5.1 导数的概念（7种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

5.1 导数的概念（7种题型基础练+能力提升练） 题型一 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：A. 2．（22-23高二上·北京朝阳·期末）设函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义求在处切线的斜率，进而即可得切线方程. 【详解】因为，所以，所以， 即在处切线方程的斜率为， 又因为，所以切线方程为，整理得， 故选：B 3．（22-23高二上·浙江·期中）已知，则在x＝1处的切线方程是 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数求出在x＝1处的切线斜率，用点斜式求出切线方程. 【详解】已知当时， 由，得 根据点斜式可得： 故答案为: 4．（22-23高二上·云南昆明·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】再结合导数的几何意义 切线斜率，代入切线方程公式即可． 【详解】因为， 所以， 所以． 故切线方程为． 故答案为：． （21-22高二上·江西吉安·期末）（1）求与直线垂直，且与曲线相切的直线方程； （2）求过原点，且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求出切线的斜率为2得到切点坐标为，即可求出切线方程； （2）设切点坐标为，得到切线方程，由切线过原点，求出，即可求出切线方程. 【详解】（1）因为所求的切线与直线垂直， 故所求切线的斜率为2. 因为所以， 令得，所以切点坐标为， 故所求切线方程为，即. （2）设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率， 故所求切线方程为. 因为切线过原点，所以， 所以， 所以切线方程为，即. 题型二 利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 5.（23-24高二上·河北石家庄·期末）设是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】由导数的定义计算即可得出结果. 【详解】∵， ∴， ∴ . 故选：B 6．（21-22高二上·江苏宿迁·期末）一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（    ） A．4 B．12 C．15 D．21 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】由瞬时变化率的定义，代入公式求解计算. 【详解】由题意，该质点在时的瞬时速度为. 故选：B 题型三 导数定义中极限的简单计算 7．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数的定义求解即可． 【详解】由题意可知，， 故选：B 8．（23-24高二上·湖南·期末）已知是函数的导函数，且，则 ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据题意结合导数的定义运算求解. 【详解】由题意可得：． 故答案为：. 9．（23-24高二上·浙江宁波·期中）设函数在处可导且，则 ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数的概念求解即可. 【详解】由. 故答案为：. 10．（23-24高二上·全国·期末）已知函数在处可导，且则＝ ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据题目条件得到，结合导数的定义求出答案. 【详解】根据题意，， 变形可得， 又由函数在处可导， 则. 故答案为：. 题型四 平均变化率 11．（21-22高二上·北京延庆·期末）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义算出答案即可. 【详解】函数在区间上的平均变化率等于 故选：C 12．（22-23高二上·黑龙江大庆·期末）在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率，代入计算． 【详解】 故选：A 13．（23-24高二上·北京·期中）已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平均变化率 【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得. 【详解】作出函数的图象，如图所示.    由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小. 由，得，即. 故选：C. 题型五 已知切线（斜率）求参数 14.（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知曲线的一条切线为y＝x＋b，则b＝（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】求导后，令导数为1从而可求得切点，再把切点坐标代入直线方程即可求解. 【详解】曲线，. 令，解得，则. 所以直线y＝x＋b与曲线相切于点， 所以点在直线y＝x＋b上，则，解得. 故选：C. 15．（21-22高二上·陕西西安·期中）曲线在点处的切线的斜率为，则 . 【答案】-4 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】因为， 所以，当 时，， 因为曲线在点处的切线的斜率为， 所以， 解得， 故答案为：-4 16．（21-22高二上·宁夏银川·期末）函数的图象在点P（）处的切线方程是，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求解. 【详解】根据导数的几何意义可知，，且， 所以. 故答案为： 17．（23-24高二上·福建莆田·期末）曲线在点处的切线方程为，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】根据切点和斜率求得，进而求得. 【详解】点在直线上，所以. 直线的斜率为， 由得， 所以. 故答案为： 18.（21-22高二上·山东临沂·期末）已知函数，且. (1)求a的值； (2)求与x轴平行的的图象的切线方程. 【答案】(1). (2) . 【知识点】已知切线（斜率）求参数、已知某点数的导数值求参数或自变量 【分析】（1）求导函数，再由建立方程，求解即可； （2）由（1）得，设与x轴平行的的图象的切线的切点为，由已知建立方程求得，由此可求得答案. 【详解】（1）解：因为，则， 又，所以，解得； （2）解：由（1）得，则， 设与x轴平行的的图象的切线的切点为， 则，解得，所以， 所以与x轴平行的的图象的切线方程为. 题型六 求曲线切线的斜率（倾斜角） 19.（23-24高二上·广东深圳·期末）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，所以， 根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为1. 