专题3.4 求阴影部分的面积（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题3.4 求阴影部分的面积 · 典例分析 【典例1】如图所示，中，，点在上，以为圆心的半圆分别与相切于两点，且的长度为，则图中的阴影部分面积为 ． 【思路点拨】 连接，如图所示，根据题意得到 ，从而有，，由的长度为，得到半径为，在中，，则，由 即可得到图中的阴影部分面积为． 【解题过程】 解：连接，如图所示： 以为圆心的半圆分别与相切于两点， ，，， ， ， ， ，， ， ，， 的长度为， ， 在中，，则， ， ，， ，即图中的阴影部分面积为， 故答案为：． · 学霸必刷 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东中山·三模）如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接、若，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 4．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·山东临沂·二模）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为(   )    A． B． C． D． 6．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，的半径为4，的长为，则图中阴影部分的面积是（   ）      A． B． C． D． 7．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在正六边形中，，在对角线上取一点P，使得，以P为圆心，长为半径画弧，分别交边于点M、N，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·重庆渝北·一模）如图，是半圆的直径，是弦，点为上一点，以点为圆心，为半径的半圆交于另一点，与相切于点．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 10．（2023·山东青岛·三模）如图所示，，，将扇形绕边的中点D顺时针旋转得到扇形，弧交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 11．（2024·山东青岛·一模）如图，在中，，，以为直径的交于点D，过点D作的切线，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 12．（2023·江苏泰州·三模）在中，，以的三边为直径在同侧作半圆，得两个月牙（图中阴影），过点A作的平行线，分别和以为直径的半圆交于两点，若，则阴影部分的面积和为 ．    13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 14．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，点为上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，交于另一点，点为优弧上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ． 15．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，的半径是4，等边内接于，点D在上，点E在上，且，于点F，则阴影部分的面积是 ． 16．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点、、均为格点，点为的三等分点（靠近点），点、分别是线段、上的动点，且，点为的中点，连接、．在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是 ． 17．（23-24九年级上·四川广元·期末）如图，在中，直径弦于点，点是延长线上一点，连接平分． （1）求证：是的切线． （2）连接，延长交于点，若，，求图中阴影部分面积． 18．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，． （1）求证：平分； （2）求的半径； （3）若是的中点，求阴影部分的面积． 19．（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． （1）填空： °； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 20．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 求阴影部分的面积 · 典例分析 【典例1】如图所示，中，，点在上，以为圆心的半圆分别与相切于两点，且的长度为，则图中的阴影部分面积为 ． 【思路点拨】 连接，如图所示，根据题意得到 ，从而有，，由的长度为，得到半径为，在中，，则，由 即可得到图中的阴影部分面积为． 【解题过程】 解：连接，如图所示： 以为圆心的半圆分别与相切于两点， ，，， ， ， ， ，， ， ，， 的长度为， ， 在中，，则， ， ，， ，即图中的阴影部分面积为， 故答案为：． · 学霸必刷 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求得，然后根据阴影部分的面积计算即可求解． 【解题过程】 解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：C． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 连接，，，，与交于，由折叠的性质可证，是等边三角形，由扇形面积公式可计算出扇形的面积，再求出的面积，由可求出阴影面积．本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握分割法求阴影面积． 【解题过程】 解：连接，，，，与交于， 由折叠性质可得，，，， ， ，， ∴，是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故选：D． 3．（2024·广东中山·三模）如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心、为半径作弧，交于点，连接、若，，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质、扇形的面积计算等知识点，求得和扇形的面积是解题的关键． 如图：连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求解即可． 【解题过程】 解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，E为的中点， ∴，是等边三角形，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 4．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接，过点B作，先计算正六边形的面积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案． 