4.1 数列（6种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

4.1 数列（6种题型基础练+能力提升练） 一．由数列若干项归纳出通项公式（共4小题） 1．（2023秋•新吴区校级月考）写出数列1，，，，，的一个通项公式　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•江阴市校级月考）数列，，，，，的一个通项公式为　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•常熟市校级月考）数列，，的通项公式可以为　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•大丰区期末）数列，4，，20，的一个通项公式可以是　　 A． B． C． D． 二．由数列若干项求下一项或其中的项（共3小题） 5．（2022秋•安化县校级期中）观察数列1，，　　，，，　　，的特点，则括号中应填入的适当的数为　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•新北区校级期中）斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第10项为 　　． 7．（2023秋•江岸区校级月考）根据如图的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数 　　． 三．由通项公式求解或判断数列中的项（共3小题） 8．（2023秋•广东期末）在数列中，若，则下列数不是中的项的是　　 A． B． C．3 D． 9．（2022秋•香坊区校级期末）已知数列的通项公式为，则下列是该数列中的项的是　　 A．18 B．12 C．25 D．30 10．（2022秋•如皋市期末）已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则下列结论正确的是　　 A． B．数列中与之间共有项 C． D． 四．由实际问题归纳出数列的通项（共2小题） 11．（2023秋•菏泽期末）“天眼”探空、神舟飞天、高铁奔驰、北斗组网等，我国创造了一个又一个科技工程奇迹．为了顺应我国科技发展战略，某高科技公司决定启动一项高科技项目，启动资金为2000亿元，为保持每年可获利，每年年底需从利润中取出200亿元作为研发经费．设经过年之后，该项目资金为亿元． （1）写出的值，并求出数列的通项公式． （2）求至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标．（取， 12．（2023秋•保山期末）我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”，在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． （1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：1，3，6，10，15，，写出与，的递推关系，并求出数列的通项公式； （2）设，，证明：． 五．数列的单调性（共4小题） 13．（2023秋•海安市期末）已知是等比数列，则“”是“为递增数列”的　　 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2024秋•常熟市校级月考）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•江阴市校级月考）已知为递增数列，前项和，则实数的取值范围是　　 A．， B． C．， D． 16．（2023秋•启东市校级月考）已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 六．数列的最大项最小项（共3小题） 17．（2023秋•启东市校级月考）已知数列的通项公式，则数列的最大项为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 18．（2023秋•渝中区校级期末）已知等差数列的前项和为，且，，则数列的最大项是　　 A． B． C． D． 19．（2023秋•博望区校级月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是　　 A．， B．， C．， D．， 一．选择题（共7小题） 1．（2024•润州区校级开学）数列，满足：，则数列的最大项是第　　项． A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2020秋•苏州期中）已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 3．（2020秋•苏州期中）对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”．下列叙述正确的有　　 A．若数列单调递增，则数列单调递增 B．若数列是常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列 C．若，则数列没有最小值 D．若，则数列有最大值 4．（2023秋•三水区期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•江汉区校级期末）已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•李沧区校级月考）在数列中，对任意的都有，且，则下列结论正确的是　　 ①对于任意的，都有； ②对于任意，数列不可能为常数列； ③若，则数列为递增数列； ④若，则当时，． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①④ 7．（2023秋•新吴区校级月考）意大利数学家斐波那契年年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 二．多选题（共1小题） 8．