4.3 等比数列（10种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

4.3 等比数列（10种题型基础练+能力提升练） 一．等比数列的概念与判定（共1小题） 1．（2023秋•射阳县校级期中）若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是　　 A． B．（其中且 C． D． 【分析】直接利用等比数列的性质求出结果． 【解答】解：由于为等比数列，所以， 所以：对于（常数），故正确； 对于（常数），故正确； 对于（常数），故正确； 对于满足（常数），故为等差数列，故错误． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 二．等比数列的通项公式（共9小题） 2．（2023秋•灌南县校级月考）已知等比数列中，，则　　 A．8 B．14 C．128 D．256 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【解答】解：等比数列中，， 则． 故选：． 【点评】本题考查等比数列的性质，属基础题． 3．（2023秋•江苏月考）正项等比数列中，，，则　　 A． B．3 C．6 D．9 【分析】根据题意和等比数列的性质计算即可． 【解答】解：设等比数列的公比为， 因为数列为正项等比数列，所以，由题， 则，所以， 所以． 故选：． 【点评】本题考查等比数列的性质，属于基础题． 4．（2023秋•工业园区校级月考）在等比数列中，，，则等于　　 A．64 B． C． D．8 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【解答】解：等比数列中，，， 则， 由，可得． 故选：． 【点评】本题主要考查了等比数列性质的应用，属于基础题． 5．（2023秋•宝应县期中）在我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少尺？试问：该女子第一天织布的尺数是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意得，每天织布构成以2为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式即可求解． 【解答】解：由题意得，每天织布构成以2为公比的等比数列， ， 故． 故选：． 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，属于基础题． 6．（2023秋•启东市校级期中）已知等比数列满足，，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，求出公比，再结合，即可求解． 【解答】解：设等比数列的公比为， ， ，解得， ． 故选：． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题． 7．（2023秋•沛县月考）在等比数列中，若，，则　32　． 【分析】利用等比数列通项公式得，则得到，则． 【解答】解：设公比为，即，即， 得，所以． 故答案为：32． 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题． 8．（2023秋•高邮市月考）已知为等比数列，公比，，且，，成等差数列，则通项公式　　． 【分析】由，，成等差数列，得，然后利用等比数列通项公式，代入求出公比即可． 【解答】解：由，，成等差数列，且， 得，解得或， 又，所以，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的基本量运算，属于基础题． 9．（2023秋•连云区校级期中）等比数列中，，，则　108　． 【分析】根据等比数列的性质可得，求得，继而根据求得答案． 【解答】解：由题意等比数列中，，， 设等比数列的公比为，则， 故． 故答案为：108． 【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．（2023秋•启东市校级月考）设为实数，若三个数3，，12成等比数列，则的值为 　　． 【分析】根据等比数列的性质求解． 【解答】解：三个数3，，12成等比数列， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题． 三．由等比数列中若干项求通项公式或其中的项（共1小题） 11．（2024秋•镇江月考）等比数列中，，公比，若，则　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由等比数列通项公式直接求解即可． 【解答】解：数列为等比数列，，公比，若， ，解得：． 故选：． 【点评】本题考查等比数列的性质，属于基础题． 四．等比数列的前n项和（共8小题） 12．（2023秋•吴江区校级月考）一个等比数列的前项和为45，前项和为60，则前项和为　　 A．85 B．108 C．73 D．65 【分析】由等比数列的性质得，，成等比数列，由此能求出结果． 【解答】解：由等比数列的性质得： ，，成等比数列， 等比数列的前项和为45，前项和为60， ，，成等比数列， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查等比数列的前3项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 13．（2023秋•海安市校级期中）已知等比数列的前项和为，若，，则　　 A．40 B．30 C．13 D．50 【分析】根据已知条件，结合等比数列的前项和公式，即可求解． 【解答】解：，， ，即，解得， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查等比数列的前项和公式，属于基础题． 14．（2023秋•高新区校级月考）记为等比数列的前项和，若，则　　 A． B． C．