2.第二章 直线和圆的方程-高二数学必刷100题（人教A版2019）

2.高二第二章直线和圆的方程必刷100题（人教版） 1．（23-24高二上·北京·期中）对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的个数为（ ） ①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为； ②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为； ③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为； ④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（19-20高二下·安徽阜阳·开学考试）过抛物线焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以线段为直径的圆与直线相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（20-21高二上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题: ①对任意三点，都有 ②已知点和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； 其中真命题的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（22-23高二上·河南信阳·期中）已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·吉林·期末）中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列是关于曲线C的四个结论，正确的个数是（    ） ①曲线C关于原点对称 ②曲线C上满足的P有且只有一个 ③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4 ④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023·全国·模拟预测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（15-16高三·吉林长春·阶段练习）已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为 A． B． C． D． 8．（17-18高二下·江西抚州·期末）在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的取值范围为 A． B． C． D． 9．（2024高二下·吉林·竞赛）已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 10．（22-23高二上·重庆九龙坡·期中）已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D．1 11．（2014·安徽合肥·二模）已知圆C1：(x－a)2＋（y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为（    ） A． B． C． D．2 12．（2021·全国·模拟预测）已知直线：与圆：()相离，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，若面积的最小值是，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 13．（2019·安徽·三模）已知直线与圆交于点，，点在圆上，且，则实数的值等于 A．或 B．或 C． D． 14．（20-21高二上·上海黄浦·期末）已知与是直线(为常数)上异于坐标原点的两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论､､如何，总是无解 B．无论､､如何，总有唯一解 C．存在､､，使之恰有两解 D．存在､､，使之有无穷多解 15．（2018·广东揭阳·二模）已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为 A． B． C．或 D．或 16．（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）已知点是圆的动点，直线上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 17．（21-22高二上·江苏无锡·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 18．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2019·广东·一模）已知圆：，则圆关于直线的对称圆的方程是 A． B． C． D． 20．（21-22高三下·辽宁·阶段练习）已知直线与圆交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C．2或 D．1或 21．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）过点作斜率为的直线交圆于A，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 22．（2019·重庆·一模）已知直线与椭圆切于点，与圆交于点，圆在点处的切线交于点，为坐标原点，则的面积的最大值为 A． B．2 C． D．1 23．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）过点作斜率为的直线交圆于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 24．（22-23高二上·浙江杭州·期中）在正中，M为BC中点，P为平面内一动点，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 25．（18-19高一下·北京朝阳·期末）已知二次函数交轴于两点(不重合)，交轴于点. 圆过三点.下列说法正确的是 ① 圆心在直线上； ② 的取值范围是； ③ 圆半径的最小值为； ④ 存在定点，使得圆恒过点. A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①④ 26．（18-19高二上·上海浦东新·阶段练习）在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（    ） ①对任意三点A、B、C，都有 ②已知点P(3,1)和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； ④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点． 其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 27．（2018·河南郑州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 28．（22-23高二上·浙江台州·期末）过点作斜率为的直线交圆于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 29．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知圆D是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆D交于A，B两点，则当最大时，的面积为（    ） A．2 B． C． D．1 30．（22-23高三上·浙江·阶段练习）将两圆方程作差，得到直线的方程，则（    ） A．直线一定过点 B．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为 C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直 D．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等 31．（23-24高二上·山东·期中）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作的两条切线，切点分别为，则（    ） A．的方程为 B．四边形面积的最小值为 C．的最小值为 D．当点坐标为时，直线方程为 32．（23-24高一上·浙江杭州·期中）著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的值域是 C．先减小后增大 D．方程有且仅有一个解 33．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则（    ） A．的面积为 B．直线的方程为 C．在经过，两点的所有圆中，的面积最小 D．若是圆和圆边界及内部的一点，则 34．（23-24高二上·安徽·期末）点，为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当，且为圆的直径时，面积的最大值为3 B．从点向圆引两条切线，切点分别为，，的最小值为 C．，为圆上的任意两点，在直线上存在一点，使得 D．当，时，的最大值为 35．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆的半径为1，PA与圆O相切，切点为A，过点P的直线与圆交于B，C两点，D为BC的中点，，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 36．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．若圆C关于直线l对称，则 C．若，则或 D．若A，B，C，O四点共圆，则 37．（2022·重庆·模拟预测）已知平面内两个给定的向量，满足，，则使得的可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 38．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知点，，动点P在：上，则（    ） A．直线MN与相离 B．线段PN的中点轨迹是一个圆 C．的面积最大值为 D．P在运动过程中，能且只能得到4个不同的 39．（22-23高二上·吉林长春·期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 40．（22-23高二上·山东·期末）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹围成区域的面积为 B．面积的最大值为 C．点到直线距离的最大值为 D．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为 41．（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）若动点、分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高二上·山西·期中）若曲线与圆恰有4个公共点，则m的值可能是（    ） A． B． C． D．2 43．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当，平行时，两直线的距离为 D．直线过定点，直线过定点 44．（23-24高二上·安徽六安·期中）下列说法正确的有（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．直线在轴上的截距为1 C．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示. D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 45．（21-22高二上·福建泉州·阶段练习）已知圆和相交于两点，则下列选项中正确的是（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．圆与圆关于直线对称 C．线段的长为 D．分别是圆与圆上的点，则的最大值为 46．（22-23高三下·湖北·阶段练习）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，则下列结论正确的是（    ） A．