（2023秋•清江浦区月考）设是无穷数列，若存在正整数，使待对任意，均有，则称是“间隔递增数列”， 是数列的“间隔数”，下列选项正确的是　　 A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B．已知，则数列是间隔递增数列 C．已知，则数列是间隔递增数列且最小间隔数是2 D．已知，若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 三．填空题（共4小题） 9．（2023秋•如东县期末）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网．如图，是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形的四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的面积为，往里第二个正方形的面积为，往里第个正方形的面积为．则数列的通项公式为 　　．已知满足，则数列的最大项的值为 　　． 10．（2024秋•普陀区校级月考）已知是严格增数列，且点，，均在双曲线上．设，若对任意正整数，都有，则的最大值为 　　． 11．（2024秋•宝山区校级月考）已知，若数列为严格增数列，则实数的取值范围是 　　． 12．（2023秋•闵行区校级月考）已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，若也是公差为的等差数列，则的通项为　　． 四．解答题（共4小题） 13．（2020秋•江苏期中）已知数列满足，且，数列满足，且，． （1）求证：数列是等差数列，并求通项； （2）解关于的不等式：． 14．（2023秋•宁德期末）我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． （1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：1，3，6，10，15，，写出与，的递推关系，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 15．（2023秋•泉州期末）第二十四届北京冬季奥林匹克运动会开幕式上的主火炬如图一，这是历史上第一座由所有参赛国家和地区的名字汇聚成的大雪花．没有天马行空的点火方式，也没有赫赫炎炎的剧烈燃烧，但却清晰地传递了低碳环保理念，一朵雪花照亮了“双奥之城”北京，也将照亮全人类的绿色未来．如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法是从一个正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．已知原正三角形（图二①的边长为3，并将图二中的第个图的面积记为． （1）求，； （2）求数列的通项公式，并探究是否存在超过图二①面积2倍的图形． 16．（2022•浦东新区二模）已知数列．若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”． （1）是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由； （2）已知2022项的数列中，，．求使得为型数列的实数的取值范围； （3）已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列．证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 数列（6种题型基础练+能力提升练） 一．由数列若干项归纳出通项公式（共4小题） 1．（2023秋•新吴区校级月考）写出数列1，，，，，的一个通项公式　　 A． B． C． D． 【分析】分别观察分母，分子的规律，即可求解． 【解答】解：1，，，，，，即，，，，，， 故一个通项公式． 故选：． 【点评】本题主要考查数列的概念及简单表发，属于基础题． 2．（2023秋•江阴市校级月考）数列，，，，，的一个通项公式为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，根据分子，分母的变化规律，求出该数列的通项公式． 【解答】解：分子为偶数，即为，分母为， 则数列，，，，，的一个通项公式为． 故选：． 【点评】本题主要考查数列的通项公式的求法，属于基础题． 3．（2024秋•常熟市校级月考）数列，，的通项公式可以为　　 A． B． C． D． 【分析】结合数列各项的规律检验各选项即可判断． 【解答】解：结合选项可知，当时，，，与已知显然不符合； 故，，的通项公式可以为． 故选：． 【点评】本题主要考查了由数列项的特点求解数列通项公式，属于基础题． 4．（2022秋•大丰区期末）数列，4，，20，的一个通项公式可以是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，数列，4，，20，， 有， ， ， ， 故该数列的一个通项公式可以为：． 故选：． 【点评】本题考查数列的通项公式，涉及数列的表示方法，属于基础题． 二．由数列若干项求下一项或其中的项（共3小题） 5．（2022秋•安化县校级期中）观察数列1，，　　，，，　　，的特点，则括号中应填入的适当的数为　　 A． B． C． D． 【分析】将数列中的每个项进行改写为、、、，由此可得出两个括号内应填入的数． 【解答】解：因为、、、， 所以该数列的第项为， 因此，第一个括号内填入的数为， 第二个括号内填入的数为． 故选：． 【点评】本题主要考查了数列的通项公式，属于基础题． 6．（2022秋•新北区校级期中）斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第10项为 　55　． 【分析】分析数列的特点，从三项起，每一项均为前2项的数字之和，进而求解结论． 【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，21，，则从三项起，每一项均为前2项的数字之和，，， 故则该数列的第10项为55． 