5.第五章 导数-高二数学必刷100题（人教A版2019）

5.高二第五章导数必刷100题（人教版） 1．（18-19高二下·湖北宜昌·期中）函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是（    ） A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 2．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知，则（    ） A． B．3 C． D．4 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2020·北京·二模）函数f(x)＝x是（    ） A．奇函数，且值域为（0，+∞） B．奇函数，且值域为R C．偶函数，且值域为（0，+∞） D．偶函数，且值域为R 5．（20-21高二下·北京丰台·期中）已知函数的图象如图所示，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高二上·河南新乡·期末）设在内单调递增，对任意恒成立，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（    ） A． B． C． D． 8．（10-11高二下·安徽亳州·期末）下列说法正确的是 （ ） A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大. B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值. C．对于函数，若，则无极值. D．函数在区间上一定存在最值. 9．（2019·山西太原·三模）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且＝，则的解集是（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高三下·湖北·阶段练习）已知，且时，恒成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高二·全国·课后作业）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（    ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s 12．（21-22高二下·重庆南岸·阶段练习）已知函数，则（    ） A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值 C．函数的极大值点为，无极小值点 D．函数的极小值点为，无极大值点 13．（2021·江西·模拟预测）函数，（），若与的图象上分别存在点，关于直线对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高三下·江西赣州·期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（    ） A． B．1 C．2 D． 15．（22-23高二下·湖北·期中）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．（21-22高二下·河北承德·阶段练习）曲线上的点到直线的最短距离是（    ） A．2 B． C． D． 17．（20-21高三下·辽宁沈阳·阶段练习）若函数在区间有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（18-19高二·浙江·期中）可导函数在区间上的图象连续不断，则“存在满足”是“函数在区间上有最小值”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（2017·辽宁大连·一模）已知函数有四个零点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 20．（2023·全国·模拟预测）下列大小关系正确的为（    ） A． B． C． D． 21．（21-22高二下·河北邯郸·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二下·浙江·期中）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 24．（18-19高三上·湖南常德·期末）已知分别为双曲线的左右顶点，两个不同动点在双曲线上且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最小值时，双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 25．（21-22高三上·山东济南·期中）已知函数，为的导函数，则（    ） A．0 B．2021 C．2022 D．6 26．（22-23高二下·全国·课后作业）如图显示物体甲、乙在时间到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 27．（24-25高二下·全国·课后作业）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 28．（22-23高二下·全国·单元测试）函数的单调减区间可以为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高三上·江西宜春·开学考试）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）． A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．是的极小值点 30．（19-20高二下·江苏宿迁·期中）直线能作为下列（    ）函数的图像的切线. A． B． C． D． 31．（22-23高二上·江苏镇江·阶段练习）已知奇函数 ，其导函数，则以下命题正确的是（    ） A． B．函数的极值点有且仅有一个 C．函数的最大值与最小值之和等于0 D．函数有两个单调递增区间 32．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 33．（2023·河南·模拟预测）已知定义在上的函数是的导函数且定义域也是，若为偶函数，，，则（    ） A． B． C． D． 34．（2023·山东泰安·模拟预测）已知函数，下列说法错误的是（    ） A．若，则函数图象在处的切线方程为 B．若，则函数是奇函数 C．若，则函数存在最小值 D．若函数存在极值，则实数的取值范围是 35．（23-24高三上·山东日照·期中）已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为.若为偶函数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二下·河北·开学考试）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 37．（21-22高二下·山东枣庄·阶段练习）以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是：（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）下列求导正确的是（ ） A． B． C． D． 39．（23-24高三上·安徽六安·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 40．（22-23高二下·河北邯郸·期中）已知函数是函数在上的一个零点，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 41．（20-21高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高三下·河南·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数有且仅有一个零点为 D．对于任意的恒成立的充要条件是 43．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若函数图象过原点，则 B．若函数图象关于轴对称，则 C．若函数在零点处的切线斜率为1或，则其最小正周期为 D．存在，使得将函数图象向右平移个单位后与原函数图象在轴的交点重合 44．（22-23高二下·江西景德镇·期中）函数在上的图象可能为（    ） A． B． C． D． 45．（20-21高三上·辽宁大连·期中）已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 46．