第2章 有理数的运算知识归纳与题型训练（6题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（浙教版2024）

第2章 有理数的运算知识归纳与题型训练（6题型清单） 一、有理数的加法 同号两数相加的法则：同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加． 异号两数相加的法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 其他特例法则：互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数 有理数加法的简便运算律： 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变； 字母表达式： 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变； 字母表达式： 要点诠释： 1、有理数的加法，第一步先确定和的符号，第二步才是将绝对值相加或相减； 2、加法法则及运算律不仅适应与两数相加，三个及以上的有理数相加也同样适用； 二、有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 要点诠释： 1、有理数减法的计算步骤： ①将减号变成加号，把减数变成它的相反数 ②按照加法运算的步骤去做。 ☆特别注意：① 减法法则不能与加法法则中的异号两数相加相混淆 ② 减法没有交换律 2、有理数加减混合运算的步骤： ①遇减化加 ②运用加法交换律和结合律，简化运算 ③求出结果 三、有理数的乘法 有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 任何数与0相乘，积为0。 有理数乘法的简便运算律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变； 字母表达式： 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变； 字母表达式： 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 字母表达式： 要点诠释： （1）几个非0有理数相乘 ，当负数有奇数个时，积为负；当负数有偶数个时，积为正 ； （2）几个数相乘，有一个因数为0，则积为0；如果积为0，则至少有一个因数为0； （3）若两个数的乘积为1，则称这两个有理数互为倒数； 特别地：0没有倒数，互为倒数的两个数同号，倒数是其本身的数有1和-1； 四、有理数的除法 有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数都得0 有理数乘法与除法的关系：除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数。 要点诠释： （1）0不能作为除数； （2）多个有理数相除时，如果能整除，则直接相除，如果不能整除，通常把除法转化为乘法，统一为乘法再运算； （3）除法没有交换律、结合律、分配律； 五、有理数的乘方 求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数，读作或； 科学记数法：把一个数表示成a与10的幂相乘的形式叫做科学记数法 符号表达式： 要点诠释： （1）一般地：10的n次幂，在1的后面就有n个0； （2）n的值的两种确定方法：1.将这个数的整数部分的位数-1就是n 2.将这个数的小数点向左移动的位数就是n； 六、有理数的混合运算 有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里面的运算 要点诠释： 有理数的混合运算中，也要特别注意计算中的正负号； 七、近似数 近似数：与实际接近的数称为近似数 要点诠释： （1） 近似数一般根据要求四舍五入即可； （2） 近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 题型一　有理数的加减法运算 例题： 1．（2023秋•台州期中）把算式：（﹣5）﹣（﹣4）+（﹣7）﹣（+2）写成省略括号的形式，结果正确的是（　　） A．﹣5﹣4+7﹣2 B．﹣5+4﹣7﹣2 C．5+4﹣7﹣2 D．﹣5+4+7﹣2 【分析】根据有理数加减法的运算方法，判断出把算式：（﹣5）﹣（﹣4）+（﹣7）﹣（+2）写成省略括号的形式，结果正确的是哪个即可． 【解答】解：（﹣5）﹣（﹣4）+（﹣7）﹣（+2） ＝﹣5+4﹣7﹣2 ＝﹣10 故选：B． 2．（2023秋•柯桥区月考）王博在做课外习题时遇到如图所示一道题，其中是被污损而看不清的一个数，它翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（　　） A．10 B．﹣4 C．﹣10 D．10或﹣4 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：设“”表示的数是x， 根据题意得：|﹣3+x|﹣（﹣8）＝15， 整理得：|x﹣3|＝7，即x﹣3＝7或﹣7， 解得：x＝10或﹣4， 故选：D． 3．（2023秋•萧山区期中）计算： （1）（﹣7）﹣（﹣13）； （2）． 【分析】（1）减去一个数，等于加上这个数的相反数，由此计算即可； （2）先把减法运算统一成加法运算，然后根据有理数的加法运算法则计算即可． 【解答】解：（1）（﹣7）﹣（﹣13） ＝﹣7+13 ＝6； （2） ＝ ＝ ＝﹣2+（﹣2） ＝﹣4． 4．（2023秋•临海市校级月考）阅读下列解题过程： ﹣0.25﹣（﹣3）+0.5 解：原式＝﹣0.25+（﹣3）+0.5…① ＝﹣0.25﹣3.75+0.5…② ＝﹣4+0.5…③ ＝﹣3.5． （1）上面解题过程在第 　①　步出现错误； （2）请写出正确的解题过程． 【分析】（1）观察已知条件中的算式，找出出现错误的步骤即可； （2）按照混合运算法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式进行简便计算即可． 【解答】解：（1）∵﹣0.25﹣（﹣3）+0.5＝﹣0.25+3+0.5①， ∴上面解题过程在第①步出现错误， 故答案为：①； （2）正确的解题过程如下： ﹣0.25﹣（﹣3）+0.5 ＝﹣0.25+3+0.5 ＝﹣0.25+3.75+0.5 ＝3.75+0.5﹣0.25 ＝4.25﹣0.25 ＝4． 5．（2023秋•义乌市月考）出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米） ﹣2，+5，﹣8，﹣3，+6，﹣6． （1）小王将最后一名乘客送到目的地时，在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？ （2）若出租车每公里耗油0.3升，求小王回到出发地共耗油多少升？ （3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米（不足1千米按1千米计算）还需收4元钱，小王今天是收入是多少元？ 【分析】（1）根据有理数的加法进行计算即可得到答案； （2）将这些数的绝对值相加，求出总路程，再根据出租车每公里耗油0.3升，可得答案； （3）根据行车记录和收费方法列出算式，计算即可得解． 【解答】解：（1）﹣2+5﹣8﹣3+6﹣6＝﹣8（千米）， ∴小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的北方，距下午出车的出发地8千米． （2）|﹣2|+|5|+|﹣8|+|﹣3|+|6|+|﹣6|＝30（千米）， 30×0.3＝9（升）， 8×0.3＝2.4（升）， 9+2.4＝11.4（升）， ∴小王回到出发地共耗油11.4升． （3）根据出租车收费标准，可知小王今天的收入是10+[10+（5﹣3）×4]+[10+（8﹣3）×4]+10+[10+（6﹣3）×4]+[10+（6﹣3）×4]＝112（元）， ∴小王今天的收入是112元． 巩固训练 6．（2023秋•海曙区期中）若（　　）﹣（﹣30+10）＝﹣5，则括号内的数是（　　） A．15 B．﹣15 C．﹣25 D．﹣45 【分析】利用被减数＝减数+差列出算式计算即可得出结论． 【解答】解：（﹣5）+（﹣30+10）＝﹣5+（﹣20）＝﹣25， 故选：C． 7．（2023秋•江山市期中）一天早晨的气温是﹣3℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，半夜的气温是 　﹣1　℃． 【分析】根据题意列出算式，然后根据有理数加减法运算法则进行计算求解． 【解答】解：半夜的气温是﹣3+11﹣9＝8﹣9＝﹣1℃， 故答案为：﹣1． 8．（2023秋•嵊州市校级月考）设a是最小的自然数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，则a+b+c﹣d＝　2　． 【分析】根据最小的正整数为1，最小的自然数为0，绝对值最小的有理数为0，以及最大的负整数为﹣1，确定出a，b，c，d的值，即可求出a+b+c﹣d的值． 【解答】解：∵a是最小的自然数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数，d是最大的负整数， ∴a＝0，b＝1，c＝0，d＝﹣1， 则a+b+c﹣d＝2． 故答案为：2． 9．（2023秋•嵊州市校级月考）计算题： （1）23+（﹣17）； （2）7﹣（﹣4）+（﹣5）； （3）； （4）． 【分析】依据四则运算法则，计算即可． 【解答】解：（1）23+（﹣17） ＝23﹣17 ＝6； （2）7﹣（﹣4）+（﹣5） ＝7+4﹣5 ＝11﹣5 ＝6； （3） ＝ ＝﹣1 （4） ＝ ＝﹣2﹣1 ＝﹣3． 10．（2023秋•衢江区校级月考）设[a]表示取a的整数部分，例如：． （1）求的值； （2）令{a}＝a﹣[a]，求． 【分析】（1）根据题意[a]表示取a的整数部分即可求解； （2）先根据{a}＝a﹣[a]，将化成2﹣2﹣[﹣2.4]+（﹣6）﹣（﹣7），再根据[a]表示取a的整数部分即可求解． 【解答】解：（1） ＝2+（﹣4）﹣（﹣7） ＝2+（﹣4）+7 ＝5； （2） ＝2﹣2﹣（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣7） ＝2﹣2+3+（﹣6）+7 ＝4． 题型二　有理数的乘法运算 例题： 1．（2024•黄岩区校级模拟）2×（﹣3）的计算结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣5 D．5 【分析】根据有理数乘法的运算法则，求出2×（﹣3）的计算结果即可． 【解答】解：2×（﹣3）＝﹣6． 故选：B． 2．（2023秋•金东区期末）如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有（　　） A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 【分析】根据同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数，则有奇数个负数，据此即可作答． 【解答】解：∵同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数， 则这4个数中负数有1个或3个， ∴这4个数中正数有3个或1个． 故选：B． 3．（2023秋•内江期末）下列说法中正确的个数有（　　） ①最大的负整数是﹣1； ②相反数是本身的数是正数； ③有理数分为正有理数和负有理数； ④数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边； ⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由有理数的含义与分类可判断①，③，由相反数的含义可判断②，由﹣a不一定是负数可判断④，由有理数的乘法的符号确定的方法可判断⑤，从而可得答案． 【解答】解：最大的负整数是﹣1，说法正确，故①符合题意； 相反数是本身的数是0，原说法错误，故②不符合题意； 有理数分为正有理数和负有理数和0，原说法错误，故③不符合题意； 数轴上表示﹣a的点不一定在原点的左边，原说法错误，故④不符合题意； 几个非零有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，原说法错误，故⑤不符合题意； 故选：A． 4．（2023秋•德清县期末）若x，y，z都是有理数，且x+y+z＝0，xyz＜0，则的值是 　3或﹣1　． 【分析】由x+y+z＝0变形可得：y+z＝﹣x，z+x＝﹣y，x+y＝﹣z，从而原式可化为：；再由x+y+z＝0，xyz＜0可知：在x、y、z中必有一负两正，分情况讨论就可求得原式的值． 【解答】解：∵x+y+z＝0， ∴y+z＝﹣x，z+x＝﹣y，x+y＝﹣z， ∴原式＝， ∵x+y+z＝0，xyz＜0， ∴在x、y、z中必为两正一负， ∴当x为负时，原式＝， 当y为负时，原式＝， 当z为负时，原式＝， 故答案为：3或﹣1． 5．（2021秋•余杭区月考）计算： （1）（﹣0.25）×3.14×40； （2）﹣25×8． 【分析】（1）根据乘法分配律和结合律计算可求解； （2）将﹣25转化为﹣25﹣，再利用乘法分配律计算可求解． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝﹣10×3.14 ＝﹣31.4； （2）原式＝ ＝﹣200﹣ ＝﹣200.25． 