当最大时， B．当最大时，直线的方程为 C．四边形面积的最大值为 D．四边形面积的最小值为 47．（22-23高二上·山东济南·期末）已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，下列说法正确的是（    ） A．圆关于轴对称的圆的方程为 B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在的直线方程为 C．已知实数、满足圆的方程，则的取值范围为 D．经过直线上的点作圆：的切线，则切线长的最小值为 48．（23-24高二上·湖南娄底·阶段练习）若直线L的一个方向向量，且L经过点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．直线L与直线垂直 D．直线L上不存在与原点距离等于0.1的点 49．（21-22高二上·全国·课后作业）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A．圆的圆心是 B．圆的半径是2 C． D．的取值范围是 50．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 51．（19-20高一·福建泉州·阶段练习）在直角坐标系中，圆的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，.若直线与圆相交于，两点，的面积为2，则值为 ． 52．（22-23高二上·四川南充·期末）已知A，B分别是轴和轴上的两个动点，，若动点满足，若，则的取值范围为 ． 53．（23-24高二上·上海松江·期末）已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 54．（19-20高三·全国·阶段练习）已知圆：与圆：相内切，则的最小值为 . 55．（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 . 56．（18-19高一下·云南曲靖·期中）已知点在直线上，则的最小值为 . 57．（21-22高二上·湖南·期末）已知为正方体表面上的一动点，且满足，则动点运动轨迹的周长为 . 58．（18-19高二上·湖北武汉·期中）已知点，点在圆上，为坐标原点，则的最小值为 . 59．（2019·江苏徐州·一模）已知，为圆上的两个动点，，为线段的中点，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 60．（19-20高三上·天津·开学考试）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数，当时，，，设函数，若在区间上，函数有11个零点，则的取值范围是 . 61．（2020·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，点是圆外的一个动点，直线分别切圆于两点．若直线过定点（1，1），则线段长的最小值为 ． 62．（2024高二上·江苏·专题练习）已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则 . 63．（22-23高二上·福建·期中）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值是 ． 64．（2020·全国·一模）已知圆，，是圆上两点，点且，则最大值是 . 65．（2020·江苏南京·模拟预测）已知、为圆上的两点，且，设为弦的中点，则的最小值为 . 66．（21-22高二上·湖北武汉·期中）已知实数满足，，，则的最大值为 . 67．（19-20高三上·江苏南通·阶段练习）已知，实数，满足方程，则的最小值为 . 68．（2018·四川宜宾·一模）若动点在直线上，动点Q在直线上，记线段的中点为 ，且，则的取值范围为 . 69．（21-22高二上·江西抚州·阶段练习）若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数a的取值范围是 ． 70．（17-18高一下·湖北宜昌·期末）下列命题正确的是 . ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应； ②倾斜角的范围是:,且当倾斜角增大时,斜率不一定增大； ③直线过点，且横截距与纵截距相等，则直线的方程一定为； ④过点,且斜率为1的直线的方程为. 71．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线，若无论取何值，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是 . 72．（20-21高二上·浙江杭州·阶段练习）已知圆的方程为.设该圆内过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 . 73．（22-23高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是 ． 74．（21-22高二上·福建漳州·期中）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 . 75．（22-23高二上·广西钦州·阶段练习）已知圆： ，为圆上任一点，则的最大值为 . 76．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 77．（20-21高二上·江西·阶段练习）点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为 . 78．（22-23高二上·河北唐山·期中）设直线l：与圆C：交于两点，则 的取值范围是 ． 79．（2022·上海闵行·模拟预测）若圆上有且只有两点到直线的距离为2，则圆的半径的取值范围是 . 80．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）过圆外一直线上一动点P作圆的切线，则切线长最小值为 81．（20-21高二上·安徽池州·期中）过点P（3，1）作⊙的两条切线，切点分别为A、B，则弦AB的长为 . 82．（21-22高二上·上海长宁·期末）已知圆，直线（不同时为0），当变化时，圆被直线l截得的弦长的最小值为 . 83．（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 . 84．（20-21高二上·上海浦东新·阶段练习）已知等腰三角形的底边所在直线过点，两腰所在的直线为与，则底边所在的直线方程是 . 85．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）圆的半径的最大值为 . 86．（2020高三·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点为圆上一点，且位于第一象限，直线交轴于点，直线交直线于点.设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值是 . 87．（21-22高二上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，圆与直线交于，两点，若，则 . 88．（18-19高三下·山西太原·阶段练习）已知直线：与圆相交于，两点，是线段中点，则到直线的距离的最大值为 . 89．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）过点作圆与圆的切线，切点分别为、，若，则的最小值为 90．（2023高三·全国·专题练习）化简之后为，求a，． 91．（10-11高一下·广东河源·开学考试）圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． (1)当时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 92．（2023高三·全国·专题练习）当时，把化简成圆的标准方程的形式 93．（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 94．（23-24高二上·北京·阶段练习）已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且. (1)求圆的方程； (2)请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程. ①；②. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 95．（21-22高二上·辽宁锦州·期末）（1）已知直线l过点，且直线l在y轴上的截距、在x轴上的截距满足，求直线l的方程． （2）在直角坐标系中，已知圆C：与直线l：相切，求实数的值． 96．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 97．（23-24高二上·湖北·阶段练习）圆过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 98．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得得弦长为 (1)求该圆的方程； (2)求过点A的该圆的切线方程 99．（23-24高二上·陕西渭南·期中）已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程； 100．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 试卷第16页，共16页 试卷第16页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D D C A B B D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C C B A D A C A A B 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 A A D A D A D C A BCD 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 ACD AC BC ABD ABC ACD ABC ABD BCD ACD 题号 41 42 43 44 45 46 47 48 49 答案 ACD AC BC ACD ABD BD ABD CD ABCD 1．C 【难度】0.4 【知识点】集合新定义、由圆的位置关系确定参数或范围、由标准方程确定圆心和半径、轨迹问题——圆 【分析】根据题中定义分析出①②③④中点集构成的区域，计算出相应图形的面积，即可得出结论. 【详解】设点， 对于①，若曲线表示点，则， 化简可得， 所以，点集所表示的图形是以点为圆心，半径为2的圆及其内部， 所以，点集所表示的图形的面积为，①对； 对于②，若曲线表示以点为圆心，半径为2的圆， 设为曲线上一点，当点在曲线内时，， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以，可得，此时； 当点在曲线外时，， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以，，可得，此时， 当点在曲线上时，线段的长不存在最小值， 综上所述，或，即或， 所以，点集所表示的图形是夹在圆和圆的区域（但不包括圆的圆周）， 此时，点集所表示的图形的面积为，②错； 对于③，不妨设点曲线为线段，且， 当点与点重合时，由①可知，则点集表示的是以点为圆心，半径为1的圆， 当点与点重合时，则点集表示的是以点为圆心，半径为1的圆， 故当点在线段上滑动时，点集表示的区域是一个边长为2的正方形和两个半径为1的半圆所围成的区域， 此时，点集的面积为，③对； 对于④，若曲线是边长为9的等边三角形，设等边三角形为， 因为，，则， 由③可知，点集构成的区域由矩形、、， 以及分别由点为圆心，半径为1，圆心角为的三段圆弧， 和夹在等边三角形和等边三角形中间的部分（包括边界）， 因此，，则， 所以，点集所表示的图形的面积为，④对. 综上所述：正确的序号为①③④，共3个. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出点集所表示的区域，并作出其图形，计算其面积即可. 2．B 【难度】0.4 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、由直线与圆的位置关系求参数 【解析】当直线l垂直与x轴时，解得，以为直径的圆为与直线相离不符题意，当直线l的斜率存在时，设， 直线l的方程为，联立圆的方程，结合直线和圆的位置关系，即可得解； 另解：过A，B分别作准线的垂线．