【解题过程】 解：连接，过点B作，如图， ∵正六边形的边长为4， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴ 同理可证，， ∴， ∴， 又， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A 5．（2023·山东临沂·二模）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为(   )    A． B． C． D． 【思路点拨】 利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可． 【解题过程】 解：因为是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可 作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则 ， ，此时为最小值 连接， 平分，， ，    在中，， ， 阴影部分周长的最小值为． 故选：A． 6．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，的半径为4，的长为，则图中阴影部分的面积是（   ）      A． B． C． D． 【思路点拨】 利用弧长公式求出的度数，得出，过点B作，求出, 过点A 作交延长线于点F,求出，再把数值代入中进行计算即可求出． 【解题过程】 解：如下图所示：      设，根据弧长公式得： 过点B作 在等腰直角中, 过点A 作交延长线于点F 故选：A． 7．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了扇形的面积的计算、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差． 利用割补法将阴影部分分成三部分，即，然后分别求每部分的面积即可． 【解题过程】 解：由题意可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为G， 连接，，则． 过点E作，交于点H． 四边形是矩形， ，． 由题意可得，， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． 在和中， ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． ， ， ， 故选：A． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在正六边形中，，在对角线上取一点P，使得，以P为圆心，长为半径画弧，分别交边于点M、N，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 如图，连接，连接，交于，则，则，，，，由勾股定理得，，，则，，，由勾股定理得，，由，可得，则，如图，作于，于，则，由勾股定理得，则，由勾股定理得，，则，，由勾股定理得，由对称性可知，，则，根据，计算求解即可． 【解题过程】 解：如图，连接，连接，交于，则， ∵正六边形中，， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 如图，作于，于， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 由对称性可知，， ∴， ∴， 故选：B． 9．（2023·重庆渝北·一模）如图，是半圆的直径，是弦，点为上一点，以点为圆心，为半径的半圆交于另一点，与相切于点．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【思路点拨】 本题考查不规则图形面积的计算．根据题意将其转化为规则图形的面积即可，具体见详解． 【解题过程】 解：如图，连接 是切线 ． 故答案为：． 10．（2023·山东青岛·三模）如图所示，，，将扇形绕边的中点D顺时针旋转得到扇形，弧交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【思路点拨】 将阴影部分转化成，作出辅助线，分别求出三个部分的面积进行求解即可． 【解题过程】 解：连接，延长交于 由题可知，四边形是正方形， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在正方形中的阴影部分面积为 ， ∴ ． 故答案为： 11．（2024·山东青岛·一模）如图，在中，，，以为直径的交于点D，过点D作的切线，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接，根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得到，所以,然后再证，然后根据切线的性质得到，所以，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，最后根据扇形的面积公式和梯形的面积公式以及求解即可． 【解题过程】 解：如图：连接， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的切线， ∴, ∴， 在中， ∵， ∴, ∴． 故答案为:． 12．（2023·江苏泰州·三模）在中，，以的三边为直径在同侧作半圆，得两个月牙（图中阴影），过点A作的平行线，分别和以为直径的半圆交于两点，若，则阴影部分的面积和为 ．    【思路点拨】 阴影部分的面积可以看成是以为直径的两个半圆的面积加上直角三角形的面积减去一个以为直径的半圆的面积． 【解题过程】 解：设交以为直径的半圆于F，取的中点O，作于，连接，    是直径， ， 是直径， ， 四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， =直径为的半圆的面积+直径为的半圆的面积+直径为的半圆的面积 = 故答案为39． 13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 【思路点拨】 本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，作辅助线构造全等三角形是解问题的关键． 连接，过点D作于点M，过点D作于点N，先证明是正方形，然后证明，最后运用解题即可． 【解题过程】 解：如图，连接，过点D作于点M，过点D作于点N， 则 ∵， ∴，，四边形是矩形 ∵，D是的中点， ∴ ∴ 同理 ∴四边形是正方形 ∴， 由题可知，， ∴ 在与中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为 14．