故答案为：55． 【点评】本题主要考查数列的应用，属于基础题． 7．（2023秋•江岸区校级月考）根据如图的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数 　35　． 【分析】设该数列为，由题设图形可得，，，的值，观察寻找规律即可求得． 【解答】解：设该数列为， 由题知，，，，， 则，，， 根据规律，，所以． 故答案为：35． 【点评】本题考查由数列的前几项求下一项，属于基础题． 三．由通项公式求解或判断数列中的项（共3小题） 8．（2023秋•广东期末）在数列中，若，则下列数不是中的项的是　　 A． B． C．3 D． 【分析】根据递推公式判断数列周期性进而求解答案． 【解答】解：由题意得，， 所以为周期数列，且周期为4， 则不是中的项． 故选：． 【点评】本题考查数列递推公式的应用，属基础题． 9．（2022秋•香坊区校级期末）已知数列的通项公式为，则下列是该数列中的项的是　　 A．18 B．12 C．25 D．30 【分析】根据题意，由数列的通项公式依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，数列的通项公式为，依次分析选项： 对于，若，无正整数解，不符合题意， 对于，若，解可得或，有正整数解，符合题意， 对于，若，无正整数解，不符合题意， 对于，若，解可得或，有正整数解，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题． 10．（2022秋•如皋市期末）已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则下列结论正确的是　　 A． B．数列中与之间共有项 C． D． 【分析】根据题意得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，推导出，然后根据数列的性质逐项判断能求出结果． 【解答】解：数列的前项和， ， 当时，， 当时，上式成立，， 数列是首项和公比均为2的等比数列， ， 数列为：1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，17，19，21，23，， ，故正确； 数列是由连续奇数组成的数列，，都是偶数， ，之间包含的奇数个数为，故正确； ，则为偶数，但为奇数，，故错误； ，前面相邻的一个奇数为，令，解得， 数列从1到共有，即，故错误． 故选：． 【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 四．由实际问题归纳出数列的通项（共2小题） 11．（2023秋•菏泽期末）“天眼”探空、神舟飞天、高铁奔驰、北斗组网等，我国创造了一个又一个科技工程奇迹．为了顺应我国科技发展战略，某高科技公司决定启动一项高科技项目，启动资金为2000亿元，为保持每年可获利，每年年底需从利润中取出200亿元作为研发经费．设经过年之后，该项目资金为亿元． （1）写出的值，并求出数列的通项公式． （2）求至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标．（取， 【分析】（1）根据题意，容易求得；结合已知条件，求得，之间的递推关系，构造等比数列，即可求得； （2）令，结合对数运算以及参考数据，即可求得结果． 【解答】解：（1）由题意知， 而且． 可知， 又因为，所以可知，从而可知为等比数列． 因此， 所以． （2）令，可得，因此， 所以，因此． 即至少要经过5年，项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标． 【点评】本题考查数列的应用，数列递推关系式的应用，是中档题． 12．（2023秋•保山期末）我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”，在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． （1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：1，3，6，10，15，，写出与，的递推关系，并求出数列的通项公式； （2）设，，证明：． 【分析】（1）首先找出递推关系，利用递推关系即可计算出数列的通项公式． 【解答】解：（1）由“杨辉三角”的定义可知：， 时，， 所以有， 故． （2）证明：， 设， 所以，① 所以，② ①②得，， 所以， 即． 【点评】本题考查了数列的递推式以及错位相减法求和的问题，属于中档题． 五．数列的单调性（共4小题） 13．（2023秋•海安市期末）已知是等比数列，则“”是“为递增数列”的　　 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】结合等比数列的单调性检验充分及必要性即可． 【解答】解：是等比数列，则时，，则为递增数列，充分性成立， 当为递增数列时，，但，，不满足，必要性不成立． 故选：． 【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了等比数列单调性的判断，属于基础题． 14．（2024秋•常熟市校级月考）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据数列递增得到，利用不等式的性质即可得到结论． 【解答】解：若递增，则， 即， 则， ， ， 则， 故选：． 【点评】本题主要考查数列递增的应用，根据条件建立不等式是解决本题的关键． 15．（2023秋•江阴市校级月考）已知为递增数列，前项和，则实数的取值范围是　　 A．， B． C．， D． 【分析】由题意先算，再利用，求出时的通项公式，再利用数列的单调性，即可解决问题． 【解答】解：为递增数列，前项和， 当时，， 当时，， 由为递增数列，只需满足，即，解得， 则实数的取值范围是， 故选：． 【点评】本题考查数列的函数特性、数列的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 16．