专题04 有理数中规律和新定义综合应用（六大题型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版2024新教材）

专题04 有理数中规律和新定义综合应用（六大题型） 【题型01 数列型规律】 【题型02 裂差型规律】 【题型03 新定义型规律】 【题型04含型规律】 【题型05 定义两个数的运算】 【题型06 定义多个数的运算】 【题型01 数列型规律】 【典例1】如图，第1个图形中小黑点的个数为5，第2个图形中小黑点的个数为9，第3个图形中小黑点的个数为13，…，按照这样的规律，第100个图形中小黑点的个数是（    ）    A．598 B．302 C．499 D．401 【变式1-1】下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个五角星，第②个图形中一共有7个五角星，第③个图形中一共有个五角星，第④个图形中一共有个五角星，……，按此规律排列下去，第个图形中五角星的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下图是由一些小三角形和小正方形组成的美丽图案，由图形组成规律可知第⑨个图形中小三角形和小正方形共有（    ）个． A．91 B．99 C．101 D．121 【题型02 裂差型规律】 【典例2】小涵同学在做有理数的计算时发现： ；；；； 请根据小涵发现的规律，计算的值（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】观察下列各式：，，，，按照上面的规律，计算式子的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】先阅读下列例题，然后进行解答： 例：计算 解：因为 所以， 请根据你的理解解答下列各题： (1)计算： (2)计算： 【题型03 新定义型规律】 【典例3】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，…； （2），，…． 利用以上规律计算等于（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【变式3-1】符号“”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】定义：a 是不为 1 的有理数 我们把称为a 的差倒数，如：2 的差倒数是，1 的差倒数是，已知 是 的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则=（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】定义一种正整数n的“T”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，用n连续除以2，直到结果为奇数停止，并且运算重复进行．例如，当＝18时，运算过程如下： 若n＝21，则第2021次“T”运算的结果是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型04含型规律】 【典例4】观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式4-1】观察下列算式：，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式再加上（    ）后，结果就是1． A． B． C． D． 【变式4-3】正整数按图中的规律排列，请找出数字2023在第几行，第几列？（    ）    A．45行5列 B．45行4列 C．45行3列 D．45行2列 【题型05 定义两个数的运算】 【典例5】定义新运算“⨂”，规定：⨂．如：⨂，则⨂的值是（    ） A．8 B． C．4 D． 【变式5-1】用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，，例如：，则的值为（    ） A． B．5 C．13 D． 【变式5-2】用“*”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定，如，则的值为（    ） A． B．8 C．4 D． 【变式5-3】现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（    ） A． B． C．7 D．13 【题型06 定义多个数的运算】 【典例6】若定义新运算：，请利用此定义计算的值为（　　） A．116 B． C．216 D． 【变式6-1】如果是任意两个不等于零的实数，定义新运算如下：，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知、皆为正有理数．定义运算符号为※：当时，；当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数中规律和新定义综合应用（六大题型） 【题型01 数列型规律】 【题型02 裂差型规律】 【题型03 新定义型规律】 【题型04含型规律】 【题型05 定义两个数的运算】 【题型06 定义多个数的运算】 【题型01 数列型规律】 【典例1】如图，第1个图形中小黑点的个数为5，第2个图形中小黑点的个数为9，第3个图形中小黑点的个数为13，…，按照这样的规律，第100个图形中小黑点的个数是（    ）    A．598 B．302 C．499 D．401 【答案】D 【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算，能发现每个图形中小黑点的个数除去中间一个后，其余的小黑点个数是4的倍数进行解题即可． 【详解】解：由题知： 第1个图形中小黑点的个数为：， 第2个图形中小黑点的个数为：， 第3个图形中小黑点的个数为：， 则第100个图形中小黑点的个数为：， 故选：D． 【变式1-1】下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个五角星，第②个图形中一共有7个五角星，第③个图形中一共有个五角星，第④个图形中一共有个五角星，……，按此规律排列下去，第个图形中五角星的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的变化即可写出规律式，进而求解． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有4个五角星，即； 第②个图形中一共有7个五角星，即； 第③个图形中一共有个五角星，即； 第④个图形中一共有个五角星，即； ……，按此规律排列下去， 第n个图形中一共有五角星个数为， 第个图形中五角星的个数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的变化类，以及有理数的加法和乘法运算，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 【变式1-2】下图是由一些小三角形和小正方形组成的美丽图案，由图形组成规律可知第⑨个图形中小三角形和小正方形共有（    ）个． A．91 B．99 C．101 D．121 【答案】C 【分析】本题考查了图形的规律探究，解题的关键是找出图形变化的规律；通过图形之间的变化，由特殊规律推出一般性的规律，即可得解； 【详解】第1个图形小三角形和小正方形共有（个）， 第2个图形小三角形和小正方形共有（个）， 第3个图形小三角形和小正方形共有（个）， 第4个图形小三角形和小正方形共有（个）， ．．．， 第n个图形小三角形和小正方形共有（个）， 当时，（个）， 故选：C． 【题型02 裂差型规律】 【典例2】小涵同学在做有理数的计算时发现： ；；；； 请根据小涵发现的规律，计算的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，根据题目中的式子的特点，先拆项，然后计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式2-1】观察下列各式：，，，，按照上面的规律，计算式子的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子的规律得出，进而化简式子，根据有理数的加减进行计算，最后求绝对值即可求解． 