（2022高三·全国·专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是 ． 47．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知的导函数为，若关于的不等式的解集为，则 ． 48．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知，则 ． 49．（18-19高二下·广东东莞·期末）若曲线在点处的切线斜率为1，则该切线方程为 ． 50．（2024·湖北·模拟预测）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为 . 51．（17-18高三上·辽宁·期中）已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为 . 52．（21-22高三下·江苏苏州·阶段练习）若曲线在点处的切线与曲线交于点，直线与轴交于点，则 ． 53．（2021·全国·二模）已知直线与曲线相切，当取得最大值时，的值为 ． 54．（21-22高二·全国·课后作业）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 55．（14-15高二下·广东佛山·阶段练习）曲线在点处切线的倾斜角为 56．（2023高三·全国·专题练习）对于三次函数，经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三次函数的拐点（使二阶导数的点）正好是它的图像的对称中心．若，则 ．（且） 57．（22-23高二下·湖北荆州·阶段练习）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 . 58．（2018·山东济宁·一模）已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是 ． 59．（20-21高三上·江苏苏州·阶段练习）如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设，为了节省建设成本，要使得的值最小，则当的值最小时， km. 60．（22-23高二下·陕西西安·阶段练习）若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为 . 61．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数，存在，使得成立，则实数a的取值范围是 . 62．（2014高二·全国·竞赛）已知定义在R上的函数（是的导数），且，则的值 .（在“小于零、等于零、大于零”中选一个填上） 63．（11-12高三上·浙江杭州·阶段练习）已知，，则最小值为 64．（2016高二·全国·课后作业）过点的函数图象的切线斜率为______. 65．（22-23高三上·安徽六安·期末）已知函数，，若，，则的最大值为 ． 66．（2022·山西吕梁·一模）曲线在点处的切线方程为 . 67．（23-24高二下·北京·期中）写出一个满足的函数 ． 68．（20-21高三上·吉林松原·阶段练习）曲线在点处的切线方程为 ． 69．（20-21高一·全国·课后作业）函数在区间上的平均变化率为 . 70．（20-21高二·全国·课后作业）已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为 ． 71．（15-16高二下·山东济宁·阶段练习）是定义在上的可导函数，则是为 的极值点的 条件．（填充分不必要 ，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要） 72．（20-21高二·全国·课后作业）函数的图象如下图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是 ． 73．（21-22高二下·广西桂林·期末）函数的图象在点处的切线的方程为 ． 74．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数的图象与直线有3个交点，则实数a的取值范围为 . 75．（16-17高三上·江苏泰州·阶段练习）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 76．（20-21高二上·江西南昌·期末）若直线与曲线满足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） ①直线：在点处“切过”曲线：. ②直线：在点处“切过”曲线：. ③直线：在点处“切过”曲线：. ④直线：在点处“切过”曲线：. ⑤直线：在点处“切过”曲线：. 77．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）已知函数有3个零点，则的取值范围为 . 78．（21-22高二下·贵州·阶段练习）已知函数在上恰有一个极值，则 . 79．（21-22高二下·四川·阶段练习）过点（1，1）作曲线的切线，那么该点处的切线方程为 . 80．（17-18高三·四川绵阳·阶段练习）若函数的图象在点处的切线平行于x轴，则 ． 81．（2023·广东广州·一模）已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为 . 82．（24-25高三上·广东·阶段练习）若关于的方程在区间上有且仅有一个实数解，则实数 ． 83．（19-20高三上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域为，其导函数满足对恒成立，且，则不等式的解集是 . 84．（19-20高二上·河北邯郸·期末）已知函数,()分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,,且.若,则的取值范围为 . 85．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知是定义域为的可导函数，是的导函数，若，（为自然对数的底数），则在上的最大值为 ． 86．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． (4)； 87．（25-26高三上·上海·单元测试）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 88．（23-24高三上·山东·阶段练习）设函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)讨论函数在区间上零点的个数. 89．（23-24高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数 (1)； (2). 90．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 91．（22-23高二下·北京延庆·期末）求下列函数的导数． (1)①；②；③； (2)①；②； (3)①；②；③． 92．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，且，求的最小值； 93．（22-23高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3). 94．（22-23高二下·全国·课后作业）已知函数，设曲线在点处的切线为l，若直线l与圆C：相交，求a的取值范围． 95．（2016高三·宁夏石嘴山·期中）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 96．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求抛物线的方程： (2)已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线的距离之和的最小值； (3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围． 97．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，，讨论和的大小关系． 98．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)当时，求函数的最值； (2)当时，讨论函数的极值点个数. 99．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明； (2)若关于x的不等式在上能成立，求实数m的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 100．