32 D．或32 【分析】根据题意，设等比数列的公比为，利用等比数列定义可得，再由可求得，即可得答案． 【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为， 由题意知，则由得，则，所以，即； 因为，所以， 所以． 故选：． 【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题． 15．（2023秋•常熟市校级月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了　　 A．96里 B．48里 C．192里 D．24里 【分析】由已知求得等比数列的首项，则第二项可求，答案可求． 【解答】解：由题意可知，6天走的路程构成以为公比的等比数列， 设首项为，由题意，，解得， ，即第二天走了96里． 故选：． 【点评】本题考查等比数列的通项公式与前项和，是基础题． 16．（2023秋•苏州期中）已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若，，则　　 A． B．当且仅当时，取得最小值 C．， D．的正整数的最大值为11 【分析】根据题意，分析数列的通项公式可得正确，结合通项公式分析可得当或6时，取得最小值，可得错误，由等比数列的性质分析可得正确，举出反例可得错误，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，若，则，又由，则，则，正确； 对于，由的结论，当时，，，当时，，故当或6时，取得最小值，错误； 对于，由的结论，，则有， 当时，，则有，即， 同理：当时，也有， 故，成立，正确； 对于，若，即，即， 当时，，，此时，错误． 故选：． 【点评】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等比数列的性质，属于基础题． 17．（2023秋•兴化市期末）已知等比数列满足，，设其公比为，前项和为，则　　 A． B． C． D． 【分析】由已知条件可求出，，进而可得通项公式和前项和，进而可判断，，，再由作差法判断． 【解答】解：对于，由，得，所以，正确； 对于，又因为，所以，故，所以，正确； 对于，，所以，错误； 对于，因为，因为且，所以，即，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查等比数列的前项和，属于基础题． 18．（2023秋•常熟市校级月考）设等比数列的前项和为，公比为，若，，则　1或　． 【分析】由已知利用等比数列的通项公式列出方程组即可求解． 【解答】解：由已知可得：， 解得，或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了方程思想，属于基础题． 19．（2023•张家港市校级开学）已知数列为等比数列，其前项和为，前三项和为13，前三项积为27，则　121或　． 【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，求出首项与公比，再结合等比数列的前项和公式，即可求解． 【解答】解：前三项积为27， ，解得， 前三项和为13， ，解得或， 或． 故答案为：121或． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列的前项和公式，属于基础题． 五．求等比数列的前n项和（共1小题） 20．（2024秋•靖江市校级月考）设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，，则“存在最小值”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】通过举反例说明，可知充分性不成立；然后在的情况下，借助等比数列的性质证出必要性成立，从而得出正确答案． 【解答】解：当，时，， 此时有最小值，因此充分性不成立； 若，由，则， 可知必有最小值，故“存在最小值”是“”的必要条件． 综上所述，“”是“存在最小值”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质与前项和公式、充分必要条件的判断等知识，属于中档题． 六．等比数列前n项和的性质（共1小题） 21．（2023秋•建邺区校级月考）设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是　　 A． B． C．当时，取最大值 D．使成立的最大自然数是4046 【分析】选项，根据题目条件得到，，判断； 选项，利用等比数列性质得到，判断； 选项，根据等比数列的性质得到，，，进而判断． 【解答】解：选项，，，故，或，， 当，时，由可知，， 所以，但，互相矛盾，舍去， 当，时，又，所以，， 故满足要求，故正确； 选项，，故错误； 选项，因为，，， 故当时，取最大值，故正确； 选项，由于，故当时， ， ， ， 使成立的最大自然数是4046，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于中档题． 七．数列的应用（共2小题） 22．（2023秋•秦淮区校级月考）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，依次分析孩子在1周岁时、2周岁时、周岁时存入的元产生的本利合计，进而可得取回的钱的总数，由等比数列的前项和公式分析可得答案． 【解答】解：根据题意， 当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为， 同理：孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为， 孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为， 孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为， 可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数； 故选：． 