【详解】解：∵，，，，……， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键． 【变式2-2】先阅读下列例题，然后进行解答： 例：计算 解：因为 所以， 请根据你的理解解答下列各题： (1)计算： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先拆分，再抵消法计算即可求解； （2）先拆分，再抵消法计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型03 新定义型规律】 【典例3】符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，…； （2），，…． 利用以上规律计算等于（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【分析】由所给算式可知：，，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故选：B． 【变式3-1】符号“”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到规律，从而得到 ，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ……， 由此发现，， ∴ ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 【变式3-2】定义：a 是不为 1 的有理数 我们把称为a 的差倒数，如：2 的差倒数是，1 的差倒数是，已知 是 的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2017除以3，根据余数的情况确定出与相同的数即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， … ∴每3个数为一周期循环， ∵2017÷3=672……1， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【变式3-3】定义一种正整数n的“T”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，用n连续除以2，直到结果为奇数停止，并且运算重复进行．例如，当＝18时，运算过程如下： 若n＝21，则第2021次“T”运算的结果是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几次输出的结果，然后即可发现数字的变化规律，从而可以得到2021次“T”运算的结果． 【详解】解：由题意可得， 当n＝21时， 第1次输出的结果为64， 第2次输出的结果为1， 第3次输出的结果为4， 第4次输出的结果为1， 第5次输出的结果为4， …， ∴从第2次开始，这列数以1，4不断循环出现， ∵（2021﹣1）÷2＝2020÷2＝1010， ∴2021次“T”运算的结果4， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，数字的变化规律，解答本题的关键是总结出得到的数据存在的规律． 【题型04含型规律】 【典例4】观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探索，找出末位数字变化规律，即可求解． 【详解】解：由已知算式可知，末位数字每隔4个数循环一次，并且数字依次为3，9，7，1， ，没有余数， 的末位数字是1， 故选A． 【变式4-1】观察下列算式：，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及数字的变化规律—尾数特征，解题的关键是根据所给的式子，发现：（为正整数）的个位数字是，，，四个一循环，由，再根据规律即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，，，，，， ∴（为正整数）的个位数字是，，，四个一循环， ∵， ∴的末位数字与的末位数字相同，是． 故选：C． 【变式4-2】如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式再加上（    ）后，结果就是1． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算、规律性，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知 【详解】解：由图可知， 在加上后，结果就是1 故选：D 【变式4-3】正整数按图中的规律排列，请找出数字2023在第几行，第几列？（    ）    A．45行5列 B．45行4列 C．45行3列 D．45行2列 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索．先根据上图找到每行第一列数字的规律，第n行，第一个数为，然后找最接近的完全平方数为，然后倒数三个数，即可找到所在的列． 【详解】解：观察数列，发现每一行的第一个数是， ∵， ∴第行的第一个数是， ∴在第45行第3列， 故选：C． 【题型05 定义两个数的运算】 【典例5】定义新运算“⨂”，规定：⨂．如：⨂，则⨂的值是（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是明确有理数的混合运算的计算方法． 根据题目中的新定义运算公式可以求出所求式子的值． 【详解】解：∵⨂， ∴⨂ = = ． 故选A． 【变式5-1】用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，，例如：，则的值为（    ） A． B．5 C．13 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则．根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式5-2】用“*”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定，如，则的值为（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义下的有理数运算，根据给出的新定义进行计算即可，按照新定义准确计算是解题的关键． 【详解】解：根据， 可得， 故选：D． 【变式5-3】现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义情境下的有理数的加减乘除运算，弄懂新定义的含义是解题的关键．根据新定义的运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 【题型06 定义多个数的运算】 【典例6】若定义新运算：，请利用此定义计算的值为（　　） A．116 B． C．216 D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了有理数的混合运算，利用新运算的规定列式运算即可．理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 解： ． 故选：D． 【变式6-1】如果是任意两个不等于零的实数，定义新运算如下：，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的新定义先求出，再计算出的结果即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选C． 【点睛】本体主要考查了含乘方的有理数的混合计算，正确理解所给的新定义是解题的关键． 【变式6-2】若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义运算先计算，进而计算，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义列出算式是解题的关键． 【变式6-3】已知、皆为正有理数．定义运算符号为※：当时，；当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：时，；当时，， ，， ， 故选：． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$