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数． (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 试卷第2页，共15页 试卷第3页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B A B B C C D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D A B C D D D B A B 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 D A A B D BC ACD AC BC BCD 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 CD AD AC BC AC AC BCD AB AD AC 题号 41 42 43 44 45 答案 AC BCD BCD BCD AB 1．D 【难度】0.94 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解. 【详解】f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)， ∴f′(x)<0，则f(x)＝cos x－x在(0，π)上单调递减. 故选：D 2．B 【难度】0.94 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】. 故选：B. 3．A 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由导数求函数的最值（不含参）、函数不等式恒成立问题 【分析】由幂函数的性质可得函数在上单调递增且，利用导数求出的最小值可得，解一元二次不等式即可. 【详解】，又函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减； 当时，单调递增， 所以有最小值，且， 所以，解得． 故选：A 4．B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由奇偶性定义，求出函数f(x)为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案. 【详解】根据题意，函数f(x)＝x，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x）＝﹣f(x)，即函数f(x)为奇函数， 其导数f′(x)＝1，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0； 其图象大致如图：    其值域为R； 故选：B. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题 5．A 【难度】0.85 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据的图象与导函数图象之间的关系判断． 【详解】由图象知，递增，但函数值的变化量随着的增大而减少，即图象的切线斜率随着的增大而减小，导函数是递减的， 因此． 故选：A． 6．B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】求出的导函数，令导函数大于等于0恒成立，令判别式小于等于0求出的范围即命题中的范围；利用基本不等式求出命题中的范围；利用两个命题中的范围的包含关系得到两个命题的条件关系． 【详解】解：在内单调递增 恒成立， 当时，，当且仅当，即时取等号， 由推不出，由推得出， 是必要不充分条件． 故选：B 7．B 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】由题意可构造函数，然后求出函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得构造函数，则对任意的恒成立， 所以在上是减函数， 对A：因为，所以，即，得，故A错误； 对B、C、D：因为，所以，即，故C错误； 因为，所以，所以，即，故D错误，故B正确. 故选：B. 8．C 【难度】0.65 【知识点】函数最值与极值的关系辨析 【分析】根据极值与最值的概念对选项逐一判断 【详解】对于A，函数的极值是与它附近的函数值比较，是一个局部概念, 函数在闭区间上的极大值不一定比极小值大，A错误； 对于B，函数在闭区间上的最大值在极大值点处或端点处取得，B错误； 对于C，函数的导数为，当,有,恒成立,即单调递增,无极值，正确； 对于D，若函数在区间上是增函数或减函数，由于端点处函数值无意义，则函数在区间上没有最大值和最小值，D错误 故选：C 9．C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【解析】由导数公式得出，从而得出函数的单调性，将不等式可化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】因为，所以函数在区间上单调递减 不等式可化为，即，解得 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由导数公式得出函数的单调性，利用单调性解不等式. 10．D 【难度】0.4 【知识点】简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】把给定不等式等价变形并分离参数，构造函数，借助导数求解函数的最大值作答. 【详解】依题意，， 则当，且时，恒成立，， ，令，即， 令，则，解得，， 当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减， ，因此，，显然， 所以实数的最小值是. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题. 11．D 【难度】0.94 【知识点】导数（导函数）概念辨析、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于3，即该物体在s时的瞬时速度为3m/s． 故选：D 12．A 【难度】0.94 【知识点】求已知函数的极值、求已知函数的极值点 【分析】利用导数判断出正确答案. 【详解】的定义域为， ， 所以在区间递增；在区间递减. 所以是的极大值，无极小值.极大值点为，无极小值点. 故选：A 13．B 【难度】0.85 【知识点】由对称性求函数的解析式、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设为函数上的一点，求出关于对称的点，把点坐标代入的解析式，得，利用导数求出的值域可得答案. 【详解】设为函数上一点，则关于对称的点为， 且在函数图象上，所以， 得，，当时，，单调递减， 当时，，所以单调递增，所以在有最小值为， ，，所以，故. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的性质，解题的关键点是构造函数并利用导数求出函数的值域，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 14．C 【难度】0.85 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线截距式方程及辨析、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得. 【详解】易知，，且， 所以直线， 它与两坐标轴的交点坐标分别为和， 可得，又， 解得. 故选：C 15．D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，由，得到单调递减，再根据为偶函数，得到的图象关于对称，进而得到，然后将不等式化为求解. 【详解】解：令， 因为， 所以， 所以单调递减， 因为为偶函数， 所以， 所以的图象关于对称， 则， 所以， 又不等式可化为， 即， 所以， 故选：D 16．D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出曲线与直线平行的切线的切点，则到直线的距离即为所求． 【详解】解：由题知：，再令得， 故与直线平行的切线的切点为， 所以所求的距离为：． 故选：D． 17．D 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（含参） 【分析】求导函数，分别讨论，，，时函数的单调性，判断是否在有最小值，即可得出结果． 【详解】，①当时，可得函数的增区间为，， 减区间为，若函数在区间有最小值，必有， 有，由，有，，不合题意； ②当时，此时函数的增区间为，，减区间为，在区间最小值为，符合题意； ③当时，此时函数的增区间为，，减区间为， 只需要，得； ④当时，在区间单调增，不合题意， 故实数的取值范围为． 故选：D 18．