【点评】本题考查数列的应用，涉及等比数列的前项和公式的应用，属于基础题． 23．（2023秋•秦淮区校级月考）设数列的前项和为，且，，．请写出一个满足条件的数列的通项公式　（答案不唯一）　． 【分析】判断数列的特征，从等差数列或等比数列入手考虑解答． 【解答】解：设数列的前项和为，且，，说明数列是递增数列；． 说明数列的第6项可以为0，第7项为正数； 如果数列是等差数列，不妨公差为1，，所以， 也可以公差是正数的其它数值． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查等差数列的性质，数列的应用，是基本知识的考查． 八．数列的求和（共1小题） 24．（2023秋•吴江区校级月考）若等差数列的首项，，记，则　　． 【分析】根据题意，求出该数列的通项公式，分析可得当时，，当时，，结合等差数列的前项和公式分两种情况讨论的表达式，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，等差数列的首项，， 则， 当时，，当时，， 故当时，； 当时，． 综合可得：． 故答案为：． 【点评】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的通项公式，属于中档题． 九．数列递推式（共7小题） 25．（2023秋•江阴市校级月考）已知数列满足，，则的通项公式为　　 A． B． C． D． 【分析】利用数列的递推关系式，结合数列求和转化求解数列的通项公式即可． 【解答】解：由得， ， ，当时也符合， 数列的通项公式为． 故选：． 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．也可以利用回代验证判断选项求解． 26．（2023秋•启东市校级月考）已知数列满足：对于，，都有，且，那么　　 A． B． C． D． 【分析】数列对任意的，满足，且，可得，，，．即可． 【解答】解：数列满足：对于，，都有，且， ， ． 那么． ． 故选：． 【点评】本题考查了数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题． 27．（2023秋•江阴市校级月考）若数列满足，且，则　　 A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】由题设得是等差数列，再由等差数列的通项公式求． 【解答】解：，， ． 故选：． 【点评】本题考查了等差数列的定义和通项公式，属于基础题． 28．（2023秋•江苏月考）已知数列的前项和为，则　　 A．若为递减等比数列，则的公比 B．“为等差数列”是“为等差数列”的充要条件 C．若为等比数列，则可能为等比数列 D．若对于任意的，，数列满足，且各项均不为0，则为等比数列 【分析】根据题意，举出反例，取特殊数列可判断，利用等差数列的定义及等差数列的求和公式判断，令，，根据等比数列定义判断，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，取，则为递减等比数列，公比，故错误； 对于，若为等差数列，则，所以， 故（常数），故为等差数列， 若为等差数列，则，即， 所以，两式相减得， 所以，故（常数），所以为等差数列， 所以“为等差数列”是“为等差数列”的充要条件，故正确； 对于，若，满足为等比数列，此时，当时，， 所以，不是等比数列，故错误； 对于，任意的，，满足，不妨取，，则 ，因为各项均不为0，所以（不为0的常数）， 故为等比数列，故正确． 故选：． 【点评】本题考查数列的性质，涉及等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题． 29．（2023秋•秦淮区校级月考）已知等比数列的前项和，则　　 A．首项不确定 B．公比 C． D． 【分析】根据题意，由数列的前项和公式求出数列的前3项，结合等比数列的性质求出的值，分析的值，分析选项即可得答案． 【解答】解：根据题意，等比数列的前项和， 则，则， 则，则， 则，则， 故错误，正确； 故选：． 【点评】本题考查等比数列的性质，涉及数列的前项和与通项的关系，属于基础题． 30．（2023秋•盐城期中）在数列中，，，则　200　． 【分析】先由等差数列的定义求得数列是等差数列，进而求得的通项公式，即可求解． 【解答】解：由，得，而， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则有，所以，则． 故答案为：200． 【点评】本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于基础题． 31．（2023秋•润州区校级期中）在数列中，，且，则　4　． 【分析】利用递推公式求出数列的前4项，由此猜想．再用数学归纳法证明，由此能求出． 【解答】解：在数列中，，且， ， ， ， 由此猜想． 下面用数学归纳法证明： ①，成立， ②假设成立， 则成立， 由①②得， 则． 故答案为：4． 【点评】本题考查数列的递推公式、递推思想、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 一十．等差数列与等比数列的综合（共4小题） 32．（2023秋•宿豫区校级期中）若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为　　 A．2 B． C．4 D． 【分析】根据等差数列中，，求出等差数列的公差，进而可求出，也即的值，又，根据等比数列通项公式可得公比． 【解答】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，， 所以，即，解得， 所以， 即， 又因为， 所以， 故选：． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合计算，属于基础题． 33．（2023秋•工业园区校级月考）已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则等于　　 A． B． C． D．或 【分析】由题意和等差数列等比数列的通项公式可得，和，代入要求的式子计算可得． 【解答】解：，，，成等差数列， ，解得，， ，，，，成等比数列， ， ，或， 由等比数列的隔项同号可得， 故选：． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题． 34．（2023秋•沛县月考）设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则　　 A．7 B．12 C．15 D．31 【分析】设出公比，根据，，成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式求出答案． 【解答】解：设公比为， ，，成等差数列，， 则，解得：或0（舍去）， ，，故． 故选：． 【点评】本题主要考查等差与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题． 35．（2023秋•新吴区校级月考）已知数列，，，4成等差数列且，，成等比数列，则的值是 　　． 【分析】根据等差数列下标和性质求出，利用等比中项的性质求出即可． 【解答】解：因为数列，，，4成等差数列，所以， 又，，成等比数列，所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列性质的应用，属于基础题． 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•镇江月考）设数列的前面和为，若，且，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解． 【解答】解：数列中，， 又，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式可得，即，，即有也成立）， 则，，错误，正确． 故选：． 【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 2．（2023秋•江苏期中）在数列中，，．是该数列的前项和，则　　 A． B． C． D． 【分析】由递推公式及等差数列的定义可知数列是首项为2，公差为2的等差数列，写出，的表达式即可求得结果． 【解答】解：根据题意由，可得， 由等差数列定义可得数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以可得， ， 可得． 故选：． 【点评】本题考查了等差数列的定义和通项公式及前项的和，属于中档题． 3．（2023秋•清江浦区月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为．则的前2048项的和为　　 A． B． C． D． 【分析】根据高斯函数和对数函数的性质得；当时，；；当且时，，当时，，然后利用错位相减法求和即可求得． 【解答】解：；当且时，；当且时，； 当且时，；当且时，， 当且时，；当且时，， 当且时，；当且时，， 当且时，；当且时，， 当时，，记的前2048项的和为， 则， 又， 相减得， 所以． 故选：． 【点评】本题考查新定义和错位相减法求和、对数的运算，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 4．（2023秋•京口区校级期中）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为　　 A． B． C．1 D． 【分析】先得出递推公式，叠加法求通项公式，再用基本不等式求最小值即可． 【解答】解：数列前六项分别为1，3，6，10，15，21， 依题知，，，，， 叠加可得：， 整理得， 当时，，满足， 所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 又，所以等号取不了，所以最小值在取得， 当时，， 所以最小值为1． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的性质，数列的递推关系，考查用函数方法研究数列性质，属中档题． 5．（2023秋•常熟市期中）已知，，，为其前项和，则　　 A． B． C． D． 【分析】利用递推关系构造得是一个以3为首项，2为公比的等比数列，再赋值，结合等比数列的前项和公式求答案． 【解答】解：由可得：， 已知，，所以， 则是一个以3为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， ，，，，， ， 故选：． 【点评】本题考查了数列的构造，等比数列的定义，通项公式和前项和公式，属于中档题． 6．（2023秋•兴化市期末）已知数列满足，，．设，若对于，都有恒成立，则的最大值为　　 A．3 B．4 C．7 D．9 【分析】利用数列的递推公式可得数列是以为首相以为公比的等比数列，即可求出列数列的通项公式，再根据函数的性质求出的范围，即可求出的范围． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 数列是以为首相以为公比的等比数列， ， ， ， ， ， ， 对于，都有恒成立， 的最大值为3， 故选：． 【点评】本题考查了数列的递推关系式和通项公式的求法和函数的值域，属于中档题 7．（2023秋•东海县期中）已知数列满足，，记，则有　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，代入递推公式可求出，；再利用和递推公式可判断，． 【解答】解：由已知可得： 对，，故错误； 对，，故错误； 对，，故错误； 对，由得公差为4，由得，通项公式为，故正确． 