（2023秋•启东市校级月考）已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据数列单调性的性质建立不等式关系，然后解不等式组即可求出实数的取值范围． 【解答】解：若是递增数列， 则，即，解得， 即实数的取值范围是． 故选：． 【点评】本题主要考查数列单调的性质的应用，根据数列单调性建立不等式关系是解决本题的关键，属于中档题． 六．数列的最大项最小项（共3小题） 17．（2023秋•启东市校级月考）已知数列的通项公式，则数列的最大项为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】根据题意，由数列的通项公式可得，讨论的取值范围，分析与1的大小关系，即可得答案． 【解答】解：根据题意，数列的通项公式， 则， 当时，，数列递增， 当时，，即， 当时，，数列递减， 故数列的最大项为或， 故选：． 【点评】本题考查数列的函数特性，注意分析数列的单调性，属于基础题． 18．（2023秋•渝中区校级期末）已知等差数列的前项和为，且，，则数列的最大项是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解． 【解答】解：， 则，所以， ， 则， 所以， ，，， 数列是递减数列，前项5为正，从第6项起均为负数， 所以数列的最大项是． 故选：． 【点评】本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题． 19．（2023秋•博望区校级月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据题意，将数列的通项公式变形，由此分析数列的单调性，即可得答案． 【解答】解：根据题意，数列满足，， 则， 当，时，，，且随着的变大，变大， 当，时，，，且随着的变大，变大， 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，． 故选：． 【点评】本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题． 一．选择题（共7小题） 1．（2024•润州区校级开学）数列，满足：，则数列的最大项是第　　项． A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据累加法求出，．设数列的最大项是第项，则得出不等式组，求解即可得出答案． 【解答】解：由已知可得，，，，，， 两边分别相加可得，， 所以有 因为，所以． 设数列的最大项是第项，则， 解得，又，所以． 故选：． 【点评】本题考查了累加法求数列的通项公式，数列的最大项的求法，属于中档题． 2．（2020秋•苏州期中）已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 【分析】根据函数为递减数列可得，分类讨论，根据数列的函数特征即可求出． 【解答】解：数列是单调递减数列， 则， 当为偶数时，，即， 由于为递增数列，则数列的最小值20， ， 即， 当为奇数时，，即， 由于为递减数列，则数列的最大值， ， ， 综上所述实数的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查了数列的函数特征，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 3．（2020秋•苏州期中）对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”．下列叙述正确的有　　 A．若数列单调递增，则数列单调递增 B．若数列是常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列 C．若，则数列没有最小值 D．若，则数列有最大值 【分析】对于，根据函数在和上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，即可判断； 对于，根据周期的定义可判断， 对于，若，分了为奇数和偶数，利用数列的单调性即可判断． 【解答】解：对于：函数在和上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增， 可知数列单调递增，则数列不是单调递增，例如：，则，，故错误； 对于：当数列为，，2，2，，2，2，2，，时，数列既不是常数列，也非周期数列，故选项错误， 对于，若，则， ①当为偶数时，且单调递增， ， ，且数列单调递增，此时， ②当为奇数时，且单调递减， ， ，且数列单调递减，此时， 综上所述，数列既有最大值，也有最小值，故错误，正确． 故选：． 【点评】本题考查了新定义数列的问题，解决问题的关键是明确新定义的相关命题实际考查了数列的单调性和周期性的问题，尤其是对于数列中的项的最值问题，需要通过数列的单调性来确定，属于中档题． 4．（2023秋•三水区期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】对，等式两边同时除以可得：，即，再结合可得，进而可得，所以对恒成立，分为偶数和奇数两种情况讨论，结合数列的单调性求出的取值范围即可． 【解答】解：，等式两边同时除以可得：， 所以， ，， 数列为常数列，每项都为0， ，， ， 数列为递增数列， 对，恒成立， 对恒成立， 当为偶数时，有恒成立，即， 当为奇数时，有恒成立，即， 综上所述，实数的取值范围为，． 故选：． 【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了数列的函数特征，属于中档题． 5．（2023秋•江汉区校级期末）已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由数列的通项与前项和的关系，以及等比数列的定义和通项公式，推得，再由递增数列的定义，结合参数分离和恒成立思想，可得所求取值范围． 