B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、函数极值的辨析 【分析】根据和函数在区间上有极值点的关系，结合具体函数，即可判断出结论． 【详解】根据函数极值点的概念，可知满足，则不一定是函数的极值点，例如，其中，但不是函数的极值点，此时函数在上没有最小值. 又由函数在区间上可导且有最值，可得函数在在区间上不单调， 所以“存在满足”成立. 所以“存在满足”是“函数在区间上有最小值”的必要不充分条件． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数有极值点的概念及应用，以及充要条件判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．A 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】令,则，求出极值点，判断函数的单调性，作出图象，利用图象变换得图象，令，则关于方程两根分别在，满足的零点有个，列出不等式求解即可． 【详解】令,则，由，得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增； 作出图象，利用图象变换得图象(如下图)， 当时，， 令,则关于方程两根分别在 时(如下图)， 满足有四个零点, 由 ，解得 .   故选：A. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为直线与的图象有4个不同的交点，从而可得方程两根分别在 时，进而结合二次函数的图象可求出结果，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 20．B 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、导数（导函数）概念辨析 【分析】根据不等式的放缩可判断选项；构造，，利用函数的单调性对函数进行放缩可判断选项；构造，利用函数的单调性对函数进行放缩可判断选项；构造，利用导数判断函数的单调性即可判断选项. 【详解】对于选项，因为，所以，则， 又因为，则有， 所以，故选项错误； 对于选项，构造函数，则，所以函数在上单调递减，则，所以，即， 令，则，所以在上单调递增，则，即，所以， 故，故选项正确； 对于选项，构造函数，则， 由选项可知：当时，，所以， 则有，因为函数在上恒大零，所以，则函数在上单调递增，所以，即，故选项错误； 对于选项，因为， 令，则，令， 则，令，解得：， 因为，所以在上单调递减，故， 即，所以， 故选项错误， 故选：. 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 21．D 【难度】0.94 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据函数的单调性与导数的关系即可求解. 【详解】解：函数的定义域是，， 令，解得， 所以函数在上单调递减． 故选：D． 22．A 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用极限的计算方法即可得解. 【详解】因为函数, 所以, 所以. 故选：A. 【点睛】 23．A 【难度】0.85 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据复合函数的求导法则和导数的基本公式计算即可． 【详解】， 故选：A. 24．B 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，用坐标表示出，令，转化为关于t的函数，利用导数研究最值可得，然后可得. 【详解】设 因为，所以 所以 令，记 则， 解，得，函数在上单调递增， 解，得，函数在上单调递减， ，即时，取最小值， 此时. 故选：B 25．D 【难度】0.65 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、简单复合函数的导数 【分析】令，判断、的奇偶性，借助奇偶性计算即可作答. 【详解】依题意，的定义域为R，令，则， 即是奇函数，有，则， 又，且有，即是偶函数，， 所以. 故选：D 26．BC 【难度】0.94 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均速度的公式结合条件即可判断. 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误,B正确； 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为，，所以，故C正确，D错误． 故选：BC． 27．ACD 【难度】0.94 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 28．AC 【难度】0.85 【知识点】高次不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得， 令，解得或， 结合选项可知函数的单调减区间可以为,, 故选:AC. 29．BC 【难度】0.85 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值点的定义即可求解. 【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当或时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和.故A错误，C正确； 所以或是的极小值点；故B正确； 所以是取得极大值点；故D错误. 故选：BC. 30．BCD 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先求出函数的导函数，然后根据直线能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可． 【详解】解：函数，可得不成立；所以不正确；   ，可以成立；所以正确； ，，可以成立；所以正确； ，可成立．所以正确； 故直线能作为函数图象的切线， 故选：BCD． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关系，属于基础题． 31．CD 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据奇函数的定义结合导函数可得，在利用导数判断原函数的单调性、极值和最值. 【详解】因为为奇函数，则， 即， 由的任意性可得，则， 则，可得，即， 所以，故A错误． 因为，， 令，解得或； 令，解得； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极值点有两个，故B错误，D正确； 且， 可知：在内的最大值为，最小值为， 所以函数的最大值与最小值之和等于，故C正确； 故选：CD． 32．AD 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设切点为，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到，有两条切线转化为有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项. 【详解】设切点为，， 所以切线的斜率， 则此曲线在P处的切线方程为， 又此切线过坐标原点，所以， 由此推出有两个不等的实根，所以，解得或， 故选：AD． 33．AC 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】先根据已知条件判断的奇偶性和周期性，再结合已知条件求相应的函数值，进行判断. 【详解】由为偶函数，得，两边求导，得，所以为奇函数，所以，由及，得，所以，故的周期为2. 所以，又，所以3，故A正确，B错误； 由，得，又，所以，所以，故C正确； 由，得，所以，故D错误. 故选：AC 34．BC 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数奇偶性的定义与判断 【分析】对于A：根据导数的几何意义求出切线方程可知A正确；对于B：根据偶函数的定义判断可知B错误；对于C：利用导数得在上为单调递减函数，可知C错误；对于D：根据有零点，求出的范围，可知D正确. 【详解】对于A：，；，， 所以切线方程为，所以A正确. 对于B：函数的定义域是，若，则， 所以 ， 所以是偶函数，所以B错误. 对于C：时，， 则，所以在上为单调递减函数，无最小值，所以C错误. 对于D：，若函数存在极值， 则有零点，令，即， . 因为，所以，即，解得：，故D正确. 故选：BC. 35．AC 【难度】0.4 【知识点】简单复合函数的导数、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】根据题意，先利用求导证明为奇函数，再证明其还为周期为4的函数，再通过合理赋值可一一核对各选项的对错. 