故选：． 【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 8．（2023秋•江苏月考）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果． 【解答】解：数列满足，① 当时，，② ①②得：， 故：， 数列满足：， 则：， ， 由于恒成立， 故：， 整理得：， 当时，． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 二．多选题（共3小题） 9．（2024秋•靖江市校级月考）若数列满足：，对，有成立，则　　 A． B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【分析】令，可得为等差数列，可判断；放缩得，然后利用裂项相消法求和可判断；构造函数，，利用导数证明，累加可判断；构造函数，利用导数证明，累加可判断． 【解答】解：令，，有成立， 可得，即，所以是以1为首项和公差的等差数列， 所以，所以，故，正确； 由，，， 所以， 所以，即，错误； 记，，则， 所以在上单调递增， 又，所以，当时，，即， 分别令，，，，，可得， 所以，正确； 记，则， 所以在上单调递增， 又，所以，所以， 分别令，2，，，可得， 累加得， 即，正确． 故选：． 【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式、数列的裂项相消求和，以及构造函数法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 10．（2023秋•天宁区校级月考）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是　　 A．是等差数列 B．，，成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，的最大值为32 【分析】先根据已知条件得出数列是等差数列，；再根据，的关系求出，根据等差数列的定义即可判断选项；根据可求出，，即可判断选项；利用二次函数性质可判断选项；根据解不等式即可判断选项． 【解答】解：由，可得：数列是以32为首项，为公差的等差数列． 则． 所以， 对于选项， 当时，； 当时，； ， ， ， 数列是等差数列，故选项正确； 对于选项， ，，， ，， 则，， 所以，，成等差数列，公差为，故选项错误； 对于选项， 当或时，最大，故选项正确； 对于选项：令，得，，即满足的最大正整数，故选项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了数列的和与项的递推关系的应用，还考查了等差数列的性质，通项公式及求和公式的应用，属于中档题． 11．（2023•扬州三模）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，2进行“美好成长”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；；设第次“美好成长”后得到的数列为1，，，，，2，并记，则　　 A． B． C． D．数列的前项和为 【分析】选项，由，得解； 选项，设每次插入项的个数构成数列，结合等比数列的概念与前项和公式，得解； 选项，根据数列的定义，找到其递推关系，即可； 选项，结合选项中结论与构造法，求得数列的通项公式，再由裂项求和法，得解． 【解答】解：选项，，即正确； 选项，设每次插入项的个数构成数列，则，，，， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 而数列的前项和为，所以，即错误； 选项， ，即正确； 选项，由知，， 因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以， 故其前项和为，即正确． 故选：． 【点评】本题考查数列求和，理解新数列的定义，熟练掌握等比数列的概念、通项公式与前项和公式，裂项求和法等是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 三．填空题（共3小题） 12．（2023秋•临泉县校级月考）已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，1，，1，1，，1，1，1，，，则数列的前20项的和为 　77　． 【分析】先根据题意得到数列有多少个数，再根据即可计算数列的前20项的和． 【解答】解：在，之间插入个1，构成数列，1，，1，1，，1，1，1，，， 所以共有个数， 当时，，当时，， 由于，所以． 故答案为：77． 【点评】本题考查的知识要点：数列的求和公式和通项公式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 13．（2023秋•灌南县校级月考）已知为数列的前项和，为数列的前项积，，2，，，，且，则的最大值为 　108　． 【分析】根据不等式的性质即可利用列举法求解． 【解答】解：因为， 所以，故， 当且仅当取等号， 不妨设为单调递增的数列，则，分别为中最小值和最大值， 则，，故， 由于，当时，，时，此时最大为42， 当时，，，时，此时最大为80， 当时，，，，时，此时最大为108， 当时，，，，，时，此时最大为108， 当时，，，，，，时，此时最大为96， 当时，，，，，，，时，此时最大为64， 当时，，，，，，，，时，此时最大为32， 故当越来越大时，数列中出现的1的项越来越多，而最大的两项值不超过2，故此时的值不可能超过108， 故最大值为108． 故答案为：108． 【点评】本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题． 14．（2023秋•江苏月考）已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意的，恒成立，则的取值范围是 　，　． 