6．（2023秋•鄞州区校级月考）在学习有理数的乘法时，李老师和同学们做了这样一个游戏：将2023这个数说给第一名同学，第一名同学将它减去它的的结果告诉第二名同学，第二名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三名同学，第三名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四名同学，…照这样的方法直到全班40名同学全部传完，最后一名同学将听到的结果告诉李老师．你知道最后的结果吗？ 【分析】根据题意可得2023×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣），再运算即可． 【解答】解：2023×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣） ＝2023××××…× ＝． 巩固训练 7．（2023秋•嘉兴期末）已知m﹣n＝0，且m﹣a＝n+b，则a，b一定满足的关系式是（　　） A．ab＝0 B．ab＝1 C．a﹣b＝0 D．a+b＝0 【分析】根据有理数的加减法法则和有理数的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：∵m﹣n＝0，且m﹣a＝n+b， ∴m﹣n＝a+b＝0， 故选：D． 8．（2023秋•义乌市月考）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示D+E＝1B，用十进制表示也就是13+14＝1×16+1.1，则用十六进制表示A×B＝（　　） A．6E B．72 C．5F D．B0 【分析】在表格中找出A和B所对应的十进制数字，然后根据十进制表示出A×B，根据表格中E对应的十进制数字可把A×B用十六进制表示． 【解答】解：∵表格中A对应的十进制数为10，B对应的十进制数为11，∴A×B＝10×11， 由十进制表示为：10×11＝6×16+14， 又表格中E对应的十进制为14， ∴用十六进制表示A×B＝6E． 故选：A． 9．（2023秋•南浔区期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 　615或645或675或705或735　． 【分析】根据示例求出b，再根据已知判断a应为奇数，从而求出结果即可． 【解答】解：由图得，1×4＝4，5×4＝20，1•a＝a， ∴如图， ∴b＝6， ∴如图， 有图得，a应为奇数1，3，5，7，9． 所以两个两位数可以为15×41；15×43；15×45；15×47；15×49， ∴相乘结果为615或645或675或705或735． 故答案为：615或645或675或705或735． 10．（2023秋•奉化区期末）四个各不相等的整数a，b，c，d，它们的积a•b•c•d＝9，那么a+b+c+d的值是　0　． 【分析】由于abcd＝9，且a，b，c，d是整数，所以把9分解成四个不相等的整数的积，从而可确定a，b，c，d的值，进而求其和． 【解答】解：∵9＝1×（﹣1）×3×（﹣3）， ∴a+b+c+d＝1+（﹣1）+3+（﹣3）＝0． 故答案为：0． 11．（2024春•浙江期中）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定符号（a，b）⊗（c，d）＝ad+bc．例如：（2，3）⊗（1，﹣4）＝2×（﹣4）+3×1＝﹣5． 求（﹣2，1）⊗（﹣4，﹣5）的值； 【分析】根据新定义写出算式再进行计算即可； 【解答】解：原式＝（﹣2）×（﹣5）+1×（﹣4） ＝10﹣4＝6． 题型三　有理数的除法运算 例题： 1．（2023秋•浙江期中）的倒数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，由此计算即可． 【解答】解：的倒数是﹣2024， 故选：A． 2．（2023秋•杭州月考）已知|x|＝4，|y|＝2，且x＜y，则x÷y的值为 　﹣2或2　． 【分析】根据绝对值的性质求出x、y的值，再根据有理数的大小比较判断出x、y的对应情况，然后根据有理数的除法法则进行计算即可得解． 【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝2，且x＜y， ∴x＝﹣4，y＝2或y＝﹣2， 故x÷y＝﹣2或2， 故答案为：﹣2或2． 3．（2022秋•瑞安市期中）计算：﹣5÷（﹣6）×16＝　13　． 【分析】利用有理数的除法、乘法运算法则计算即可． 【解答】解：算：﹣5÷（﹣6）×16 ＝﹣5×（﹣）× ＝× ＝ ＝13． 故答案为：13． 4．（2023秋•浙江期中）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19． 所以原式＝﹣． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣） ＝[﹣++×（﹣6）]×（﹣42） ＝﹣21+14﹣30+112 ＝75， 则原式＝． 巩固训练 5．（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 【分析】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断． 【解答】解：A、﹣7÷7＝﹣1≠1，故计算错误； B、，故计算错误； C、﹣36÷（﹣9）＝4，故计算正确； D、，故计算错误； 故选：C． 6．（2022秋•余杭区校级月考）（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）； （2）﹣99×34． 【分析】（1）先确定最后结果的符号，并变除法运算为乘法进行求解； （2）先确定结果的符号，再运用乘法分配律进行计算． 【解答】解：（1）÷（﹣）÷（﹣0.25） ＝×4 ＝； （2）﹣99×34 ＝﹣（100﹣）×34 ＝﹣（100×34﹣×34） ＝﹣（3400﹣4） ＝﹣3396． 7．（2023秋•海曙区期中）类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方．例如2÷2÷2÷2，记作“24”，读作“2的引4次商”．一般的，把（a≠0，n≥2，且为整数）记作“an”，读作“a的引n次商”． （1）直接写出计算结果：“（）4”＝　4　，“（﹣3）3”＝　﹣　． （2）归纳：负数的引正奇数次商是 　负　数，负数的引正偶数次商是 　正　数（填“正或负”）； （3）计算：（﹣8）÷“23”+11ד（﹣）4”． 【分析】（1）根据除方的定义计算即可； （2）由除方的定义即可得到结论； （3）根据除方的定义计算即可． 