【详解】因为为偶函数，则，两边求导得， 所以为奇函数，因为，， 所以，故，所以， 即的周期且，则，故B错误； 在，中， 令，可得，所以，故A正确； 由，令，可得，则，则，即， 所以，故D错误； 在中，令得，， 在中，令得，， 两式相加得，即，故C正确. 故选：AC. 36．AC 【难度】0.94 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】根据求导公式依次判定选项即可得到答案. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC 37．BCD 【难度】0.94 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】利用导数的运算对四个选项一一求导，即可判断. 【详解】对于A：.故A错误； 对于B：.故B正确； 对于C：.故C正确； 对于D：.故D正确. 故选：BCD 38．AB 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】由基本初等函数的求导公式以及导数的四则远算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B正确. 对C，，故C错误； 对D，，故D错误； 故选：AB 39．AD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】A选项，根据函数奇偶性得到为偶函数，且在单调递增，A正确；B不满足奇偶性，C不满足单调性；D选项，满足为偶函数，且求导得到函数在上单调递增，得到答案. 【详解】A选项，定义域为， 且，故为偶函数， 且时，单调递增，故A正确； B选项，的定义域为，故不是偶函数，故B项错误； C选项，时，单调递减，故C项错误； D选项，的定义域为R，且， 故是偶函数， 且时，，函数单调递增，故D项正确. 故选：AD 40．AC 【难度】0.65 【知识点】判断零点所在的区间、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对求导，根据函数的单调性及零点存在定理得出，即可判断A，B；令，根据的单调性可判断C；令，根据的单调性可判断D． 【详解】，当时，，此时函数单调递增； 当，，此时函数单调递减， 且， 因为是函数在上的一个零点，所以， 所以当，当， 对于A选项，当时，，故A正确； 对于B选项，当，故B错误； 对于C选项，令，故在上为增函数， 当时，，所以，即，故C正确； 对于D选项，令，故在上为增函数， 当时，，所以，即，故D错误. 故选：AC. 41．AC 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】直接利用“巧值点”的定义，一一验算即可. 【详解】对于A：∵，∴，令，即，解得：x=0或x=2，故有“巧值点”. 对于B：∵，∴，令，即，无解，故没有“巧值点”. 对于C：∵，∴，令，即，由和 的图像可知， 二者图像有一个交点，故有一个根，故有“巧值点”. 对于D：∵，∴，令，即，可得，无解，故没有“巧值点”. 故选：AC 【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移. 42．BCD 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、由函数奇偶性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的应用 【分析】结合函数的性质可求出，再结合选项逐项分析即可得. 【详解】对于A选项，由函数为奇函数，有，可得， 可得， 经检验， 可得函数为奇函数，故A选项错误； 对于B选项，由， 可得函数单调递增，故B选项正确； 对于C选项，由函数单调递增且为奇函数，故只有， 若，必有，可得0，故C选项正确； 对于D选项，由，有， 有，有， 当时不等式恒成立，可得， 由上知当时，不等式恒成立，故D选项正确． 故选：BCD． 43．BCD 【难度】0.65 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据正弦函数的图象与性质以及复合函数的求导一一验证即可. 【详解】对于A，将原点代入，得到，，，故A错误. 对于B，图象关于轴对称，即对称轴为，经过最高最低点，则，则，故B正确. 对于C，令 ，则零点为，求导 将代入， ，则，其最小正周期为.故C正确. 对于D，若，，平移后的函数， 与原函数图象关于轴对称，故D正确 故选：BCD. 44．BCD 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数图像的识别 【分析】解方程，根据零点个数可判断A；分，，讨论，利用二次导数讨论单调性，结合零点即可判断BCD. 【详解】， 令，得或，函数最多有两个零点，故A错误； 当时，显然为偶函数，， 当时，，所以，单调递增， 单调性结合奇偶性可知，B选项正确； 当且时，函数有两个零点或， 记， 则 因为且，所以， 所以，单调递增 又， ， 所以存在使得 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，当时，可知图象如选项C，故C选项正确； 当时，可得的图象如D选项，故D选项正确； 故选：BCD 45．AB 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式求和的最小值、判断零点所在的区间 【分析】根据函数与的图象关于对称、在上，可判断A；利用基本不等式和选项A可判断B；设，利用函数的单调性可得，，由可判断C；记，利用零点存在性定理可得，由构造函数，利用导数可得在上单调递增，可得答案. 【详解】对于A，因为函数与互为反函数，它们的图象关于对称， 因为与互相垂直，所以关于对称， 所以，又在上， 所以，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 将与联立可得，即， 设，则函数为单调递增函数， 因为，， 故函数的零点在上，即，由得， ，，故C错误； 记，则时为单调递减函数， ，， 则，，所以， 函数，，当时，， 所以在上单调递增，又， 故. 故选项D错误． 故选：AB．    【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，利用单调性得到，，考查了学生的思维能力、数学运算能力. 46． 【难度】0.94 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围. 【详解】， 由于函数有三个单调区间， 所以有两个不相等的实数根，所以. 故答案为： 47．0 【难度】0.94 【知识点】基本初等函数的导数公式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】利用一元二次不等式的解结合函数的导数可求解. 【详解】因为的解集为, 所以的两个根为,且, 由韦达定理知,即, 因为, 所以. 故答案为:0. 48． 【难度】0.94 【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 【分析】求导，再令即可. 【详解】． 故答案为：. 49． 【难度】0.94 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，进而得到切点坐标，由点斜式方程可得切线的方程． 【详解】的导数为， 在点处的切线斜率为1，可得，所以，切点纵坐标为：， 可得切点为， 即有切线的方程为， 即为． 故答案为． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题． 50． 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】先对函数求导，根据曲线切线的几何意义列式即可求. 【详解】由得， 因为曲线在点处的切线的倾斜角为， 所以， 所以，故. 故答案为： 51． 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题意构造函数求导后可得在R上是减函数，将转化为，再利用其单调性可求得结果. 【详解】因为，所以 令则， 所以在R上是减函数． 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以可化为， 因为在R上是减函数 所以， 所以不等式的解集是 故答案为： 52． 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设点的坐标为，根据导数的几何意义和点斜式，即可求出曲线在点处的的切线方程，再将此方程与曲线联立，求出点的横坐标，再利用，即可求出结果. 【详解】因为点在曲线上，设点的坐标为 ，即， 由得 所以曲线在点处的的切线方程为 ，即 由，消去整理得，解得或， 因为，且点在曲线上，所以点的横坐标为， 因为点在轴上，所以点的横坐标为， 所以. 