【分析】根据条件求出与的有关的关系式，利用条件恒成立，建立条件，即可得到结论． 【解答】解：当时，由题意可知，，故． 当时，， 两式相减，得①， 所以②． 由②①，得， 所以从第二项起，数列的奇数项和偶数项分别成等差数列． 当时，由，得． 若对任意的，成立，则， 即，解得：， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查参数的取值范围的求解，根据条件求出与的有关的关系式是解决本题的关键，属于难题． 四．解答题（共5小题） 15．（2023秋•建邺区校级期末）已知数列的前项和为，且，_____． 在①；②，，成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题： （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，求证：． 【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差．若选①，根据等差中项求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得； （2）利用裂项相消法求和得，即可求证． 【解答】解：（1）由，得，得， 所以数列为等差数列，公差． 若选①，因为，所以，得， 所以，， 所以． 若选②，因为，，成等比数列，所以， 所以，所以， 所以，所以． 若选③，因为，所以， 所以． （2）证明：， 所以， 又因为，所以． 【点评】本题主要考查数列递推式，数列的求和，不等式的证明，考查运算求解能力，属于中档题． 16．（2023秋•江苏期中）已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）由，当时，可得，两式相减，得到，再由，即可求解； （2）由（1）得到，结合裂项相消法求和，求得，因为对任意恒成立，转化为对任意恒成立，令，结合函数的单调性，求得的最小值，即可求解． 【解答】解：（1）由数列满足， 当时，可得， 两式相减，可得，即， 又由时，可得，适合上式， 所以数列的通项公式． （2）由（1）知，， 所以 ， 因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，即， 可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又由（3），（4）， 所以的最小值为126，可得， 所以实数的取值范围为，． 【点评】本题考查了数列与不等式的综合，裂项相消法求和，属于较难题． 17．（2023秋•建邺区校级月考）设的前项和为，且，数列的通项公式为． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求满足成立的的最小值； （3）对任意的正整数，设，求数列的前项和． 【分析】（1）根据，的关系，即可作差判定为等比数列求解， （2）根据等差、等比数列的求和公式，即可求解， （3）根据裂项相消法与错位相减法分别求解奇偶项的和，即可由分组求和得解． 【解答】解：（1）由已知得：， 两式相减得：，所以， 当时，，解得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以； （2）因为，所以， 因此，故，解得， 因为，所以，即满足条件的最小值为3． （3）因为， 当为偶数时，， 记； 当为奇数时，， 记， 则②， ①②得 ， 所以， 因此数列的前项和为． 【点评】本题考查，的关系，等差、等比数列的求和公式，裂项相消法与错位相减法求数列的和，属于中档题． 18．（2023秋•江阴市校级月考）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”． （1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由； （2）若数列为“速增数列”．且任意项，，，，求正整数的最大值； （3）已知项数为的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于，若，，2，3，，，证明：． 【分析】（1）计算，，，得到答案． （2）根据题意得到，，计算当时，，当时，，得到答案． （3）证明，得到，得到，代入计算得到证明． 【解答】解：（1）因为，则，， 又，故，数列是“速增数列”． （2），，， 当时，， 即，， 当时，，当时，， 故正整数的最大值为63． （3）证明：，故， 即；， 故，即， 同理可得：，，， 故， 故，，得证． 【点评】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定是解题的关键． 19．（2023秋•姑苏区校级期中）已知等差数列的前项和为，若为等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）是否存在正整数，使，，成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由； （3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数的最小值． 【分析】（1）设等差数列的公差，运用等差数列的通项公式和求和公式，由等差中项，解方程可得，即可得到所求通项公式； （2）假设存在，使得，，成等比数列，运用等比数列的中项性质，可得的方程，方法一、运用三次函数的单调性，可得；方法二、运用因式分解，解方程可得的值，进而得到等比数列的前三项； （3）由题意可得，．由累加法和不等式的性质，讨论，以及，结合放缩法，以及不等式的性质，可得的最小值为3． 【解答】解：（1）设等差数列的公差，则，． 又是等差数列，所以， 即，解得． 此时，，符合数列是等差数列， 所以． （2）假设存在，使得，，成等比数列． 则， 由（1）可知，，代入上式，得 ， 整理得． 法一：令，． 则， 所以在，上单调增， 所以在，上至少有一个根． 