【解答】解：（1）“（）4”＝÷÷÷＝4，“（﹣3）3”＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝﹣． 故答案为：4，﹣． （2）根据除方的定义可知，负数的引正奇数次商是负数，负数的引正偶数次商是正数． 故答案为：负，正． （3）（﹣8）÷“23”+11ד（﹣）4” ＝（﹣8）÷（2÷2÷2）+11×[（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）] ＝（﹣8）÷+11×16 ＝﹣16+176 ＝160． 题型四　有理数的乘方运算 例题： 1．（2024•宁波模拟）（﹣2）3＝（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8 【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果． 【解答】解：原式＝﹣8， 故选：C． 2．（2023秋•杭州期末）下列各数|﹣2|，（﹣2）2，﹣32，（﹣2）3中，负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先根据绝对值的性质，有理数的乘方法则计算，再根据负数的定义判断即可． 【解答】解：|﹣2|＝2，（﹣2）2＝4，﹣32＝﹣9，（﹣2）3＝﹣8， 负数有：﹣32，（﹣2）3，共2个， 故选：B． 3．（2023秋•嵊州市期末）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有 　127　条． 【分析】根据前三次对折结果对第n次对折后得到的折痕条数进行猜想、归纳． 【解答】解：∵第一次对折后可得到的折痕条数为：1＝21﹣1； 第二次对折后可得到的折痕条数为：3＝22﹣1； 第三次对折后可得到的折痕条数为：7＝23﹣1； 第n次对折后可得到的折痕条数为：2n﹣1； ……， ∴第7次对折后可得到的折痕条数为：27﹣1＝128﹣1＝127， 故答案为：127． 4．（2023秋•余姚市校级期中）已知|x|＝5，y2＝16，且xy＜0．则x+y的值为 　1或﹣1　． 【分析】先根据绝对值和平方的意义求出x、y，再根据xy＜0确定x、y，最后代入求值． 【解答】解：∵|x|＝5，y2＝16， ∴x＝±5，y＝±4． ∵xy＜0， ∴x＝5，y＝﹣4或x＝﹣5，y＝4． ∴x+y＝5﹣4＝1， x+y＝﹣5+4＝﹣1． 故答案为：1或﹣1． 5．（2023秋•西湖区校级期中）方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ＝﹣16÷（﹣8）×（﹣）① ＝② ＝﹣16÷1③ ＝﹣16④ 圆圆： ＝（﹣8）÷（﹣6）×（﹣）① ＝② ＝﹣6③ （1）以上计算过程中，方方开始出错的是第 　②　步，圆圆开始出错的是第 　①　步（填序号）； （2）写出你的计算过程． 【分析】（1）由有理数乘方的运算法则，同级运算法则，即可判断； （2）由有理数混合运算的运算法则，即可计算． 【解答】解：（1）方方开始出错的是第②步，圆圆开始出错的是第①步， 故答案为：②，①； （2） ＝﹣16÷（﹣8）×（﹣） ＝2×（﹣） ＝﹣． 巩固训练 6．（2023秋•绍兴期中）下列对于﹣34，叙述正确的是（　　） A．读作﹣3的4次幂 B．底数是﹣3，指数是4 C．表示4个3相乘的积的相反数 D．表示4个﹣3相乘的积 【分析】根据有理数的乘方的含义，以及各部分的名称，逐一判断即可． 【解答】解：∵﹣34读作：负的3的4次幂， ∴选项A不正确； ∵﹣34的底数是3，指数是4， ∴选项B不正确； ∵﹣34表示4个3相乘的积的相反数， ∴选项C正确； ∵﹣34表示4个3相乘的积的相反数， ∴选项D不正确． 故选：C． 7．（2023秋•西湖区月考）下列两个数互为相反数的是（　　） A．3和 B．﹣（﹣3）和|﹣3| C．（﹣3）2和﹣32 D．（﹣3）3和﹣33 【分析】利用有理数的乘方运算，绝对值的定义，相反数的定义计算并判断． 【解答】解：3与互为倒数，A选项不符合题意； ﹣（﹣3）＝3和|﹣3|＝3相等，B选项不符合题意； （﹣3）2＝9和﹣32＝﹣9互为相反数，C选项符合题意； （﹣3）3＝﹣27和﹣33＝﹣27相等，D不符合题意， 故选：C． 8．（2023秋•海曙区校级期中）某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由1个分裂到8个，那么这个过程要经过（　　） A．3小时 B．1.5小时 C．2小时 D．8小时 【分析】根据有理数的乘方的定义可得，正确记忆相关内容是解题关键． 【解答】解：由题意可得：2n＝8＝23， ∵每半小时分裂1次， ∴这个过程要经过：3×0.5＝1.5（小时）． 故选：B． 9．（2023秋•洞头区期中）把写成an的形式为 　（）3　，幂的结果是 　　． 【分析】运用乘方的定义和运算方法进行求解． 【解答】解：由题意得， ＝（）3 ＝， 故答案为：（）3，． 10．（2023秋•西湖区校级期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8． （1）若a＜b，求a+b的值； （2）若ab＜0，求a﹣3b﹣2c的值． 【分析】（1）利用绝对值的定义求出a的值，利用平方根的定义求出b的值，利用立方根的定义求c的值，代入即可求出a+b的值； （2）根据ab小于0，得到a、b异号，求出a与b的值，代入所求式子中计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8． ∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2， ∵a＜b， ∴a＝﹣5，b＝±2， ∴a+b＝﹣5+2＝﹣3或a+b＝﹣5﹣2＝﹣7， 即a+b的值为﹣3或﹣7； （2）∵ab＜0， ∴a，b异号， ∴a＝5，b＝﹣2或a＝﹣5，b＝2， ∴当a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝5﹣3×（﹣2）﹣2×（﹣2）＝15， 当 a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝﹣5﹣3×2﹣2×（﹣2）＝﹣7， ∴a﹣3b﹣2c＝15或﹣7． 题型五　科学记数法与近似数 例题： 1．（2024•宁波模拟）2023年中秋节与国庆节假期恰逢杭州亚运会，西湖景区共接待游客约3689100人次．数据3689100用科学记数法表示为（　　） A．0.36891×107 B．3.6891×106 C．36.891×105 D．368.91×104 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：3689100＝3.6891×106． 故选：B． 