故答案为：. 53． 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】设切点为，根据导数的几何意义，可得，即可求得b的表达式，又切点在曲线上，代入可得，设，利用导数判断其单调性，求得极值，即可得答案. 【详解】设切点为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以，所以. 令 所以当时，，则在区间上单调递增， 当时，，则在区间上单调递减﹐ 所以 所以的最大值为1，此时. 故答案为：1 54． 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、导数的运算法则、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题可得，分，讨论，即得. 【详解】由可得， 当时，，在上单调递增，不满足题意； 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 要使得函数在区间上不单调，则， 解得． 故答案为：. 55． 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】试题分析：设所求切线的倾斜角是，令，则 ． 考点：导数值与倾斜角的关系． 56． 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、函数对称性的应用 【分析】由拐点的定义可得的对称中心是点，分n为奇数和n为偶数，结合函数的对称性即可得出答案. 【详解】，，由，得，且， ∴的对称中心是点，因此． 故当n为奇数时，． 当n为偶数时，． 综上所述，． 故答案为：. 57． 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离 【分析】根据题意，找到与直线平行且与曲线相切时的切点坐标，再结合点到直线的距离公式，即可得到结果. 【详解】设直线与相切，则切线的斜率为 且，令，则，即切点的横坐标为， 将，代入，可得，即切点坐标为， 所以点P到直线的距离的最小值即为到直线的距离， 即， 故答案为: 58． 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的应用、函数基本性质的综合应用 【分析】分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数， 且， 当且仅当时，等号成立，且不恒为零， 所以，函数为上的减函数， 由可得，则， 即，解得. 故答案为：. 59．4 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、成本最小问题 【解析】根据题意得，，故，设，，根据导数研究函数单调性得，此时，进而得. 【详解】解：根据题意，， 所以， 所以，， 所以，， 设，， 所以， 令，得， 所以，，使得时，，时，， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，此时. 所以，. 故当的值最小时，. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的的最值，考查导数的应用问题，是中档题. 60． 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设切点为，再利用导数的几何意义求出切线方程，然后将原点坐标代入可求出，再将代入导函数中可求出切线的斜率. 【详解】因为，所以， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程的斜率为. 故答案为： 61． 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】分离参数得，令，利用导数求出其最大值即可 【详解】因为，由，得， 即， 设，则， 所以函数在单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 即实数a取值范围为， 故答案为： 62．大于零 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，求出函数的奇偶性，利用导数求出函数的单调性，再根据函数的奇偶性和单调性即可得解. 【详解】， 令， 因为，所以为奇函数， ， ∴函数，即函数是奇函数且在上是减函数， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 即. 故答案为：大于零. 63． 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求函数的导函数并判断函数的区间单调性，从而求得最小值. 【详解】由题设，， 又在上均递增， 又且趋向于0时趋于负无穷，存在使，即， 当时，，当时，， 故函数的单调递减区间为，函数得单调递增区间为，则最小值为， 由且，得，故， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 64． 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【详解】设切点为，因为，所以， 则有，解得，所以斜率为，故答案为. 考点：导数的几何意义. 65． 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究双变量问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】对已知等式进行同构可得，令，利用导数可求得单调递增，由此可得，从而将所求式子化为；令，利用导数可求得，即为所求最大值. 【详解】由得：； 由得：，； ， 令，， ，在上单调递增， ； 令，则， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解多变量的式子最值的问题；解题关键是能够对于已知等式进行同构变形，将问题转化为某一单调函数的两个函数值相等的问题，从而确定两个变量之间的关系，将所求式子化为单变量的式子来进行求解. 66． 【难度】0.94 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】因为，所以切线的斜率， 因为，所以切线方程为，即， 故答案为： 67．（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】导数的加减法、简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】由复合函数求导法则可以发现，从而对比已知即可得解. 【详解】注意到，结合已知若，则可取，经检验，满足题意， 事实上，其中是某个常数. 故答案为：（答案不唯一）. 68． 【难度】0.94 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【解析】求导，进而得到，用点斜式写出切线方程. 【详解】因为， 所以。 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 故答案为： 69．/ 【难度】0.94 【知识点】平均变化率 【分析】利用平均变化率的定义求解 【详解】函数在区间上的平均变化率为 ， 故答案为： 70．x－2y＋1＝0 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】首先求出两曲线的交点，再求出交点处的导数直，利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由得 所以两曲线的交点坐标为(1，1)． 由f(x)＝，得，所以， 所以y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)． 即x－2y＋1＝0. 故答案为：x－2y＋1＝0 71．必要不充分 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、函数极值点的辨析 【详解】试题分析：由推不出为 的极值点（如；），而反之可推出． 所以为必要不充分条件． 考点：充要条件的判断． 72． 【难度】0.85 【知识点】平均变化率 【分析】函数的平均变化率为，由图可知，函数在区间上最陡，可得答案． 【详解】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，即函数在区间上的平均变化率小于0；在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大．所以函数在区间上的平均变化率最大． 73． 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义求解即可 【详解】由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 故答案为： 74． 