又（1）， 故是方程的唯一解． 所以存在，使得，，成等比数列， 且该等比数列为3，9，27． 法二：，即， 所以方程可整理为． 因为，所以无解，故． 所以存在，使得，，成等比数列， 且该等比数列为3，9，27． （3）由可知，． 又，，故，所以． 依题意，对任意恒成立， 所以，即，故． ①若，据，可得 当，时，． 由及可得． 所以，当，时，，即． 故当，时，，故不合题意． ②若，据，可得，即． 所以，当，时，， 当时，，得，所以． 当，时，， 所以， 故． 故当时，对任意都成立． 所以正整数的最小值为3． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查转化思想和方差思想，分类讨论思想方法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 等比数列（10种题型基础练+能力提升练） 一．等比数列的概念与判定（共1小题） 1．（2023秋•射阳县校级期中）若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是　　 A． B．（其中且 C． D． 二．等比数列的通项公式（共9小题） 2．（2023秋•灌南县校级月考）已知等比数列中，，则　　 A．8 B．14 C．128 D．256 3．（2023秋•江苏月考）正项等比数列中，，，则　　 A． B．3 C．6 D．9 4．（2023秋•工业园区校级月考）在等比数列中，，，则等于　　 A．64 B． C． D．8 5．（2023秋•宝应县期中）在我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少尺？试问：该女子第一天织布的尺数是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•启东市校级期中）已知等比数列满足，，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 7．（2023秋•沛县月考）在等比数列中，若，，则　　． 8．（2023秋•高邮市月考）已知为等比数列，公比，，且，，成等差数列，则通项公式　　． 9．（2023秋•连云区校级期中）等比数列中，，，则　　． 10．（2023秋•启东市校级月考）设为实数，若三个数3，，12成等比数列，则的值为 　　． 三．由等比数列中若干项求通项公式或其中的项（共1小题） 11．（2024秋•镇江月考）等比数列中，，公比，若，则　　 A．6 B．7 C．8 D．9 四．等比数列的前n项和（共8小题） 12．（2023秋•吴江区校级月考）一个等比数列的前项和为45，前项和为60，则前项和为　　 A．85 B．108 C．73 D．65 13．（2023秋•海安市校级期中）已知等比数列的前项和为，若，，则　　 A．40 B．30 C．13 D．50 14．（2023秋•高新区校级月考）记为等比数列的前项和，若，则　　 A． B． C．32 D．或32 15．（2023秋•常熟市校级月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了　　 A．96里 B．48里 C．192里 D．24里 16．（2023秋•苏州期中）已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若，，则　　 A． B．当且仅当时，取得最小值 C．， D．的正整数的最大值为11 17．（2023秋•兴化市期末）已知等比数列满足，，设其公比为，前项和为，则　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•常熟市校级月考）设等比数列的前项和为，公比为，若，，则　　． 19．（2023•张家港市校级开学）已知数列为等比数列，其前项和为，前三项和为13，前三项积为27，则　　． 五．求等比数列的前n项和（共1小题） 20．（2024秋•靖江市校级月考）设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，，则“存在最小值”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 六．等比数列前n项和的性质（共1小题） 21．（2023秋•建邺区校级月考）设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是　　 A． B． C．当时，取最大值 D．使成立的最大自然数是4046 七．数列的应用（共2小题） 22．（2023秋•秦淮区校级月考）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•秦淮区校级月考）设数列的前项和为，且，，．请写出一个满足条件的数列的通项公式　　． 八．数列的求和（共1小题） 24．（2023秋•吴江区校级月考）若等差数列的首项，，记，则　　． 九．数列递推式（共7小题） 25．（2023秋•江阴市校级月考）已知数列满足，，则的通项公式为　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•启东市校级月考）已知数列满足：对于，，都有，且，那么　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•江阴市校级月考）若数列满足，且，则　　 A．13 B．14 C．15 D．16 28．（2023秋•江苏月考）已知数列的前项和为，则　　 A．若为递减等比数列，则的公比 B．“为等差数列”是“为等差数列”的充要条件 C．若为等比数列，则可能为等比数列 D．若对于任意的，，数列满足，且各项均不为0，则为等比数列 29．（2023秋•秦淮区校级月考）已知等比数列的前项和，则　　 A．首项不确定 B．公比 C． D． 30．（2023秋•盐城期中）在数列中，，，则　　． 31．（2023秋•润州区校级期中）在数列中，，且，则　　． 