垂足分别为，， 则，所以以为直径的圆与直线相切，又以为直径的圆与相切，故圆的直径为17，所以．设直线，与抛物线方程联立，结合焦点弦公式以及直线和圆的位置关系，即可得解. 【详解】当直线l垂直与x轴时，解得， 以为直径的圆为与直线相离， 故直线不满足题意； 当直线l的斜率存在时，设， 直线l的方程为， 则化简得． 圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 解得，故直线l的方程为或． 故选：B． 另解：过A，B分别作准线的垂线．垂足分别为，， 则， 所以以为直径的圆与直线相切， 又以为直径的圆与相切， 故圆的直径为17，所以． 设直线与抛物线联立得． 记，则， ∴． 又． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了焦点弦公式，考查了直线和圆的位置关系，同时考查了利用韦达定理构建基本量之间的关系，有一定的计算量，属于较难题. 3．D 【难度】0.4 【知识点】距离新定义 【分析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值； ③根据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题的真假. 【详解】① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则； 若，或，对调，可得； 若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，    由矩形或矩形，； 则对任意的三点，，，都有，故①正确； ②设点是直线上一点，且， 可得，， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最值； 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确； ③由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故③正确； 故选：D 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 4．D 【难度】0.4 【知识点】直线围成图形的面积问题 【分析】计算直线与和轴的交点，计算，考虑当在点与点之间（包括点）和当在点的左侧两种情况，根据坐标之间的关系得到不等式，解得答案. 【详解】，由已知得，由得，， ，直线与轴交于， 当在点与点之间（包括点）时， ，， 则有，所以，， ，故，所以，，又，，故； 当在点的左侧时， 解得，， 由得，此时，， 点到直线的距离， ，得， 则有，所以，， 又，，故，，即. 综上所述：实数b的取值范围. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：这道题的关键点是考虑当在点与点之间（包括点）和当在点的左侧两种情况，然后通过计算各点的坐标计算面积 5．D 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程 【分析】根据题意求轨迹方程.将代入曲线方程即可判断①；根据点P在y轴上，解得点P的坐标即可判断②；根据曲线方程可得，结合即可判断③；直线与曲线联立，根据方程的解即可判断④. 【详解】设，则， 根据双纽线的定义可得：，即， 对①：曲线C上任一点关于原点的对称点为， 用替换方程中的得： 即也在曲线C上，所以曲线C关于原点中心对称，故①正确； 对②：若曲线C上点P满足，则点P在y轴上，即， 把代入曲线方程得：，解得， 即点P满足，则， 所以这样的点仅有一个，故②正确； 对③：若，则， 即，则， 当，即不是坐标原点时，则，当且仅当，即时等号成立， 即； 当时，则； 综上所述：曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过4，故③正确； 对④：∵直线与曲线C一定有公共点， 若直线与曲线C只有一个交点，将代入方程中，方程无非零解， 联立方程，消去整理得， 可得无非零解，则， 解得或，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛： （1）根据方程，化简可得，结合不等式分析运算； （2）再处理直线与曲线的交点问题时，一般通过联立方程分析判断. 6．C 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、正弦定理解三角形 【分析】先根据正弦定理可得，再建立平面直角坐标系求解的轨迹方程，进而可得面积的最大值. 【详解】在中，在中， 故，， 因为，故， 又角的平分线交于点，则，故. 故. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，， 故，，设，则， 即，故， 化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）. 故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.    故选：C 7．A 【难度】0.4 【知识点】平面向量的数量积 【详解】试题分析：由题意得，设，，则， ∴，， ∴ ，当且仅当时，等号成立，故选A． 考点：1．圆的标准方程；2．平面向量数量积及其运用． 8．B 【难度】0.4 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】分析：求出的方程和过的圆的方程，两圆内切时，取得最大值，两圆外切时，取得最小值，利用圆与圆的位置关系进行求解即可. 详解： 若，则， 即，则， 由题意，是上一点， 折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点，（异于点）重合， 两次折痕方程分别为和， 设关于对称的点为， 则 可得，同理关于对称的点为， 直线和互相垂直，， 的中点为圆心，半径为， 的方程为圆心， 圆上存在点，使得， 则过圆的方程为，（设），与圆有交点， 若两圆内切时，取得最大值， 此时为， 即，则， 两圆外切时取得最小值， ， 所以的取值范围为，故选B. 点睛：本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，利用数形结合以及对称性是解决本题的关键，有一定的难度. 解析几何中的对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解. 9．B 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】先设点的坐标，把函数转化为，再结合图形特征得出最小值即可. 【详解】是抛物线上一点， 到直线的距离为 到点的距离为， 所以 当共线时，取最小值， 最小值为到的距离. 因为， 且的最小值为， 所以的最小值为9，且在交点或处取到， 故选：B. 10．D 【难度】0.4 【知识点】相交圆的公共弦方程、切点弦及其方程、由圆心（或半径）求圆的方程、求点到直线的距离 【分析】得到四点共圆，且圆的直径为，从而设出，表达出圆心和半径，写出圆的方程，与相减后得到直线的方程为，利用点到直线距离公式得到圆心到直线的距离，配方求出的最小值，从而得到的最大值. 【详解】由题意得：四点共圆，且圆的直径为， 设，则， 则的中点为圆心，圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为：， 整理得：， 将与相减得：， 故直线的方程为， 圆心到直线的距离， 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故. 故选：D 11．C 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、基本不等式求积的最大值 【解析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得出满足的关系，然后由基本不等式求得最大值． 【详解】由圆C1与圆C2外切， 可得＝3，即＝9，根据基本不等式可知，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为. 故选：C. 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式求最值． 设两圆半径分别为，圆心距为，则两圆位置关系如下： 内含，内切，相交，外切，外离． 12．C 【难度】0.65 【知识点】切线长 【分析】求出圆心到直线的距离，即可得切线长的最小值，从而得面积最小值，由此可得半径． 【详解】因为，所以，当最小时，最小． 的最小值为，所以，解得或， 又直线与圆相离，所以，所以或． 故选：C． 13．B 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【解析】由圆的性质可得出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求出实数的值. 【详解】由可得. 在中，，， 可得点到直线，即直线的距离为. 所以，解得或.故选B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离.在直线与圆的问题中，结合相关的几何性质求解可使解题更简便. 14．A 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线斜率的定义 【分析】判断直线的斜率存在，当斜率为0时，方程组无解；当斜率不为0时，通过点在线上可得的关系，分析方程组即可. 【详解】与由题意可知，直线的斜率存在， 当时 ，又， 所以方程组无解； 当时，，且， 所以， 由得 因为 所以方程组无解. 综上所述，方程组无解. 故选 【点睛】求斜率可用k＝tanα (α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 15．D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【详解】分析：首先将圆的方程整理为标准方程，结合等腰三角形的性质和点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果. 详解：圆的方程整理为标准方程即：， 设AB中点为，由圆的性质可知△ABO为等腰三角形，其中， 则，即圆心到直线的距离为， 据此可得：，即，解得：或. 本题选择D选项. 点睛：本题主要考查圆的方程的应用，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16．A 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离 【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆内切，且时，线段长度最小，然后求即可. 【详解】由得圆心，半径， 直线上存在使恒成立，则以为直径的圆包含圆，当长度最小时，两圆内切，设中点为，则此时，所以. 故选：A. 17．C 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径、求平面两点间的距离 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系． 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆：，即，圆心，半径， 两圆的圆心距，显然，即， 所以圆与圆相交. 故选：C 18．A 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】作出曲线，它是半圆，直线过定点，由图可知四条直线产生临界条件，两条过半圆的两个端点，两条是半圆的切线，求出其斜率后可得结论． 【详解】直线过定点， 又曲线可化为：，， 画出直线与曲线图象如图所示：    数形结合可得直线在，，，处产生临界条件， 设直线，，，的斜率分别为 则 设直线的方程为， 圆心到直线的距离为，解得舍去或， 要使两图象有个不同交点，则 故选：A． 19．A 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【解析】根据题意，设要求圆的圆心为，其坐标为，由与关于直线对称，则有，解可得、的值，即可得圆的圆心，由圆的标准方程分析可得答案． 【详解】解：根据题意，设要求圆的圆心为，其坐标为， 圆：，即， 故其圆心为，半径， 与关于直线对称， 则有，解可得， 则要求圆的圆心为，半径， 其方程为， 故选A． 