解：∵将数轴沿着点A折叠，数轴上M，N两点折叠后重合，且M，N两点之间距离为12， ∴M和N到点A的距离都为6， ∴M表示的数为﹣2﹣6＝﹣8，N表示的数为﹣2+6＝4， ∵M，C两点之间距离为4， ∴当C在M左侧时，点C表示的数为﹣8﹣4＝﹣12， 当C在M右侧时，点C表示的数为﹣8+4＝﹣4， ∴点C表示的数为﹣12或﹣4， 故答案为：﹣8；4；﹣12或﹣4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$