2．（2023秋•吴兴区期中）近似数65.07万精确到（　　） A．百位 B．百分位 C．万位 D．个位 【分析】先把65.07万化为650700，进而可得出结论． 【解答】解：65.07万≈650700， 数字7在百位，故精确到百位． 故选：A． 3．（2023秋•东阳市期中）已知a＝12.3是由四舍五入得到的近似数，则a的可能取值范围是（　　） A．12.25≤a≤12.35 B．12.25≤a＜12.35 C．12.25＜a≤12.35 D．12.25＜a＜12.35 【分析】根据四舍五入得到近似数的法则，可以确定近似数12.3是由一个两位小数进1或舍去得到的；根据四舍五入，结合12.3可以得到原来的必然在12.25与12.35之间，且不能取大数只能取小数，至此本题易解． 【解答】解：因为12.35≈12.4，故A、C错． 因为12.25≈12.3，故D错， B是对的．符合题意． 故选：B． 巩固训练 4．（2024•鹿城区校级开学）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为（　　） A．0.3465×109 B．3.465×109 C．3.465×108 D．34.65×108 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】解：3465000000＝3.465×109， 故选：B． 5．（2023秋•吴兴区期中）2023年2月10日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务．飞船的时速为每小时28亿千米，2800000000000米用科学记数法表示应为 　2.8×1012　米． 【分析】根据“科学记数法的表示形式为a×10n（1≤a＜10，a为整数）的形式，n的绝对值与小数点移动的位数相同”进行求解即可． 【解答】解：2800000000000＝2.8×1012， 故答案为：2.8×1012． 6．（2023秋•婺城区校级月考）12.35精确到0.1：　12.4　；1249882精确到千位：　1.250×106　． 【分析】把12.35百分位上的数字进行四舍五入即可；把1249882百位上的数字进行四舍五入即可． 【解答】解：12.35≈12.4（精确到0.1），1249882≈1.250×106（精确到千位）， 故答案为：12.4，1.250×106． 7．（2023秋•萧山区月考）萧山区2023年中考考生人数四舍五入取近似值后约有1.3万人，那么这个数值是精确到 　千　位． 【分析】近似数1.3万中的数字3所在什么位即精确度什么位，据此可得答案． 【解答】解；1.3万＝13000，则近似数1.3万中的数字3在千位数， ∴近似数1.3万精确到千位， 故答案为：千． 题型六　有理数的混合运算 例题： 1．（2023秋•莲都区期末）下列四个式子中，计算结果最小的是（　　） A．（﹣3﹣2）2 B．（﹣3）×（﹣2）2 C．﹣32÷（﹣2）2 D．﹣32﹣23 【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：原式＝（﹣5）2＝25； 原式＝（﹣3）×4＝﹣12； 原式＝﹣9÷4＝﹣； 原式＝﹣9﹣8＝﹣17， 则计算结果最小的是﹣23﹣32＝﹣17． 故选：D． 2．（2023秋•慈溪市月考）下列运算正确的是（　　） A．﹣22÷（﹣2）2＝1 B． C． D． 【分析】根据有理数运算的相关法则逐项判断即可． 【解答】解：﹣22÷（﹣2）2＝﹣4÷4＝﹣1，则A不符合题意； （﹣2）3＝（﹣）3＝﹣，则B不符合题意； ﹣5÷×＝﹣5×3×＝﹣9，则C不符合题意； 3×（﹣3.14）﹣6×3.14＝（﹣3﹣6）×3.14＝﹣31.4，则D符合题意； 故选：D． 3．（2023•瑞安市校级开学）甲、乙两个工程队修建一条公路，如果两队各修这条路的一半，则甲队10天可以完成，乙队需要15天完成．为了尽快建成，现在两队同时分别从两端开始一起修建，那么完成需要（　　）天． A．5 B．6 C．12 D．12.5 【分析】根据两队各修这条路的一半，则甲队10天可以完成，乙队需要15天完成，可以得到他们的工作效率，然后根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求出两队一起修建，需要多少天完成． 【解答】解：由题意可得， 1÷（+） ＝1÷（） ＝1÷（） ＝1÷ ＝1× ＝12（天）， 即两队一起修建，完成需要12天， 故选：C． 4．（2023秋•镇海区期末）计算： （1）； （2）﹣22×+﹣|﹣5|． 【分析】（1）先算乘法，再算加法，即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1） ＝﹣6+12×（﹣） ＝﹣6+（﹣1） ＝﹣7； （2）﹣22×+﹣|﹣5| ＝﹣4×+（﹣3）﹣5 ＝﹣2﹣3﹣5 ＝﹣10． 5．（2023秋•越城区校级期末）计算： （1）4﹣3×22； （2）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，即可求解； （2）先算括号、乘方，然后算乘除，即可求解． 【解答】解：（1）原式＝4﹣3×4 ＝4﹣12 ＝﹣8； （2）原式＝ ＝． 6．（2023秋•西湖区校级月考）计算： （1）（﹣10）﹣（﹣22）+（﹣8）﹣13； （2）． 【分析】（1）先去括号，再计算有理数的加减法即可得； （2）先计算乘方、化简绝对值，再计算乘除法，然后计算加减法即可得． 【解答】解：（1）原式＝﹣10+22﹣8﹣13 ＝12﹣8﹣13 ＝4﹣13 ＝﹣9； （2）原式＝﹣4﹣3×4+9×（﹣2） ＝﹣4﹣12﹣18 ＝﹣34． 7．（2024•临平区开学）递等式计算，能简便计算的要简便计算： （1）； （2）． （3）计算13×12时，小布的方法写在下面左边方框内，同时他用长方形划分成四部分表示计算的每一步如图所示，其中①表示10×10，那④表示的算式是 　3×2　． 请你按照小布的方法计算2.4×2.1，请在下面长方形内写出相应的算式． 【分析】（1）先通分括号内的式子，再算括号内的加法，然后计算括号外的除法即可； （2）先算小括号内的式子，再算中括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可； （3）根据小布的解答方法，可以将④表示的算式写出来，然后仿照小布的解答方法将2.4×2.1进行解答，再将长方形内相应的算式写出来． 【解答】解：（1） ＝36÷（） ＝36÷ ＝36× ＝； （2） ＝48×（×9） ＝48×35 ＝1680． （3）由图可得， ④表示的算式是3×2； 2.4×2.1 ＝（2+0.4）+（2+0.1） ＝2×2+2×0.1+2×0.4+0.4×0.1 ＝4+0.2+0.8+0.04 ＝5.04， 故图中①表示2×2，②表示2×0.4，③表示2×0.1，④表示0.4×0.1； 故答案为：3×2． 