【点睛】本题考查圆的方程的计算，注意分析要求圆与已知圆的圆心以及半径之间的关系，属于基础题． 20．B 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由条件结合圆与直线的位置关系可得∠MAB=30°．点M到直线的距离为， 则圆的半径，从而可得答案. 【详解】因为∠MBA=∠MAB，所以4∠MAB+2∠MAB=180°，所以∠MAB=30°． 由知圆心，半径为， 则点M到直线的距离， 由题知，即，解得． 故选:B． 21．A 【难度】0.15 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】首先确定P与圆的位置关系，令且P是内分比点，若为外分比点，由阿氏圆易知P、Q在以的中点C为圆心的圆上，且最大值为圆的直径，讨论及数形结合判断的最大情况的最小值. 【详解】由题设，即在圆内， 令且，显然P是内分比点，若为外分比点, 则，此时的中点C为P、Q所在阿氏圆的圆心， 对于每一个确定的实数k，的最大值为，即重合时为对应圆直径， 根据圆的对称性，如上图，讨论的情况，而, 当为直径时，， 此时，可得， 故的最大值为， 当不是为直径时，，，且增减趋势相同， 由，得，显然接近于1时趋向无穷大， 此时的最大值为趋向无穷大. 综上，的最小值是1. 故选：A 22．A 【难度】0.15 【知识点】二倍角的正弦公式、数量积的坐标表示、相交圆的公共弦方程、求椭圆的切线方程 【分析】设点，，利用四点，，，共圆，求得以为直径的圆，与已知圆的方程相减得出直线的方程，直线与过点的椭圆的切线重合，两个方程相等，可得,，再由椭圆的参数方程和向量数量积的坐标表示和向量的模，结合三角形的面积公式和三角恒等变换以及三角函数的基本性质求出所求的最大值． 【详解】设，，，由，，可得四点，，，共圆， 可得以为直径的圆，方程为， 联立圆，相减可得的方程为， 又与椭圆相切，可得过的切线方程为，即为， 由两直线重合的条件可得，， 由于在椭圆上，可设，，， 即有，， 可得， 且，， 即有， ，当即或或或时， 的面积取得最大值． 故选．    【点睛】本题考查椭圆和圆的方程的应用，考查直线和椭圆、直线与圆相切的条件，以及运用参数方程和三角恒等变换公式是解题的关键，考查运算求解能力与分析问题的能力，属于难题． 23．D 【难度】0.15 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】本题涉及到动点的轨迹，根据比例，经分析可知，所在轨迹为圆，结合圆的几何性质即可求解. 【详解】由题可知，在圆内， 令，且， 显然是的内比分点，设为其外比分点， 则，此时的中点为所在阿氏圆的圆心，      对每一个确定的实数，的最大值为 即重合时为对应圆的直径， 根据圆的对称性，如图，讨论的情况，而 当为直径时， 此时，所以 故的最大值为 当不为直径时，，， 且增减趋势相同， 由得， 显然接近于1时趋向无穷大， 此时的最大值趋向无穷大， 综上，的最小值为2. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题涉及到动点到两个定点的距离之比为定值，此时该动点的轨迹为阿氏圆，结合阿氏圆分析点的位置再求的最值即可. 24．A 【难度】0.15 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——圆、斜率公式的应用 【分析】建立直角坐标系，由求得点轨迹，再将转化为关于的函数，利用直线斜率的几何意义求得的范围，进而求得的最大值，从而的最大值可求. 【详解】依题意，以为坐标原点，以为轴，以为轴建立直角坐标系如图1， 不妨设正三角形的边长为 2，则, 设 , 则， ， ，即，即， 点轨迹为：，则， 所以， 当时, ，即； 当时, 令, 则表示与连线的斜率，如图2， 且， 设直线与圆 相切，直线化为， 则圆心到直线距离, 解得或， ，故， 则当时，取得最大值为， 的最大值为； 综上：的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键有两个，一个是建立直角坐标系，求得点轨迹方程，且将转化为关于的函数，另一个是利用直线斜率的几何意义求得的范围. 25．D 【难度】0.15 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆过定点问题 【分析】根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与轴有两个焦点可得的取值范围；假设圆方程为，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为对称轴为线段的中垂线， 所以圆心在直线上，故①正确； 因为二次函数与轴有两点不同交点， 所以，即，故②错误； 不妨设在的左边，则， 设圆方程为 ，则 ，解得， ， 因为，所以即，故③错误； 由上得圆方程为， 即，恒过点，故④正确. 故选D. 【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解. 26．A 【难度】0.15 【知识点】求点到直线的距离、求平面轨迹方程 【分析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值； ③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断； ④讨论在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】解：①对任意三点、、，若它们共线，设，、，， ，，如右图，结合三角形的相似可得，， 为，，，或，，，则，，，； 若，或，对调，可得，，，； 若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形， ，，，； 则对任意的三点，，，都有，，，；故①正确； 设点是直线上一点，且， 可得，， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，，，．无最值， 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为． 故②正确； ③由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于的点设为，则， 若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确； ④定点、，动点 满足，，， 可得不轴上，在线段间成立， 可得，解得， 由对称性可得也成立，即有两点满足条件； 若在第一象限内，满足，，， 即为，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点． 故④正确； 综上可得，真命题的个数为4个， 故选:. 【点睛】 本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 27．D 【难度】0.15 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系 【详解】由题得直线AB的方程为即y=x-1,设A， 联立 所以，|AB|= 所以AB为直径的圆E的圆心为（3,2），半径为4. 所以该圆E的方程为. 所以点D恒在圆E外，圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E上存在点P,Q，使得DP⊥DQ，显然当DP,DQ与圆E相切时，∠PDQ最大，此时应满足 ∠PDQ，所以，整理得.解之得 ，故选D. 点睛：本题的难点在于分析转化，本题的分析转化，主要是利用了数形结合的思想，通过数形结合把问题转化得简洁明了. 如果不用数形结合，本题解题会很复杂. 28．C 【难度】0.15 【知识点】判断点与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】首先确定与圆的位置关系，令且是内分比点，若为外分比点，由阿氏圆易知在以的中点为圆心的圆上，且最大值为圆的直径，讨论及数形结合判断的最大情况的最小值. 【详解】由题设，即在圆内， 令且，显然是内分比点，若为外分比点，      则，此时的中点为所在阿氏圆的圆心， 对于每一个确定的实数，最大值为，即重合时为对应圆直径， 根据圆的对称性，如上图，讨论的情况，而， 当为直径时，， 此时，可得， 故的最大值为； 当不为直径时，，且增减趋势相同， 由，得，显然接近于1时趋向无穷大， 此时的最大值为趋向无穷大. 综上，的最小值是2. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据题设及阿氏圆知识，设，、分别是内外分比点，讨论情况并求最大情况的最小值，即最小阿氏圆. 29．A 【难度】0.15 【知识点】基本不等式求和的最小值、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设，写出圆的方程，求得直线的方程，利用点到直线的最小值来求得最大时的面积. 【详解】设，则， 设 ，， 圆的方程为①， 圆：的圆心为，半径为， 圆的方程可化为②， 由①②得直线的方程为，即， 是等腰三角形，为顶角，则当到直线的距离最小时，最大， 当到直线的距离为 ， 当且仅当时等号成立. 当当到直线的距离取最小值时，， 所以. 故选：A    【点睛】在利用基本不等式求最值的过程中，要注意一正、二定、三相等.求解圆与圆位置关系有关问题，首先考虑数形结合的数学思想方法，画出图象，然后根据图象、圆的几何性质来对问题进行分析和求解. 30．BCD 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、由圆与圆的位置关系确定圆的方程、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】利用分离参数法求出直线恒过的定点即可判断A；利用两圆心坐标求斜率进而判断B；利用垂直直线的斜率之积为-1判断C；设直线上一点，利用两点坐标求距离公式和勾股定理化简计算即可判断D. 【详解】由题意知， ， 两式相减，得， A：由，得， 则，解得，所以直线恒过定点，故A错误； B：，故B正确； C：因为，故C正确； D：，， 则圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 又，得，即直线与圆相离， ，得，即直线与圆相离， 所以过直线上任一点可作两圆的切线. 在直线上任取一点， 设点P到圆的切线长为，到圆的切线长为， 则 ， ， 所以，即，故D正确. 故选：BCD. 31．ACD 【难度】0.4 【知识点】相交圆的公共弦方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】当切线切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可得两切线交点坐标，求出半径，可判断A选项； 结合切线性质和勾股定理，可知最小时，四边形面积最小，再由点到直线距离公式求出，由面积公式即可判断B选项； 设，由切线性质得，，结合和基本不等式即可判断C选项； 当点坐标为时，在以线段为直径的圆上，根据两圆公共弦求法，即可判断D选项. 【详解】A选项：当切线切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可得两切线交点坐标为，所以蒙日圆半径为2，所以蒙日圆的方程为，所以A正确； B选项：，所以只需要求最小值， 因为，所以只需要求的最小值， 最小值为到直线的距离， 所以最小值为，所以四边形面积最小值为，所以B错误； C选项：设，所以，所以， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 由选项B知，等号可以取到，所以C正确； D选项：当点坐标为时，在以线段为直径的圆上，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为，与圆联立可得直线方程为，所以D正确. 故选：ACD 32．AC 【难度】0.4 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】由题得，设，，，则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选项． 【详解】由已知， 设，，，则，如图， 由图形可得点关于对称时，的值相等，因此的图象是轴对称图形，它关于直线对称，A正确； 显然轴，当时，，即， 又，而不可能共线，即， 所以，B错； 设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则，， ∴， ∴，在轴上点的右侧，， ∴，即 这说明点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减小，C正确； ，， 设，则的解是和， 有一个解，而有两个解，因此有三个解，D错． 