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、已知切线（斜率）求参数 【分析】利用直线过定点以及正弦函数图象，求得在处的切线斜率并结合图象即可求得实数的取值范围. 【详解】易知直线恒过定点，且的图象也过； 画出函数，的图象如下图实线部分所示： 若两函数图象有3个交点可知，直线的斜率； 若直线与，相切，可得， 易知，则， 结合图象可知时满足题意. 故选：D 75． 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，根据两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得的值. 【详解】因为，求导得， 所以，曲线在点处的切线的斜率为， 又因为直线的斜率为，由已知可得，解得. 故答案为：. 76．①③ 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【解析】根据直线在点处“切过”曲线的定义，对5个函数逐个判断可得答案. 【详解】对于①，由，得，所以，则直线：是曲线：在点处的的切线， 又当时，，当时，，满足曲线在附近位于直线的两侧，故直线：在点处“切过”曲线：，故①正确； 对于②，由，得，所以，而直线：的斜率不存在，在点处与曲线：不相切，故②不正确； 对于③，由，得，所以，则直线：是曲线：在点处的切线， 令，则，当时，，函数递增，所以当时，，当时，，函数递增，所以当时，，所以当时，，当时，，所以曲线在附近位于直线的两侧， 故直线：在点处“切过”曲线：，故③正确； 对于④，由，得，所以，则曲线：在点处的切线方程为，即， 令，则，当时，，函数递增，当时，，函数递减，则当时，函数取得极小值，同时也是最小值，则，即， 则曲线：不在切线：的两侧，故④不正确； 对于⑤，由，得，所以，所以曲线：在点处的切线方程为，即， 令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增， 所以当时，函数取得极小值，也是最小值，所以，所以曲线：不在切线：的两侧，故⑤不正确. 故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：对直线在点处“切过”曲线的定义正确理解是解题关键. 77． 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数求出函数的极值，由三次函数的性质可知，函数要有3个零点，只要极大值大于零，极小值小于零即可，从而可求出答案. 【详解】，令，得，令，得或， 所以在上递增，在上递减， 所以的极大值为，的极小值为. 因为有3个零点，且当时，，当时，， 所以，解得，即的取值范围为. 故答案为：    78．2 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】由导数知识可知，函数上恰有一个变号零点，利用导数得出的单调性，借助函数图象得出的值. 【详解】解：因为，，所以， 因为在上恰有一个极值，所以在上恰有一个变号零点， 即函数上恰有一个变号零点. 令，则. 当时，；当时，. 故在，上单调递减，在上单调递增. 因为，，，所以的大致图象如图所示， 因为函数在恰有一个变号零点，所以， 此时函数在上恰有一个极值. 故答案为： 79． 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出函数的导数，求出过点的切线斜率，利用直线的点斜式方程，可得答案. 【详解】由题意可知，点在曲线上， 而，故曲线在处的切线的斜率为2， 故通过该点的切线方程为： ，即， 故答案为： 80．-2 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】本题可以先求出函数的导函数，再通过函数在点处的切线平行于轴得出的值，最后得出结果． 【详解】因为函数，所以 因为函数在点处的切线平行于轴， 所以所以 【点睛】曲线在曲线上的某一点的切线方程的斜率就是曲线在这一点处的导数． 81． 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】根据给定条件，构造函数，再利用函数探讨单调性，求解不等式作答. 【详解】令函数，则，因此函数在上单调递减， ，因此，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 82． 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根 【分析】分离参变量得，构造函数，求导得函数单调性，利用函数方程解的个数即可求解. 【详解】等号左边的分子和分母同时除以，等号右边的分子和分母同时除以， 分离出参数， 设， 则当时，单调递增， 当时，单调递减， 且时，时，，且方程有唯一解， 故． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是将问题转换为方程有唯一解，由此构造函数研究其单调性即可得解. 83． 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，判断在上单调递减，故，计算得到答案. 【详解】设函数，则 因为 所以，. 故在上单调递减 所以， 则，即. 故答案为 【点睛】本题考查导数的应用，其中构造函数是解题的关键，考查函数构造法的应用与推理论证能力. 84． 【难度】0.4 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【解析】令,根据当时, 可得,因此函数在时单调递减,又为奇函数,由于,可得,即可求得答案. 【详解】①令. 当时, , 函数在时单调递减； , 的解集为 ②函数,()分别是定义在上的奇函数和偶函数 是上的奇函数, 当时,的解集为 综上所述,不等式的解集为:. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,解题关键是掌握根据题意构造函数的方法和由导数判断函数单调性的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 85． 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】依题意可得，则（为常数），再由求出，即可得到解析式，最后利用导数求出函数的最大值. 【详解】因为，，则， 所以， 所以（为常数）， 又，所以，解得， 所以，， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是由导数的运算法则得到，从而得到（为常数），到达求出解析式的目的. 86．(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的四则运算公式和复合函数的求导公式进行求解. 【详解】（1），则； （2），则 （3）设，对求导为， 由，对求导为， 根据复合函数的求导法则， 于是 （4）函数，设， 则， 根据复合函数的求导法则， 则； 87．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】导数的加减法、导数的乘除法 【分析】(1) 根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案； (2) 根据复合求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案； (3) 根据分式求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）. 88．(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求得导函数，是切线的斜率，利用点斜式方程求切线方程即可； （2）先对参数分类讨论研究函数的单调性，结合函数的最值和区间的边界值，利用零点存在性定理判断零点个数即可. 【详解】（1）因为，所以， 则， 所以，切线方程为 即 （2）由（1）知，. ①当时，在区间上大于零，在区间上单调递增，且，所以在区间上有一个零点. ②当时，在区间上小于零，在区间上单调递减，且，所以在区间上有一个零点. ③当时，在区间上小于零，在区间上大于零， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 而. 当，即时，在区间上有两个零点. 当，即时，在区间上有一个零点. 综上可知，当或时，在上有一个零点， 当时，在区间上有两个零点. 89．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则 【分析】（1）根据导数的运算法则求导即可. （2）根据导数的运算法则求导即可. 【详解】（1）. （2）. 90．(1) (2)； (3)； (4)． 