一十．等差数列与等比数列的综合（共4小题） 32．（2023秋•宿豫区校级期中）若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为　　 A．2 B． C．4 D． 33．（2023秋•工业园区校级月考）已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则等于　　 A． B． C． D．或 34．（2023秋•沛县月考）设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则　　 A．7 B．12 C．15 D．31 35．（2023秋•新吴区校级月考）已知数列，，，4成等差数列且，，成等比数列，则的值是 　　． 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•镇江月考）设数列的前面和为，若，且，则　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•江苏期中）在数列中，，．是该数列的前项和，则　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•清江浦区月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为．则的前2048项的和为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•京口区校级期中）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为　　 A． B． C．1 D． 5．（2023秋•常熟市期中）已知，，，为其前项和，则　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•兴化市期末）已知数列满足，，．设，若对于，都有恒成立，则的最大值为　　 A．3 B．4 C．7 D．9 7．（2023秋•东海县期中）已知数列满足，，记，则有　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•江苏月考）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 二．多选题（共3小题） 9．（2024秋•靖江市校级月考）若数列满足：，对，有成立，则　　 A． B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 10．（2023秋•天宁区校级月考）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是　　 A．是等差数列 B．，，成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，的最大值为32 11．（2023•扬州三模）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，2进行“美好成长”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；；设第次“美好成长”后得到的数列为1，，，，，2，并记，则　　 A． B． C． D．数列的前项和为 三．填空题（共3小题） 12．（2023秋•临泉县校级月考）已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，1，，1，1，，1，1，1，，，则数列的前20项的和为 　　． 13．（2023秋•灌南县校级月考）已知为数列的前项和，为数列的前项积，，2，，，，且，则的最大值为 　　． 14．（2023秋•江苏月考）已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意的，恒成立，则的取值范围是 　　． 四．解答题（共5小题） 15．（2023秋•建邺区校级期末）已知数列的前项和为，且，_____． 在①；②，，成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题： （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，求证：． 16．（2023秋•江苏期中）已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 17．（2023秋•建邺区校级月考）设的前项和为，且，数列的通项公式为． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求满足成立的的最小值； （3）对任意的正整数，设，求数列的前项和． 18．（2023秋•江阴市校级月考）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”． （1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由； （2）若数列为“速增数列”．且任意项，，，，求正整数的最大值； （3）已知项数为的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于，若，，2，3，，，证明：． 19．（2023秋•姑苏区校级期中）已知等差数列的前项和为，若为等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）是否存在正整数，使，，成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由； （3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数的最小值． 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