故选：AC． 【点睛】本题考查数形结合思想，题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动确定函数的性质，使得较为复杂的函数问题得到解决，解题关键是数与形的结合，如两点间距离公式，直线的斜率公式等等． 33．BC 【难度】0.4 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、求点到直线的距离 【分析】根据题意两圆方程作差即可得到直线的方程，即可判断B，且根据圆心的坐标可得为圆的直径，即可判断AC,然后将转化为点与圆上及圆内斜率的范围，结合图形即可判断D. 【详解】 因为圆：与圆： 两圆作差可得 即直线的方程为，故B正确； 且圆：，即，即圆心, 半径，所以圆心在直线的方程上， 所以在经过，两点的所有圆中，的面积最小，故C正确； 且，又圆：，即，即圆心，半径，即到直线的距离 所以，故A错误； 设，过点的直线与相切于点，过点的直线与相切于点， 显然直线的斜率存在且不为0，设的斜率为 则直线， 所以 求得或（舍） 同理设直线的斜率为 则直线 即 求得或（舍） 所以或，故D错误 故选:BC. 34．ABD 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】利用圆的性质及三角形面积公式计算可判定A；利用切线性质及余弦函数的单调性可判定B；由B项可判定C项；根据圆的弦长公式确定中点轨迹，结合平面向量的线性运算及圆的特征可判定D. 【详解】对A：当，为直径时，（其中为点的纵坐标）， 所以当点为或时，三角形的面积最大， ，所以A正确；    对B：设，交与点， 由圆的切线性质， 则， 所以，越大，越小， 当点在处时，最大， 此时，，，即，B正确；    对C：当点在处，且，为切线时，最大， 此时，即，， 所以不存在符合的点，C错误； 对D：设的中点，则，， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，， 设小圆半径为，则， 则的最大值为，D正确．    【点睛】思路点睛：选项D中根据圆的弦长公式求出点D轨迹为圆，问题转化为圆外一定点到圆上动点距离的最大值. 35．ABC 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、用定义求向量的数量积、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】通过建系，借助于设角将向量的数量积转化为正弦型函数，利用其有界性求得数量积的范围即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系, 则点，设则, 因,故则 ①当点位于轴异侧或者为直径时， . 因故，，从而 ②当点位于轴同侧时， . 因故，，从而 综上，的范围是 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：对于求解向量的数量积的范围问题，一般有以下方法： （1）定义表示法：对于易于求得向量长度和夹角的题型，用定义法求解； （2）基底表示法：对于几何体中易于寻求基底的题型，可考虑将相关向量用基底表示，再计算分析； （3）坐标法：通过建立坐标系，选设未知量，求得相关点坐标，运用向量的数量积的坐标公式计算分析. 36．ACD 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、相交圆的公共弦方程 【分析】判断出直线过定点，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线过点， 圆，即①， 圆心为，半径为， 由于，所以在圆内.， 所以，此时，所以A选项正确. 若圆关于直线对称，则直线过两点，斜率为，所以B选项错误. 设，则，此时三角形是等腰直角三角形， 到直线的距离为，即， 解得或，所以C选项正确. 对于D选项，若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为， 的中点为，， 所以的垂直平分线为，则②， 圆的方程为， 整理得③， 直线是圆和圆的交线， 由①-③并整理得， 将代入上式得，④， 由②④解得， 所以直线即直线的斜率为，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断. 37．ABC 【难度】0.4 【知识点】用坐标表示平面向量、坐标计算向量的模、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系 【分析】由给定条件用坐标表示、，利用向量模的坐标表示列出方程，再借助直线与圆的公共点个数即可判断作答. 【详解】因平面向量，满足，，在平面直角坐标系中，令，设， 由可得：，表示以点为圆心，1为半径的圆， 由得：， 整理得：，表示一条直线l， 依题意，同时满足直线l的方程和圆C的方程，因此直线l与圆C的公共点个数，即是向量的个数， 点C到直线l的距离 ， 显然，当时，，直线l与圆C相交，有两个公共点，向量有2个，C满足； 当时，，直线l与圆C相切，有1个公共点，向量有1个，B满足； 当时，，直线l与圆C相离，没有公共点，不存在向量满足条件，即有0个，A满足. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决. 38．ABD 【难度】0.4 【知识点】判断圆与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、求点到直线的距离 【分析】求出直线的方程，利用圆的圆心到直线的距离判断A的正误； 求线段的中点轨迹判断B的正误； 利用圆的圆心到直线的距离，转化求解三角形的面积的最大值判断C； 判断为直径的圆与已知圆的位置关系，结合直角三角形的定义，判断D的正误. 【详解】对于A：因为，，所以， 所以直线的方程，即， 由，得， 所以圆心，半径为3，    所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，故A正确； 对于B：设线段的中点为，则， 因为点在圆上， 所以，即表示一个圆，    所以线段的中点轨迹是一个圆，故B正确； 对于C：因为圆心到直线的距离为，，    所以的面积最大值为，故C错误； 对于D，①设与直线垂直且过点的直线为， 则，得，即直线为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆有两个交点，    所以以为直角顶点的直角三角形有2个； ②设与直线垂直且过点的直线为， 则，得，即直线为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，无公共点，    所以以为直角顶点的直角三角形不存在； ③以为直径的圆为，设圆心为，则，半径为， 所以， 因为， 所以以为直径的圆与圆相交，    所以以为直角顶点的直角三角形有2个； 综上，在运动过程中，能且只能得到4个不同的，故D正确. 故选：ABD. 39．BCD 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断. 【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为， 可知， 对于选项A： 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A错误；    对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确；    对于选项C：因为， 设到直线：的距离为， 可得， 所以的最小值为，故C正确；    对于选项D：作，垂足为， 因为直线的斜率，则，可得， 则， 可得， 所以的最小值为4，故D正确；    故选：BCD. 40．ACD 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、圆的弧长、面积、圆心角等计算、由圆的位置关系确定参数或范围、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】设点，根据可得点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，可判断A；得可判断B；求出点到直线的距离可判断直线与圆相离，求出点到直线距离的最大值可判断C；由D选项可知圆与圆有公共点，由可判断D. 【详解】由题意，设点，又， 所以， 化简可得， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹围成的区域面积为，A选项正确； 又点满足， 所以，面积的最大值为，B选项错误； 点到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为，C选项正确； 由D选项可知圆与圆有公共点，所以， 且， 即， 所以，D选项正确； 故选：ACD. 41．ACD 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——直线 【分析】设点，则，根据题意求出点的轨迹方程，可求得原点到点的距离的最小值，即可得出合适的选项. 【详解】设点，则， 由题意可得，将这两个等式相加可得， 即，即，故点的轨迹方程为. 因为原点到直线的距离为， 所以，的中点到原点的距离的最小值为， 因此，的中点到原点的距离可能为、、， 故选：ACD. 42．AC 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】因为曲线表示两条直线，然后根据两直线与圆都相交，且两直线的交点不在圆上列不等式组求解即可. 【详解】曲线表示直线和， 解得. 因为曲线与圆恰有4个公共点， 所以直线，均与圆相交， 且两直线的交点不在该圆上， 又圆的圆心为，半径为， 所以，解得． 故选：AC 43．BC 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、直线过定点问题、由一般式方程判断直线的垂直、由一般式方程判断直线的平行 【分析】 选项A，当时和重合；选项B：当时，，，故；选项C，当，平行时，，根据平行线间的距离公式可得；选项D，： 定点坐标为可判断错误. 【详解】选项A：当时，：即，：即， 故和重合，A错误； 选项B：当时，：即，：即， 直线的斜率为，直线的斜率为， 因，故，B正确； 选项C：当，平行时，可得，得或， 当时，由A选项知和重合， 当时，：，：， 故两平行的距离为，故C正确； 选项D：直线：即，故当时，， 故直线的定点坐标为， ：即，故当时，得， 故直线过定点，故D错误； 故选：BC 44．ACD 【难度】0.65 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线两点式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】求出直线与两坐标轴交点坐标即可得A正确；根据截距定义可知直线在轴上的截距为，可知B错误；由直线的两点式方程可得C正确；结合平移规则以及平移后直线与原直线相同可得该直线的斜率为，即D正确. 【详解】易知直线与两坐标轴的交点分别为， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积是，即A正确； 令，可得，所以直线在轴上的截距为，可知B错误； 由直线的两点式方程可知，经过不同两点，的直线都可以用方程表示，即C正确； 设直线方程为，按照平移规则可得平移后的直线方程为， 即与相同，所以可得，解得，即D正确. 故选：ACD 45．ABD 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程 【分析】根据题意，得到两圆的圆心和半径，然后再逐项求解判断. 【详解】圆的圆心为，半径为2，圆即，圆心为，半径为2， 对于A.因为两圆相交，所以圆与圆有两条公切线，故正确； 对于B.直线AB的方程为，圆心与圆心关于直线对称，且半径都为2，所以圆与圆关于直线对称，故正确； 对于C.圆心O到直线AB的距离为，所以线段的长为，故错误； 对于D. 因为，所以的最大值为，故正确； 故选ABD 46．BD 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、切线长、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意可知：当时，四边形面积最小，且最大，利用三角形的面积公式可判断选项；结合题意可知：四边形为正方形，利用正方形的几何性质可判断选项. 