【解答】解：当时，由，得，两式相减得， 所以， 当时，，解得， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 因为数列是递增数列， 所以对于任意的恒成立，即， 即恒成立， 因为时，取得最小值3， 故，即的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查数列的通项与前项和的关系，以及等比数列的定义和通项公式、数列的单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 6．（2023秋•李沧区校级月考）在数列中，对任意的都有，且，则下列结论正确的是　　 ①对于任意的，都有； ②对于任意，数列不可能为常数列； ③若，则数列为递增数列； ④若，则当时，． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①④ 【分析】对数列递推关系变形得到，得到与同号，当时，，①错误；当时，推导出此时为常数列，②错误；作差法结合时，，求出数列为递增数列，③正确；由与同号，得到当，有，结合作差法得到为递减数列，④正确． 【解答】解：因为， 所以， 因为任意的都有， 所以， 所以与同号， 当，则时，都有，①错误； 当时，， 所以，同理得：， 此时为常数列，②错误； ， 由选项知：若，则， 所以， 则数列为递增数列，③正确； 由与同号，当，则时，都有， 且此时， 所以数列为递减数列， 综上：若，则当，时，，④正确． 故选：． 【点评】本题考查数列递推关系的运用，考查推理能力及运算求解能力，属于中档题． 7．（2023秋•新吴区校级月考）意大利数学家斐波那契年年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】将不等式化为，即，再根据斐波那契数列为递增数列，进而可得答案． 【解答】解：由得， 即，即， ， ， 令，则数列即为斐波那契数列， ，则， 函数是增函数， 故数列为递增数列且， 数列为递增数列， 由，得，，， ，，， ，， 使得成立的的最小值为8． 故选：． 【点评】本题考查数列的综合应用，考查学生的数学运算能力，属中档题． 二．多选题（共1小题） 8．（2023秋•清江浦区月考）设是无穷数列，若存在正整数，使待对任意，均有，则称是“间隔递增数列”， 是数列的“间隔数”，下列选项正确的是　　 A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B．已知，则数列是间隔递增数列 C．已知，则数列是间隔递增数列且最小间隔数是2 D．已知，若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 【分析】根据间隔递增数列的定义，通过计算，根据其正负取值情况来判断各个选项． 【解答】解：对于：设等比数列的公比为， 则， 因为，所以当时，，故错误； 对于， 对于函数，明显其在上单调递增， 则（1）， 当，即时，，正确； 对于， 当为奇数时，，存在，使成立， 当为偶数时，，存在，使成立， 综上，数列是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； 对于：若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3， 则对恒成立， 即， 解得，又该不等式的解为， 所以，解得，可以得到，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查数列的应用，数列的函数特性，考查运算求解能力，属于中档题． 三．填空题（共4小题） 9．（2023秋•如东县期末）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网．如图，是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形的四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的面积为，往里第二个正方形的面积为，往里第个正方形的面积为．则数列的通项公式为 　　．已知满足，则数列的最大项的值为 　　． 【分析】设第个正方形的边长为，则，根据题意可得可得，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，再结合等比数列的通项公式求解即可． 【解答】解：设第个正方形的边长为，则，每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上， ，，，，即， 同理可得，即数列是首项为1，公比为的等比数列， 第个正方形的面积为； 满足， ， 又， ， ， ， 数列的最大项的值为． 故答案为：；． 【点评】点本题主要考查了等比数列的实际应用，考查了等比数列的通项公式，属于中档题． 10．（2024秋•普陀区校级月考）已知是严格增数列，且点，，均在双曲线上．设，若对任意正整数，都有，则的最大值为 　　． 【分析】先明确点在双曲线的第一象限，再分析的变化趋势，求出的极限值即可． 【解答】解：因为点，，均在双曲线上， 所以，又因为是严格增数列， 所以恒成立． 所以点，一定在第一象限． 且，，． 根据双曲线渐近线的性质，数列的增长速度越来越慢， 即的值越来越小， 所以随着的增大，越来越小． 又， 因为 ． 所以． 因为恒成立，所以， 所以的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查数列单调性，属于中档题． 11．（2024秋•宝山区校级月考）已知，若数列为严格增数列，则实数的取值范围是 　，，，　． 【分析】对的值分段讨论，根据严格增数列的概念，求的取值范围． 【解答】解：若，则，所以，由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，为常数数列； 若，则，所以，由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，此时， 所以数列一定不是严格增数列； 若，则，，所以， 由，该式在时恒成立； 由． 