巩固训练 8．（2023秋•上城区期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据各个选项中的式子，可以判断哪个运用分配律可以带来简便． 【解答】解：选项A中式子不能利用分配律计算，故选项A不符合题意； 选项B中的式子，先转化为乘法，再根据乘法分配律计算，但是计算不简便，故选项B不符合题意； 选项C中的式子，先转化为乘法，再根据乘法分配律计算，可以使得计算简便，故选项C符合题意； 选项D中的式子，根据乘法分配律计算，但是计算不简便，故选项D不符合题意； 故选：C． 9．（2023秋•东阳市期中）2023减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…依次类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（　　） A．0 B．1 C． D． 【分析】根据题意可得2023×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×...×（1﹣），然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 2023×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×...×（1﹣） ＝2023××××...× ＝1， 故选：B． 10．（2024•温岭市一模）如图，教室后面储物柜上叠放了两堆共7个完全相同的生本教具，现测得叠放了3个教具的最高处离地面147cm，叠放了4个教具的最高处离地面156cm，若将7个教具叠成一堆放在柜子上，则最高处离地面 　183　cm． 【分析】先求出1本生本教具的高度，再在叠放了4个教具的最高处离地面156cm的基础上加上3本生本教具的高即可． 【解答】解：由题意得， 156+3×（156﹣147） ＝156+3×9 ＝156+27 ＝183（cm）． 故答案为：183． 11．（2024•仙居县二模）计算：． 【分析】先算乘方，再算乘法，然后算减法即可． 【解答】解： ＝（﹣18）×﹣（﹣18）×（﹣）﹣4 ＝（﹣12）﹣9﹣4 ＝﹣25． 12．（2023秋•玉环市期末）计算： （1）20﹣11+（﹣10）﹣（﹣11）； （2）|﹣2|． 【分析】（1）打开括号计算即可； （2）利用有理数的混合运算法则即可求解． 【解答】解：（1）原式＝20﹣11﹣10+11 ＝10； （2）原式＝ ＝﹣2+1 ＝﹣1． 13．（2023秋•金东区期末）计算： （1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4； （2）． 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减法即可； （2）先计算乘方、利用乘法分配律进行计算，再进行加减法即可． 【解答】解：（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4 ＝ ＝20+2 ＝22； （2） ＝ ＝﹣1+4+18﹣4+3 ＝20． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算知识归纳与题型训练（6题型清单） 一、有理数的加法 同号两数相加的法则：同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加． 异号两数相加的法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 其他特例法则：互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数 有理数加法的简便运算律： 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变； 字母表达式： 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变； 字母表达式： 要点诠释： 1、有理数的加法，第一步先确定和的符号，第二步才是将绝对值相加或相减； 2、加法法则及运算律不仅适应与两数相加，三个及以上的有理数相加也同样适用； 二、有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 要点诠释： 1、有理数减法的计算步骤： ①将减号变成加号，把减数变成它的相反数 ②按照加法运算的步骤去做。 ☆特别注意：① 减法法则不能与加法法则中的异号两数相加相混淆 ② 减法没有交换律 2、有理数加减混合运算的步骤： ①遇减化加 ②运用加法交换律和结合律，简化运算 ③求出结果 三、有理数的乘法 有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 任何数与0相乘，积为0。 有理数乘法的简便运算律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变； 字母表达式： 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变； 字母表达式： 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 字母表达式： 要点诠释： （1）几个非0有理数相乘 ，当负数有奇数个时，积为负；当负数有偶数个时，积为正 ； （2）几个数相乘，有一个因数为0，则积为0；如果积为0，则至少有一个因数为0； （3）若两个数的乘积为1，则称这两个有理数互为倒数； 特别地：0没有倒数，互为倒数的两个数同号，倒数是其本身的数有1和-1； 四、有理数的除法 有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数都得0 有理数乘法与除法的关系：除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数。 要点诠释： （1）0不能作为除数； （2）多个有理数相除时，如果能整除，则直接相除，如果不能整除，通常把除法转化为乘法，统一为乘法再运算； （3）除法没有交换律、结合律、分配律； 五、有理数的乘方 求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数，读作或； 科学记数法：把一个数表示成a与10的幂相乘的形式叫做科学记数法 符号表达式： 要点诠释： （1）一般地：10的n次幂，在1的后面就有n个0； （2）n的值的两种确定方法：1.将这个数的整数部分的位数-1就是n 2.