【详解】如图所示： 由圆的几何性质可得，， 由切线长定理可得，因为，，所以， 所以，因为，当时，取最小值，且， 所以四边形的面积的最小值为， 因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，错对 因为为锐角，，且， 故当最小时，最大，此时最大，此时，错 由上可知，当最大时，且， 故四边形为正方形，且有，则的方程为， 联立可得即点，由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，对 故选：． 47．ABD 【难度】0.65 【知识点】切线长、圆的对称性的应用、由圆心（或半径）求圆的方程、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据圆心关于x轴对称可判断A；入射光线所在直线过圆关于轴对称的圆的圆心，由两点式可得方程从而判断B；由相切的临界位置得到，数形结合可判断C；切线长，切线长最小值转化为的最小值即可判断D. 【详解】 对于A，圆：的圆心为，半径，如图所示，圆心关于轴对称的点，故圆关于轴对称的圆的方程为，即，故选项A正确； 对于B，若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线过圆关于轴对称的圆的圆心，如图所示，又因为入射光线所在直线过点，故入射光线所在直线方程为，即，故选项B正确； 对于C，若实数、满足圆的方程，则的几何意义为过圆上一点与原点的直线的斜率，即， 如图，当与圆相切时，，∴，∴，由图形的对称性知，， ∴过圆上一点与原点的直线的斜率，故选项C错误； 对于D，设直线上一点，过作圆的切线，与圆切于点，则切线长，当到圆心的距离最小时，切线长最小， 易知到圆心的距离的最小值，即圆心到直线（）的距离， ∴的最小值为， ∴切线长的最小值，故选项D正确. 故选：ABD. 48．CD 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线垂直、求点到直线的距离、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】根据题意先将直线的方程求出来；对于A，由直线斜率与倾斜角的关系即可判断；对于B，在直线方程中令，求出的值即可判断；对于C，判断两直线斜率之积是否为即可；对于D，算出原点到直线的距离即可判断. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 又经过点，所以直线的方程为：， 整理得. 对于A，由于直线的斜率为，所以其倾斜角为，故A选项不正确； 对于B，在直线方程中令，解得， 所以在轴上的截距等于，故B选项不正确； 对于C，将直线方程变形得，所以其斜率为， 又直线的斜率为，所以，所以直线与直线垂直，故C选项正确； 对于D，由于原点到直线的距离为，这表明了原点到直线上的任意一点的距离至少是， 因为， 因此上不存在与原点距离等于0.1的点，故D选项正确. 故选：CD, 49．ABCD 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、圆的对称性的应用 【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出A、B；根据已知可知圆心在直线上，代入即可得出C；根据C的结论得，代入根据二次函数的性质，即可得出D项. 【详解】对于A、B，将圆的方程化为标准方程可得， 所以，圆心为，半径为，故A、B正确； 对于C项，由已知可得，直线经过圆心， 所以，整理可得，故C项正确； 对于D项，由C知，所以， 所以的取值范围是，故D项正确. 故选：ABCD. 50． 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】圆：可化为， ，， ，是圆的两条切线，则，， 、、、四点共圆，且，， ， ， 当最小，即时，取得最小值， 此时方程为， 联立，解得，，即， 以为直径的圆的方程为， 即， 圆：，两圆相交， 两圆方程相减即为的方程. 故答案为：.    【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解. 51．或 【难度】0.4 【知识点】参数方程化为普通方程、圆的参数方程、求点到直线的距离 【分析】先将圆的参数方程化为标准方程，再将直线l的极坐标方程化为普通方程，再求出圆心M到直线l的距离d，d即为的高，再求出底边AB的长，利用三角形面积公式即可解出m的值. 【详解】解：圆的参数方程为 （为参数），化为标准 方程：，可得，半径． 直线的极坐标方程为，化为普通 方程：，即． ∴圆心到直线的距离， ∵的面积为2，∴， 又，∴，解得， ∴，解得或． 故答案为：或. 【点睛】考查圆的极坐标化普通方程，直线的极坐标方程化普通方程，点到直线的距离公式.其中求出圆心到直线的距离d，的AB的边长为解出m值的关键. 52． 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、轨迹问题——圆、求平面两点间的距离 【分析】由题可得的中点的轨迹为以原点圆心，1为半径的圆，由题可得动点在以为直径的圆上，进而可得动点在以原点为圆心，半径为2的圆面上，然后结合图形即得. 【详解】设的中点为，由，可得， 所以点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 又因为，所以动点在以为直径的圆上，即在以为圆心以1为半径的圆上， 所以动点在以原点为圆心，半径为2的圆面上，又， 所以当重合时，， 当的共线，在线段上时，最大，此时， 所以的取值范围为. 故答案为：. 53．/ 【难度】0.4 【知识点】已知直线垂直求参数、求平行线间的距离 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 54．1 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】首先确定两圆的圆心和半径，然后结合两圆内切的条件得到关于m,n的等量关系，最后利用基本不等式即可确定的最小值. 【详解】：，圆心，， ：，圆心，， 圆，内切，∴，∴，∴，即， 当且仅当即时等号成立，因此的最小值为1. 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查圆的方程的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 55． 【难度】0.4 【知识点】求直线交点坐标、直线围成图形的面积问题 【分析】先求得直线（）与x轴的交点为，由可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得；②若点M在点O和点A之间，求得；③若点M在点A的左侧，求得.再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果. 【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为， 由于直线与x轴的交点为， 由直线将分割为面积相等的两部分，可得， 故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N， 则由可得点N的坐标为， ①若点M和点A重合，如图： 则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线， 求得. ②若点M在点O和点A之间，如图： 此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于， 即，即，可得，求得， 故有. ③若点M在点A的左侧， 则，由点M的横坐标，求得. 设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为， 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ， 即，化简可得，由于此时， 所以，两边开方可得，所以， 故有. 综上可得b的取值范围应是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据直线与三角形的交点位置分类讨论，利用三角形的面积求得等式，根据不等式性质求解即可，要注意讨论的完整性. 56． 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】 将理解为直线上的点与原点之间的距离，故其最小值即原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求得． 【详解】 由题意可得. 因表示直线上点与原点之间的距离， 故的最小值即原点到直线的距离，为. 故答案为：5. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解的几何意义：表示点与原点之间的距离，结合图形将求的最小值转化为求原点到直线的距离. 57． 【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——圆、判断正方体的截面形状、弧长的有关计算 【分析】首先根据条件确定P点所处的平面，再建立坐标系求出动点P的轨迹方程，据此求出轨迹的长. 【详解】由可知，正方体表面上到点A距离最远的点为 ， 所以P点只可能在面，面，面上运动， 当P在面上运动时，如图示，建立平面直角坐标系， 则 , 设，由得：， 即，即P点在平面ABCD内的轨迹是以E（4,0）为圆心，以 为半径的一段圆弧， 因为 ,故 , 所以P点在面ABCD内的轨迹的长即为 同理，P点在面内情况亦为； P点在面上时，因为，, 所以， 所以此时P点轨迹为以B为圆心，2为半径的圆弧， 其长为 ， 综上述，P点运动轨迹的周长为 ， 故答案为：. 58． 【难度】0.4 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据三角形面积公式将转化为,根据几何意义，可得与圆相切时，最小，最大，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】 ， 可得与圆相切时，最小，最大， 即当与圆相切时，比值最小， 在中，， 结合两点坐标，可得， ，故答案为. 【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质，三角形面积公式的应用，两角差的正切公式、特殊角的三角函数，意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 59．7 【难度】0.4 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、数量积的运算律 【分析】取的中点 ，则，故只需求长度的最小值，注意的轨迹方程，从而可求的最小值. 【详解】因为，，取的中点，连接， 则， 又，故，所以，， 又，而，所以，当且仅当垂直于直线且三点共线时等号成立，所以 的最小值为，填. 【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有： （1）到定点的距离为定长的动点的轨迹； （2）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆； （3）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧． 60． 【难度】0.4 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由标准方程确定圆心和半径、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先作出函数与的图象，得到函数与，，，仅有3个实数根，则，，与，，的图象有2个不同交点，再通过数形结合得解. 【详解】令=0， 所以在区间上，函数的图像有11个交点， 作出函数与的图象如图， 由图可知，函数与，，，仅有3个实数根； 所以要使关于的方程有8个不同的实数根， 则，，与，，的图象有2个不同交点， 由到直线的距离为1，得，解得， 两点，连线的斜率，所以 ． 故答案为. 【点睛】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题． 61． 【难度】0.4 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、用两点间的距离公式求函数最值 【解析】根据圆，设，分别求得过A点和B点的圆C的切线方程，再根据点P在过A、B的圆C的切线上，得到直线AB的方程，由直线过定点（1，1），得到的关系，然后由，利用二次函数求解. 