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数导数公式，导数除法公式，复合函数求导公式求解. 【详解】（1）． （2）． （3）． （4） 91．(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】（1）根据题意结合初等函数导函数运算求解； （2）根据题意结合导数的乘、除法运算求解； （3）根据题意利用复合函数的链式求导法则运算求解. 【详解】（1）①因为，所以； ②因为，所以； ③因为，所以. （2）①因为，所以； ②因为，所以. （3）①因为，所以； ②因为，所以； ③因为，所以. 92． 【难度】0.65 【知识点】根据函数的最值求参数、简单复合函数的导数 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； 【详解】时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为. 93．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】应用复合函数求导即可. 【详解】（1）令，则， ; （2）令，则， ; （3） 所以. 94． 【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数求切线斜率，再求切线方程，利用直线与圆的位置关系求参数a的取值范围. 【详解】因为，所以 所以，所以， 所以切线l方程为，即， 因为直线l与圆C：相交， 所以圆心到直线l的距离小于半径， 即，化简得，解得， 所以a的取值范围是. 95．(1) (2)在上单调递增 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，计算，求出切线方程即可. （2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可． 【详解】（1）（1）时， 所以 所以函数在处的切线方程为， 整理得 所以函数在处的切线方程是：. （2）因为 所以 令，即 当时，即时，恒成立，此时在R上单调递增. 当时，即或时，解得 所以当时或 当时， 此时在单调递减， 单调递增区间为，. 96．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线的应用、平面解析综合 【分析】（1）利用题意求出焦点坐标求解就可以了； （2）找到距离之间关系，利用几何法求解即可； （3）利用内心的性质找到面积之间的关系，然后表示出面积，再利用函数关系求其范围即可. 【详解】（1）由题可知，椭圆右焦点坐标为，抛物线焦点坐标为 所以, 所以抛物线方程为, （2）    由题可知，为抛物线准线，所以点到的距离等于点到焦点的距离； 联立， 显然无实数根，故直线与抛物线相离，记点到的距离为, 所以的最小值为焦点到直线的距离为. （3）    设点，已知点 所以的面积, 设的内切圆半径为, 则有, 所以, 所以, 因为点是抛物线上一点（不同于坐标原点）, 所以，, 所以, 经整理得：, 构造函数, 得, 显然单调增, 令，解得, 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递増； 所以, 所以. 【点睛】对于距离问题先用几何法找到其中关系；对于内心相关的面积问题，可以利用等面积法，得到不同部分面积之间的关系求解即可，当处理的式子比较复杂的时候，可以构造函数求解. 97．(1)极小值为，没有极大值 (2) 答案见详解 (3)答案见详解 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间、比较函数值的大小关系 【分析】（1）对求导，令求得，的零点把定义域划分为和判断各个区间的单调性，从而判断是极大值点还是极小值点，再求出对应的极值即可； （2）对求导，并对的导函数进行整理，整理成因式乘积的形式，然后根据不同的对的导函数正负的影响进行讨论，从而得到的单调性； （3）由（2）可以得到，，结合，得到取不同范围时的范围，再结合函数的单调性，从而判断和的大小关系． 【详解】（1），时，时， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取到极小值，没有极大值． （2） 情形一  若，可得恒成立，且， 时，，故在单调递减； 时，，故在单调递增； 情形二  若，，则， 在单调递增； 情形三  若，令，解得或， 又由（1）知当时，可得， 时，，故在单调递减； 和时，，故在和单调递增． 综上所述，若，时，单调递减，时，单调递增； 若，，在单调递增； 若，时，单调递减，和时，单调递增． （3）由（2）知，只能是，， 由，则，解得且， 又当时，，，由在上单调递减可知； 当时，，，由在上单调递增可知． 综上所述，时，；时，． 98．(1)有最小值，没有最大值. (2)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用求导公式和导数的运算法则可得，根据函数的性质推出函数的性质，即可求解； （2）对函数求导可得，利用导数讨论函数的性质可得，再次利用导数分类讨论函数当、时的性质，结合极值点与零点之间的关系即可求解. 【详解】（1）当时，，则. 令，则在上单调递增，且， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 即有最小值，没有最大值. （2）因为，其中，所以. 令，则.因为，令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以. 设，其中，则.令，解得. 当时，，所以在上单调递增，所以. 所以当时，；当时，. ①当时，，即，也即， 所以在上单调递增，所以没有极值点. ②当时，在上单调递减. 设，则当时，， 所以，即当时，. 又在上单调递减，所以在上单调递减，且在上单调递减， 所以当时，， 所以在上没有零点，且. 又在上单调递减，所以在内存在唯一，使， 所以当时，；当时，， 也即当时，；当时，， 所以为的一个极大值点. 又在上单调递增，， 所以当时，；当时，， 即当时，；当时，， 所以1为的一个极小值点，所以当时，有2个极值点. 综合①②，当时，有2个极值点；当时，没有极值点. 【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数研究新函数的性质即可解决问题. 99．(1)答案见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）若选择条件①，根据，构造函数，由函数图象有1个交点，转化为直线与曲线有1个交点，利用导数判断函数的单调性，从而确定的值；若选择条件②，由方程，构造函数，利用导数判断函数的单调性，根据函数的极值，确定方程只有1个实数根； （2）由不等式构造函数，转化为利用导数求函数的最值问题，即可求解的取值范围. 【详解】（1）若选①为条件： 函数的定义域为，令，即，则． 令，则直线与曲线有1个交点，且， 令，解得， 故当时，，当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 故当曲线有1个交点时，． 若选②为条件： 函数的定义域为，令，则，则． 令，则， 令，解得， 故当时，，当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 故方程仅有1个实数根，即曲线有1个交点． （2）依题意，，即在上能成立， 令，则（提示：不等式能成立问题转化为函数最值问题）． 的值域为，且单调递增． ①当，即时，，∴在上单调递增， ∴，解得，与矛盾，； ②当，即时，，∴在上单调递减， ∴，解得； ③当时，存在唯一的，满足， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 解得， 与矛盾，． 综上所述，实数m的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解决函数的零点，不等式，最值问题，本题第二问的关键是由的值域为，根据端点值讨论不同的区间，讨论函数的最值. 100．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、由函数在区间上的单调性求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）代入求导，结合导数的几何意义求出切线斜率再求出切线方程即可； （2）在上单调递减，则恒成立，转化为关于的不等式恒成立，然后参变分离，与两边放，最后转化为求函数最值问题即可解决. 【详解】（1）当时，，， 将分别代入和求得，， 则的图象在点处的切线方程为： ，即. （2）因为，求导得， ， 在上单调递减，则恒成立. 即. 令，则上式转化为恒成立， 参变分离得，令， 则， 令，解得. 当单调递增，当单调递减. 则，故. 答案第4页，共65页 答案第5页，共65页 学科网（北京）股份有限公司 $$