将这个数的小数点向左移动的位数就是n； 六、有理数的混合运算 有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里面的运算 要点诠释： 有理数的混合运算中，也要特别注意计算中的正负号； 七、近似数 近似数：与实际接近的数称为近似数 要点诠释： （1） 近似数一般根据要求四舍五入即可； （2） 近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 题型一　有理数的加减法运算 例题： 1．（2023秋•台州期中）把算式：（﹣5）﹣（﹣4）+（﹣7）﹣（+2）写成省略括号的形式，结果正确的是（　　） A．﹣5﹣4+7﹣2 B．﹣5+4﹣7﹣2 C．5+4﹣7﹣2 D．﹣5+4+7﹣2 2．（2023秋•柯桥区月考）王博在做课外习题时遇到如图所示一道题，其中是被污损而看不清的一个数，它翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（　　） A．10 B．﹣4 C．﹣10 D．10或﹣4 3．（2023秋•萧山区期中）计算： （1）（﹣7）﹣（﹣13）； （2）． 4．（2023秋•临海市校级月考）阅读下列解题过程： ﹣0.25﹣（﹣3）+0.5 解：原式＝﹣0.25+（﹣3）+0.5…① ＝﹣0.25﹣3.75+0.5…② ＝﹣4+0.5…③ ＝﹣3.5． （1）上面解题过程在第 　 　步出现错误； （2）请写出正确的解题过程． 5．（2023秋•义乌市月考）出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米） ﹣2，+5，﹣8，﹣3，+6，﹣6． （1）小王将最后一名乘客送到目的地时，在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？ （2）若出租车每公里耗油0.3升，求小王回到出发地共耗油多少升？ （3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米（不足1千米按1千米计算）还需收4元钱，小王今天是收入是多少元？ 巩固训练 6．（2023秋•海曙区期中）若（　　）﹣（﹣30+10）＝﹣5，则括号内的数是（　　） A．15 B．﹣15 C．﹣25 D．﹣45 7．（2023秋•江山市期中）一天早晨的气温是﹣3℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，半夜的气温是 　 　℃． 8．（2023秋•嵊州市校级月考）设a是最小的自然数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，则a+b+c﹣d＝　 　． 9．（2023秋•嵊州市校级月考）计算题： （1）23+（﹣17）； （2）7﹣（﹣4）+（﹣5）； （3）； （4）． 10．（2023秋•衢江区校级月考）设[a]表示取a的整数部分，例如：． （1）求的值； （2）令{a}＝a﹣[a]，求． 题型二　有理数的乘法运算 例题： 1．（2024•黄岩区校级模拟）2×（﹣3）的计算结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣5 D．5 2．（2023秋•金东区期末）如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有（　　） A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 3．（2023秋•内江期末）下列说法中正确的个数有（　　） ①最大的负整数是﹣1； ②相反数是本身的数是正数； ③有理数分为正有理数和负有理数； ④数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边； ⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023秋•德清县期末）若x，y，z都是有理数，且x+y+z＝0，xyz＜0，则的值是 　 　． 5．（2021秋•余杭区月考）计算： （1）（﹣0.25）×3.14×40； （2）﹣25×8． 6．（2023秋•鄞州区校级月考）在学习有理数的乘法时，李老师和同学们做了这样一个游戏：将2023这个数说给第一名同学，第一名同学将它减去它的的结果告诉第二名同学，第二名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三名同学，第三名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四名同学，…照这样的方法直到全班40名同学全部传完，最后一名同学将听到的结果告诉李老师．你知道最后的结果吗？ 巩固训练 7．（2023秋•嘉兴期末）已知m﹣n＝0，且m﹣a＝n+b，则a，b一定满足的关系式是（　　） A．ab＝0 B．ab＝1 C．a﹣b＝0 D．a+b＝0 8．（2023秋•义乌市月考）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示D+E＝1B，用十进制表示也就是13+14＝1×16+1.1，则用十六进制表示A×B＝（　　） A．6E B．72 C．5F D．B0 9．（2023秋•南浔区期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 　 　． 10．（2023秋•奉化区期末）四个各不相等的整数a，b，c，d，它们的积a•b•c•d＝9，那么a+b+c+d的值是　 　． 11．（2024春•浙江期中）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定符号（a，b）⊗（c，d）＝ad+bc．例如：（2，3）⊗（1，﹣4）＝2×（﹣4）+3×1＝﹣5． 求（﹣2，1）⊗（﹣4，﹣5）的值； 题型三　有理数的除法运算 例题： 1．（2023秋•浙江期中）的倒数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 2．（2023秋•杭州月考）已知|x|＝4，|y|＝2，且x＜y，则x÷y的值为 　 　． 3．（2022秋•瑞安市期中）计算：﹣5÷（﹣6）×16＝　 　． 4．（2023秋•浙江期中）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19． 所以原式＝﹣． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 巩固训练 5．（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 6．（2022秋•余杭区校级月考）（1）÷（﹣）÷（﹣0.25）； （2）﹣99×34． 