当时，，又，所以， 此时：， 因为，，所以． 即在时成立． 综上可知，的取值范围为：，，，． 故答案为：，，，． 【点评】本题考查数列的单调性，涉及数列的通项公式，属于基础题． 12．（2023秋•闵行区校级月考）已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，若也是公差为的等差数列，则的通项为　或．　． 【分析】等差数列的公差为，前项的和为，若数列也是公差为的等差数列，可得，当时可化为，再根据对应系数相等解方程组即可． 【解答】解：依题意，等差数列的公差为，前项的和为，若数列也是公差为的等差数列， 可得， 当时可化为， 即，解得或者， 所以，或者． 故答案为：或． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前项和公式，属于难题．解题时要注意前项和公式的灵活选取与应用． 四．解答题（共4小题） 13．（2020秋•江苏期中）已知数列满足，且，数列满足，且，． （1）求证：数列是等差数列，并求通项； （2）解关于的不等式：． 【分析】（1）由题意可得即，可得 数列是等差数列，根据首项和公差，求得它的通项公式． （2）由题意求得，关于的不等式即．检验可得，当时，不等式不成立，当，3，4时，不等式成立．令，根据当时，是一个递减数列，可得，当时，不等式不会成立，从而得出结论． 【解答】（1）证明：由数列满足，且，，且， 即，数列是等差数列． 首项为，公差为，，． （2）由数列满足，且，，， ． 关于的不等式：，即，即． 检验可得，当时，不等式不成立，当，3，4时，不等式成立． 当时，，不满足不等式． 当时，令，， 故数列是一个减数列， 故当时，不等式不会成立， 综上所述，，3，． 【点评】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式，递推数列的性质，属于中档题． 14．（2023秋•宁德期末）我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． （1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：1，3，6，10，15，，写出与，的递推关系，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【分析】（1）根据题意可得，，再利用累加法及等差数列的求和公式，即可求解； （2）根据裂项求和法，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可得，， ，，，，， 累加可得：， ； （2）由（1）可得， ． 【点评】本题考查数列的递推公式的求解，数列通项公式的求解，裂项求和法的应用，属中档题． 15．（2023秋•泉州期末）第二十四届北京冬季奥林匹克运动会开幕式上的主火炬如图一，这是历史上第一座由所有参赛国家和地区的名字汇聚成的大雪花．没有天马行空的点火方式，也没有赫赫炎炎的剧烈燃烧，但却清晰地传递了低碳环保理念，一朵雪花照亮了“双奥之城”北京，也将照亮全人类的绿色未来．如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法是从一个正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．已知原正三角形（图二①的边长为3，并将图二中的第个图的面积记为． （1）求，； （2）求数列的通项公式，并探究是否存在超过图二①面积2倍的图形． 【分析】（1）由已知关系结合正三角形性质即可直接求解，； （2）先寻求每个图形的边数关系及面积的递推关系，然后结合迭代法可求． 【解答】解：（1）由题意得，， ； （2）设图二中①②③的图形依次，，， 它的边数是以3为首项，以4为公比的等比数列， 则图形的边数为， 从起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数是以3为首项，4为公比的等比数列， 则比前一个图形多出的个数为， 从起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积是以为首项，以为公比的等比数列， 则比前一个图形多出的每一个图形的面积为， 所以， 故时， ， 当时，经检验也符合上式， 故， 若存在符合题意的图形，则， 则， 整理得，，显然不存在， 即不存在超过图二①面积2倍的图形． 【点评】本题主要考查了数列的递推关系，数列的求和在实际问题中的应用，还考查了数学运算求解，推理论证的能力，考查转化化归的思想，属于中档题． 16．（2022•浦东新区二模）已知数列．若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”． （1）是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由； （2）已知2022项的数列中，，．求使得为型数列的实数的取值范围； （3）已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列．证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列． 【分析】（1）取的数即可； （2）分，与，讨论即可； （3）用反证法证明即可． 【解答】解：（1）是． 如：取，则为递减数列．时均可）． （2）当，时， ， 解得． 同理，当，时，解得． 而此时确为型数列，故为所求． （3）首先证明：对任意，①存在，使得；②存在，使得． 用反证法证明①，②可同理得到． 若存在，使得当时，均有，则由型数列定义，， 设．由题意，． 当时，． 而当时，， 故． 因此，也是型数列，与的唯一性矛盾．证毕． 根据①、②可知，存在，使得，存在，使得． 由此，若，则存在，使得， 又存在，使得． 由①的证明知，如此递归选择的使得递增且递减，即为所求． 【点评】本题考查了数列的新定义问题，考查推理能力，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$