【详解】由圆，得， 设， 当时，则过A点的圆C的切线方程为： ， 整理得：，① 若，则或， ，切线方程为，满足①方程， ，切线方程为，满足①方程， 过A点的圆C的切线方程为， 同理过B点的圆C的切线方程为， 又点P在过A、B的圆C的切线上， 所以，， 所以直线AB的方程为：， 又直线过定点（1，1）， 所以， 即， 所以， 当时，线段的长取得最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，以及两点间的距离的最值，属于较难题． 62． 【难度】0.4 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式、直线的倾斜角 【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再由是以角为顶角的等腰三角形得到必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得和，再利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得到答案即可. 【详解】由题中条件可得，，且不重合， 所以，，所以四边形为平行四边形， 如图，连接， 由两点间距离公式得，所以平行四边形为菱形， 因为，所以，所以菱形为正方形， 因为为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形， 所以必为边的中点，则，， 所以， 由题意得，所以，因为， 解得，(负根舍去)，直线与轴垂直， 则，所以. 故答案为： 63． 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】依题意可得圆心到直线的距离小于等于，作，垂足为，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意知直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离小于等于，如图， 作，垂足为，在直角中，因为， 所以， 解得，因为点，所以，解得， 故的取值范围是，所以的最大值是. 故答案为： 64． 【难度】0.4 【知识点】圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径、轨迹问题——圆 【分析】根据题意作出图象，结合圆的性质及直角三角形中线的性质，可得，即可求出最大值. 【详解】如图所示，设是线段的中点，则，    因为，于是， 在中，，，， 由勾股定理得，， 整理得， 故的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 故， 又由圆的弦长公式可得 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆的性质，圆的弦，弦心距，半径的关系，考查了数形结合的思想，属于中档题. 65． 【难度】0.4 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题意，由中点坐标公式可得，变形可得，进而可得，结合圆的方程可得，即点的轨迹方程为圆；又由，其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，结合直线与圆的位置关系分析可得的最小值，计算即可得答案． 【详解】根据题意，，、，，且，为弦的中点， 则，则有， 变形可得：， 又由，、，为圆上的两点，则，； 则有， 即点的轨迹方程为圆， 则，其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍， 又由圆的圆心到直线的距离， 则圆上一点到直线的距离的最小值为，即的最小值为， 故，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的分析计算，属于中档题． 66． 【难度】0.4 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】设，为坐标原点，则，由题意两点在圆上，且三角形为等边三角形，，由的几何意义为两点到直线的距离与之和，记线段的中点分别是，到直线的距离为，根据，且即可得答案. 【详解】解：设，为坐标原点，则， 由， 可得两点在圆上，且，则， 所以三角形为等边三角形，， 的几何意义为两点到直线的距离与之和，    记线段的中点分别是，到直线的距离为， 则有，且， 所以， 所以的最大值为， 故答案为：. 67．0 【难度】0.4 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】是和两点间的距离的平方，求的最小值即为求两点所在轨迹上的点之间的距离的最小值的平方。可以看出两点所在轨迹方程都满足点，即两点间距离最小值为0，的最小值为。 【详解】设，，则 在直线上，在曲线， ∴求的最小值，即为求曲线上的点到直线上的点的距离的最小值。 又与都过点 ∴曲线上的点到直线上的点的距离的最小值为0。 即的最小值为。 故答案为0。 【点睛】本题考查了两点间距离公式的变形，和直线到曲线距离的最值问题，遇到两式平方和可以看是否能凑成，通过两点间距离公式转换成表达式的几何意义来求最值。本题属于难题。 68． 【难度】0.4 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】根据题意判断出点M的轨迹，利用点到直线的距离公式求得最小值，进而联立直线和圆的方程求得点B的坐标，即可求得最大值，得到答案. 【详解】因为动点在直线上，动点Q在直线上， 直线与直线狐仙平行， 动点在直线上，动点在直线上， 所以的中点在与平行，且到的距离相等的直线上， 设该直线为，其方程为， 因为线段的中点为，且， 点在圆的内部或在圆上， 设直线角圆于，可得点在线段上运动， 因为表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方， 所以原点到直线的距离的平方为最小， 所以的最小值为，为最大， 联立 ，解得， 当与重合时，的最大值为，即的最大值为， 所以的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程的综合应用，同时解答中涉及到直线的方程，圆的方程和点到直线的距离公式等基础知识的综合运用，着重考查了函数与方程思想，以及转化的数学思想的应用，试题有一定难度，属于中档试题. 69． 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将转化为点到直线的距离，然后根于直线和圆的位置关系求得的取值范围. 【详解】设， 则可以看作点到直线， 与到直线的距离之和的倍． 因为的取值与无关， 所以上述距离之和与点在圆上的位置无关． 如图，当直线m平移时，点P到直线m，l的距离之和均为m与l间的距离， 即此时圆在两直线之间． 当直线m与圆相切时， ，化简得， 解得或（舍去）． 所以，即． 故答案为： 【点睛】本题的突破口在于化归与转化的数学思想方法，将转化为点到直线的距离，将“与无关”转化为“圆在两直线之间”，进过转化之后，就可以利用直线和圆的位置关系等知识求得问题的答案. 70．② 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】对于①，当直线与轴垂直时没有斜率即可判断；对于②，分倾斜角和，对应的斜率为非负数和负数，即可判断；对于③，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，；对于④，中不包含，应利用点斜式得到对应的直线方程 【详解】解：对于①，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故①不正确； 对于②，当倾斜角的范围是时，直线的斜率为非负数，而当倾斜角的范围是时，直线的斜率为负数，故②正确； 对于③，当直线在轴上截距时，直线在轴上截距， 此时直线过点，，直线方程为，即， 当直线在轴上截距时，直线在轴上截距， 设直线方程为，把代入得，解得， 直线方程为，即， 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，，故③不正确； 对于④，直线上不包括点，所求的直线方程为，即，故④不正确． 故答案为：② 71． 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线过定点问题 【分析】根据直线过定点的求法可求得直线恒过定点，由题意知点在圆上或圆内，即可构造不等式求得结果. 【详解】由得：， 由得：，即直线恒过定点， 当点在圆上或圆内时，直线与圆恒有公共点， ，即，又，， 即的取值范围为. 故答案为： 72．40 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、过圆内定点的弦长最值（范围） 【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆心和半径，判断点与圆的位置关系，以及线段、的位置关系，然后解出、，即可求四边形的面积. 【详解】圆的方程为化为， 圆心为，半径为5， 由于点到圆心的距离为3，小于半径，则点在圆内， 则最长弦是直径，最短弦的中点是，且， ， ， 则， 故答案为：40 【点睛】本题主要考查了圆的方程和圆的几何意义，属于中档题. 73． 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意可知，直线过定点，曲线表示半圆，做出图像，利用数形结合的思想可得斜率的最大值，最小值. 【详解】 由题意得直线过定点，画出曲线的图像，如图所示， 结合图像可知，当直线与半圆相切于点时，斜率最大， 根据，可得，此时 当直线与轴重合时，斜率最小，此时 所以实数的取值范围为 故答案为: 74． 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】作出曲线与直线的图象，考虑直线与曲线相切以及直线过点时实数的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可知，整理可得， 所以，曲线表示圆的上半圆， 作出曲线与直线的图象如下图所示： 当直线与圆相切，且切点在第二象限时， 则有，解得， 当直线过点时，，. 由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 75． 【难度】0.65 【知识点】斜率公式的应用、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设，得到直线方程为，根据条件得到直线与圆有公共点，转化为圆心到直线的距离小于等于半径，从而得到关于不等式，即可求解. 【详解】设，则，即直线方程为， 因为为圆上任一点， 则圆心到直线的距离， 即，解得， 所以的最大值为， 故答案为：. 76． 【难度】0.65 【知识点】圆过定点问题 【分析】设出点利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案. 【详解】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 故答案为：. 77． 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】易知直线过定点，再由在动直线上的投影为点M，得到，进而得到的轨迹是以为直径的圆求解. 【详解】解：因为直线过定点，且， 所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为，半径， 所以， 故答案为：. 78． 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】由直线系方程求得直线所过定点，求出圆心到定点的距离，再确定弦长最短和最长时的位置，求得弦长，即可得到的取值范围． 【详解】直线l：即为， 由 ，解得,可得直线l过定点， 当时，直线l：；当，直线的斜率， 圆C：的圆心坐标为，半径， 由于,故在圆C：内， ，则当直线时，最小，， 的最大值即为圆的直径，但此时无法取得， ∴的取值范围是 故答案为： ． 79． 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、求点到直线的距离 【分析】根据题意画出简图，根据图像即可分析出半径的取值范围. 【详解】圆心O到直线的距离为， 如图：与直线距离为2的点的轨迹是与平行且与距离为2的两平行直线（图中虚线）.由题意知直线与圆O有两不同交点，而与圆O没有公共点.因此圆O半径的取值范围是. 故答案为：. 80．/ 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】画出图形，根据图形分析可知当圆心与动点P的距离最小时，切线长最小，由点到直线的距离公式、勾股定理结合已知条件进行运算即可求解. 