7．（2023秋•海曙区期中）类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方．例如2÷2÷2÷2，记作“24”，读作“2的引4次商”．一般的，把（a≠0，n≥2，且为整数）记作“an”，读作“a的引n次商”． （1）直接写出计算结果：“（）4”＝　 　，“（﹣3）3”＝　 　． （2）归纳：负数的引正奇数次商是 　 　数，负数的引正偶数次商是 　 　数（填“正或负”）； （3）计算：（﹣8）÷“23”+11ד（﹣）4”． 题型四　有理数的乘方运算 例题： 1．（2024•宁波模拟）（﹣2）3＝（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8 2．（2023秋•杭州期末）下列各数|﹣2|，（﹣2）2，﹣32，（﹣2）3中，负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋•嵊州市期末）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有 　 　条． 4．（2023秋•余姚市校级期中）已知|x|＝5，y2＝16，且xy＜0．则x+y的值为 　 　． 5．（2023秋•西湖区校级期中）方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ＝﹣16÷（﹣8）×（﹣）① ＝② ＝﹣16÷1③ ＝﹣16④ 圆圆： ＝（﹣8）÷（﹣6）×（﹣）① ＝② ＝﹣6③ （1）以上计算过程中，方方开始出错的是第 　 　步，圆圆开始出错的是第 　 　步（填序号）； （2）写出你的计算过程． 巩固训练 6．（2023秋•绍兴期中）下列对于﹣34，叙述正确的是（　　） A．读作﹣3的4次幂 B．底数是﹣3，指数是4 C．表示4个3相乘的积的相反数 D．表示4个﹣3相乘的积 7．（2023秋•西湖区月考）下列两个数互为相反数的是（　　） A．3和 B．﹣（﹣3）和|﹣3| C．（﹣3）2和﹣32 D．（﹣3）3和﹣33 8．（2023秋•海曙区校级期中）某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由1个分裂到8个，那么这个过程要经过（　　） A．3小时 B．1.5小时 C．2小时 D．8小时 9．（2023秋•洞头区期中）把写成an的形式为 　 　，幂的结果是 　 　． 10．（2023秋•西湖区校级期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8． （1）若a＜b，求a+b的值； （2）若ab＜0，求a﹣3b﹣2c的值． 题型五　科学记数法与近似数 例题： 1．（2024•宁波模拟）2023年中秋节与国庆节假期恰逢杭州亚运会，西湖景区共接待游客约3689100人次．数据3689100用科学记数法表示为（　　） A．0.36891×107 B．3.6891×106 C．36.891×105 D．368.91×104 2．（2023秋•吴兴区期中）近似数65.07万精确到（　　） A．百位 B．百分位 C．万位 D．个位 3．（2023秋•东阳市期中）已知a＝12.3是由四舍五入得到的近似数，则a的可能取值范围是（　　） A．12.25≤a≤12.35 B．12.25≤a＜12.35 C．12.25＜a≤12.35 D．12.25＜a＜12.35 巩固训练 4．（2024•鹿城区校级开学）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为（　　） A．0.3465×109 B．3.465×109 C．3.465×108 D．34.65×108 5．（2023秋•吴兴区期中）2023年2月10日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务．飞船的时速为每小时28亿千米，2800000000000米用科学记数法表示应为 　 　米． 6．（2023秋•婺城区校级月考）12.35精确到0.1：　 　；1249882精确到千位：　 　． 7．（2023秋•萧山区月考）萧山区2023年中考考生人数四舍五入取近似值后约有1.3万人，那么这个数值是精确到 　 　位． 题型六　有理数的混合运算 例题： 1．（2023秋•莲都区期末）下列四个式子中，计算结果最小的是（　　） A．（﹣3﹣2）2 B．（﹣3）×（﹣2）2 C．﹣32÷（﹣2）2 D．﹣32﹣23 2．（2023秋•慈溪市月考）下列运算正确的是（　　） A．﹣22÷（﹣2）2＝1 B． C． D． 3．（2023•瑞安市校级开学）甲、乙两个工程队修建一条公路，如果两队各修这条路的一半，则甲队10天可以完成，乙队需要15天完成．为了尽快建成，现在两队同时分别从两端开始一起修建，那么完成需要（　　）天． A．5 B．6 C．12 D．12.5 4．（2023秋•镇海区期末）计算： （1）； （2）﹣22×+﹣|﹣5|． 5．（2023秋•越城区校级期末）计算： （1）4﹣3×22； （2）． 6．（2023秋•西湖区校级月考）计算： （1）（﹣10）﹣（﹣22）+（﹣8）﹣13； （2）． 7．（2024•临平区开学）递等式计算，能简便计算的要简便计算： （1）； （2）． （3）计算13×12时，小布的方法写在下面左边方框内，同时他用长方形划分成四部分表示计算的每一步如图所示，其中①表示10×10，那④表示的算式是 　 　． 请你按照小布的方法计算2.4×2.1，请在下面长方形内写出相应的算式． 巩固训练 8．（2023秋•上城区期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 9．（2023秋•东阳市期中）2023减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…依次类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（　　） A．0 B．1 C． D． 10．（2024•温岭市一模）如图，教室后面储物柜上叠放了两堆共7个完全相同的生本教具，现测得叠放了3个教具的最高处离地面147cm，叠放了4个教具的最高处离地面156cm，若将7个教具叠成一堆放在柜子上，则最高处离地面 　 　cm． 11．（2024•仙居县二模）计算：． 12．（2023秋•玉环市期末）计算： （1）20﹣11+（﹣10）﹣（﹣11）； （2）|﹣2|． 13．（2023秋•金东区期末）计算： （1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4； （2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$