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，，点为上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，交于另一点，点为优弧上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查含角的直角三角形的性质，切线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，理解等底时，高越大，面积越大，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 如图所示，连接，根据切线的性质，可求出，根据可求出的值，因为弓形的面积是定值，当的面积最大时，阴影部分的面积最大，如图，过点作，反向延长交于点，连接，当点重合时，的面积最大，即最大值为的面积，根据圆的基础知识可得是等边三角形，可求出，， 根据可求出弓形的面积，由此即可求解阴影部分的面积． 【解题过程】 解：如图所示，连接， ∵切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵弓形的面积是定值， ∴当的面积最大时，阴影部分的面积最大， 如图，过点作，反向延长交于点，连接，当点重合时，的面积最大，即最大值为的面积， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴图中阴影部分面积的最大值为：， 故答案为：． 15．（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，的半径是4，等边内接于，点D在上，点E在上，且，于点F，则阴影部分的面积是 ． 【思路点拨】 本题主要考查扇形的面积公式，根据圆的旋转不变性，把阴影部分面积化为弓形的面积和三角形面积是解题的关键． 连接、，过O作于点G，，，进而得到：阴影部分的面积=弓形的面积，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解． 【解题过程】 解：连接、， 是等边三角形， ， ， ， ， 即， 即， 在和中 ， ， 为等腰三角形， ， ， 过O作于点G， ， ， ， ， ， ， 在和中 ∴阴影部分的面积=弓形的面积， ， 故答案为： 16．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点、、均为格点，点为的三等分点（靠近点），点、分别是线段、上的动点，且，点为的中点，连接、．在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是 ． 【思路点拨】 如图，连接、、、，根据勾股定理的逆定理确定，即的度数为，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据题意得，即，推出当点、、三点共线时，取“”号，此时值最小，最小值为：，进一步得出点为的中点，如图，根据弧的度数的意义确定，证明为等边三角形，得到，由等腰三角形三线合一得，求出，，再代入即可得出答案． 【解题过程】 解：如图，连接、、、， ∵每个小正方形的边长为，点为弧的三等分点（靠近点）， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即的度数为， ∴是直角三角形， ∵点为的中点，， ∴， ∵点、分别是线段、上的动点，点为的中点， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，取“”号，此时值最小，最小值为：， 此时点为的中点，如图， ∵点为弧的三等分点（靠近点），的度数为， ∴的度数为：，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是． 故答案为：． 17．（23-24九年级上·四川广元·期末）如图，在中，直径弦于点，点是延长线上一点，连接平分． （1）求证：是的切线． （2）连接，延长交于点，若，，求图中阴影部分面积． 【思路点拨】 （1）根据垂径定理、圆周角定理和角平分线定义得到相关角度关系，再由互余确定，根据切线的判定即可得证； （2）由中垂线性质确定，根据等边三角形判定与性质得到相应角度及线段长度，最后间接表示出不规则图形面积，代值求解即可得到答案． 【解题过程】 （1）证明：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形 ∵， ∴， 在中，，，则， ， 在中，，，则， ，即， 在中，，，，则， ， 在中，，，则是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，． （1）求证：平分； （2）求的半径； （3）若是的中点，求阴影部分的面积． 【思路点拨】 （1）连接，根据切线的性质可得，继而推得，根据等边对等角以及平行线的性质即可得证得； （2）连接，根据直径所对的圆周角为直角可得，根据角平分线的定义及弧、弦、圆周角的关系可得，再根据勾股定理可得，即可得出答案； （3）过点作，证明为等边三角形，利用勾股定理求得，再根据进行计算即可． 【解题过程】 （1）证明：连接， ∵为的切线 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径； （3）过点作， ∴， ∵，是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 19．（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． （1）填空： °； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 【思路点拨】 （1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到结论； （2）连接，根据垂径定理得到，，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （3）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据三角形中位线定理得到，，求得，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【解题过程】 （1）解：弦于，是的直径， ， ， 故答案为：30； （2）解：与相切， 理由如下： 连接，如图所示： 弦于，是的直径， ，， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （3）解：是的直径， ， ，， ， ， 连接，如图所示： 点是的中点， ， ， 是的中位线， ，， ， ， ， 图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积． 20．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 【思路点拨】 （1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：如图，连接， ∵，则，    ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，    ∵O为正方形中心， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， 而正方形的边长， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 而， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$