【详解】如图所示：      过直线上任意一点P作圆的切线，设切点为， 由题意圆的圆心坐标为，半径为， 则切线长， 若要切线长最小， 则只需最小即可， 而的最小值即为点到直线的距离， 因此的最小值为， 从而切线长的最小值为. 故答案为：. 81． 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、切线长 【解析】计算出的三边长，利用等面积法可求得弦的长. 【详解】如下图所示： 由已知、，圆半径为，，， 由两点间的距离公式得，， 易知为的角平分线，且，，为的中点， 所以，. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查求圆的弦长，解答本题的关键是由圆的几何性质以及圆的切线的几何性质得出的大小，然后得出为的角平分线，且，，再利用等面积法求出弦长，属于中档题. 82． 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】由题意知直线恒过定点，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆被直线l截得的弦长为最小值，即可求出答案. 【详解】把直线化为 ，恒过定点，当圆被直线l截得的弦长的最小值时，圆心到定点的距离为，圆心到直线距离最大值时即为，此时直线弦长为最小值. 故答案为：. 83． 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】先求得的坐标，然后判断出，根据基本不等式求得的最大值. 【详解】直线，即， 所以直线过定点. 直线，即， 所以直线过定点. 所以， 由于，所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 84．或 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、轨迹问题——直线 【解析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点，利用点到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程. 【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点， 则点到直线与的距离相等， 由题意可得，所以，. 所以，或， 所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为或. 由于底边与顶角角平分线垂直. 当底边与直线垂直时，且直线的斜率为， 此时底边所在直线方程为，即； 当底边与直线垂直时，且直线的斜率为， 此时底边所在直线方程为，即. 故答案为：或. 【点睛】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 85．/ 【难度】0.65 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据的范围利用抛物线的单调性可得答案. 【详解】由可得， 当表示圆，即解得的取值范围是， 半径为， 是开口向下对称轴为的抛物线，在单调递增， 在单调递减，所以时最大值为. 故答案为：． 86． 【难度】0.65 【知识点】求直线与圆交点的坐标、求直线交点坐标 【分析】联立直线的方程和圆的方程，求得点的坐标.由直线的方程，求得点的坐标.由直线的方程与直线的方程求得点的坐标，由此求得关于的表达式，进而求得的值. 【详解】依题意，因为直线的斜率为，所以直线的方程为，由，解得， 直线的方程为，令，则，即. 直线的方程为，由，解得. 所以直线的斜率为，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查直线和圆的交点坐标的求法，考查直线和直线的交点坐标的求法，考查直线的斜率，考查运算求解能力，属于中档题. 87． 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据给定条件可得是等腰直角三角形，由此求出点C到直线l的距离，再借助点到直线距离公式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径， 而圆C与直线交于，两点，且，则是等腰直角三角形，弦AB长为， 于是得点C到直线l的距离即为斜边AB上的高， 因此，，解得， 所以. 故答案为： 88．4 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合点到直线垂足最短来求出最大值。 【详解】设点坐标为， 显然点坐标符合方程与。 所以设线段中点坐标为， 则点坐标为，因点坐标符合圆的方程， 所以，即为. 故在圆上，除去点 所以到直线的距离 其中为圆心到直线的距离， 为圆的半径. 所以有， 所以到直线的距离的最大值为. 故答案为：4 【点睛】本题考查点到直线的距离和曲线的方程，是一道很好的综合题。 89． 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出圆心距即可判断两圆相离，再由勾股定理得到，即可得到在线段的中垂线上，再根据计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，则，所以两圆相离， 由，而，， 所以可得，所以在线段的中垂线上， 则，当且仅当、、（在之间）三点共线时取等号. 即的最小值为. 故答案为： 90．， 【难度】0.4 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据题意，利用特殊点法得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为可化简为， 所以满足的点也必满足， 取，则，可得或， 所以与满足， 所以，即， 故，整理得，解得或， 当时，，由于，故该情况舍去； 当时，， 经检验，当，时，满足题意； 所以，. 91．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； （2）因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 92．答案见解析 【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】利用完全平方公式与配方法化简运算可得，再检验半径即可得解. 【详解】因为， 所以， 故， 则， 故， 因为，则， 所以， 故， 即， 因为， 所以， 所以化简成圆的标准方程的形式为. 93．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径可求得参数值； （2）由三角形面积求得圆心到直线的距离，然后再由圆心到直线的距离公式求得得直线方程． 【详解】（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线l：与圆C相切，所以， 解得，所以圆C的标准方程为. （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得. 故，解得或. 所以直线m的方程为或. 94．(1) (2)①或；② 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、过圆外一点的圆的切线方程、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】（1）根据圆的几何性质，通过点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，再根据弦长与勾股定理即可计算出圆的半径，继而得到圆的方程. （2）①根据切线切点到圆心距离等于圆的半径，用点斜式表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式即可求出斜率得出直线方程；②根据切线与过切点的半径与其垂直，即可得出该斜率继而得出直线方程. 【详解】（1）如图所示，过圆心O做垂直于AB的垂线交AB于C点， 根据点点到直线距离公式：，， 根据勾股定理：， 得圆的方程： （2）选①： 由（1）可知点在圆外，若切线斜率不存在， ，由图可知为过点P与圆相切的直线的方程； 若斜率存在，根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式， 因为直线与圆相切，则，解得， 直线的方程为：， 综上所述过点与圆相切的直线的方程为或. 选②：由（1）可知点在圆上，的直线方程为， 则过点与圆相切的直线与垂直，斜率为 根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式. 95．（1）或；（2） 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）依题意设出直线方程后表示出截距即可求解； （2）圆与直线相切转化为圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】（1）由题意知，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的斜率为k，则其方程为． 令得，；令得，． ∴，解得或 ∴直线l的方程为或， 即或． （2）圆的方程可化为， 圆心，半径，其中， 因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 96．(1)答案见解析． (2) 【难度】0.65 【知识点】求直线的方向向量、已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由斜率为正或为负求解； （2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论． 【详解】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； （2）由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． 97．(1) (2)，， 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）先求得两点，的中垂线方程，再与联立，求得圆心即可； （2）先由直线且被圆截得的弦长为6，求得圆到直线的距离，再分截距为零和不为零求解. 【详解】（1）解：两点，的中垂线方程为：， 联立，解得圆心， 则， 故圆的方程为：； （2）由直线且被圆截得的弦长为6， 故圆心到直线的距离为， A．若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：， ，此时直线的方程为： A．若直线不过原点，设直线为：， ， 此时直线的方程为：， 综上：直线的方程为：，，. 98．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）利用弦长公式求得半径即可； （2）分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】（1）解：圆C的圆心到直线的距离为： ， 则弦长为，解得， 所以圆的方程为：； （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为：， 则圆心到直线的距离为，复合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：， 综上：该圆的切线方程为：或 99．或 【难度】0.65 【知识点】求到两点距离相等的直线方程 【分析】求出交点坐标，然后分类求解，一是所求直线与直线平行，一是所求直线过线段中点． 【详解】联立，解得，交点为， 分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为. ①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即. 综上所述，所求直线方程为或. 100．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、求直线交点坐标、坐标法的应用——交点坐标 【分析】（1）联立直线和直线，即可求解交点坐标； （2）首先由题意可知，点是线段的中点，利用对称和直线方程，即可求解. 【详解】（1）由，得，， 所以直线与的交点坐标为； （2）由可知，点是线段的中点， 在直线上任取一点， 所以点关于的对称点, 点在直线上， 把点代入 方程， ，解得 所以，， 即直线方程为：，即. 答案第2页，共93页 答案第33页，共94页 学科网（北京）股份有限公司 $$