故选：B 20．（21-22高二上·山西临汾·期末）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是 . 【答案】2 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用奇偶性求得函数在时的解析式，然后利用导数求得切线斜率. 【详解】设，则， 由于函数为偶函数，故. ， . 故答案为：2 21．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是 ． 【答案】4 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】结合导数的几何意义，转化为，求解集中的整点. 【详解】由题意，，即， 解得，其中的整点有0,1,2,3，共4个. 故答案为：4 题型七 瞬时变化率的概念及辨析 22.（23-24高二上·重庆·期末）已知函数在处可导，若，则（    ） A．1 B． C．2 D．8 【答案】A 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】利用计算即可. 【详解】 . 故选：A. 23．（22-23高二上·湖北·期末）年月，第届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了金银铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为 ． 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用导数的定义可求得该运动员在时滑雪瞬时速度. 【详解】， 所以，该运动员的滑雪瞬时速度为. 故答案为：. 24.（21-22高二上·浙江温州·期末）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为 ． （1）； （2）； （3）对于，存在，使得； （4）整个过程小明行走的速度一直在加快． 【答案】3 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】对于（1）（2），根据平均速度的定义结合图判断即可，对于（3），由图象可知，从而可得结论，对于（4），根据曲线在各点处的切线方程的斜率的大小判断即可. 【详解】解：由题意，可知，，． 由题中图像可知，且，因此， 而，所以， 因此，此时，所以（1）正确； 因为， ，故成立，（2）正确； 由题中图像可知，直线与曲线的交点为，故存在，使得，即当时，，故（3）正确； t时刻的瞬时速度为，判断瞬时速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由题中图像可知，当时，切线方程的斜率最大， 故而在此时，瞬时速度最快，因此，（4）不正确． 故答案为：3． 一、单选题 1．（21-22高二上·山西太原·期末）已知曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，则实数（    ） A．2 B．0或2 C． D．或0 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求切线方程，根据切线与有一个公共点，讨论、判断公共点的个数，即可得a值. 【详解】由，则，而， ∴处的切线方程为，即. 又与有一个公共点， ∴，整理得， 当时，，可得， 当时，显然只有一个解，符合题设； ∴或. 故选：D. 2．（21-22高二上·江苏镇江·期末）若点是函数图象上的动点（其中是自然对数的底数），则到直线的距离最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则到直线的距离最小值为点到直线的距离，再求解即可. 【详解】解：设，， 设与平行且与相切的直线与切于 所以． 所以 则到直线的距离为， 即到直线的距离最小值为， 故选：A． 3．（23-24高二上·北京朝阳·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；      选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；    选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D.    二、多选题 4．（21-22高二上·江苏南通·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设切点坐标为，由导数求切线斜率，然后由直线过得斜率，从而求，根据有两解可得． 【详解】设切点为，由题意， 所以，整理得，此方程有两个不等的实根， 所以，或． 故选：AD． 三、填空题 5．（23-24高二上·全国·期末）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：y=(其中是自然对数的底数)，O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，则 . 【答案】0 【分析】利用导数的几何意义，求出时，过原点且与相切的切线斜率，以及过原点且与相切的切线斜率，进而可得两切线互相垂直，则可求. 【详解】当时，过原点作的切线， 设切点，， ， 则切线方程为， 又切线过点所以， 所以. 设，则为增函数，且，所以， 当时，过原点作的切线， 设切点B， ， 则切线为，又切线过点 所以，又，， 因为，所以两切线垂直,所以. 故答案为：0. 6．（21-22高二上·山西运城·期末）若实数，，，满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，采用数形结合和对函数求导可知，函数在处的切线方程与直线之间的距离的平方为我们要求的的最小值. 【详解】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，对于函数，令，故可得，即函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为. 故答案为：2. 7．（22-23高二上·山东菏泽·期末）若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数 . 【答案】 【分析】令，，公共点为，结合导数几何意义可构造方程组，由此可解得，进而求得的值. 【详解】令，，则，； 设与的公共点为， 与在公动点处有相同的切线， ，即，，解得：， ，解得：. 故答案为：. 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 9．（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）已知函数. (1)当时，函数的图像上任意一点处的切线斜率为，若，求实数的取值范围； (2)若，求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】(1)根据导数的几何意义可得当时，恒成立，分类参数，结合对勾函数的性质即可求解； (2)设切点，根据导数的几何意义求出切线方程，将代入切线方程计算即可. 【详解】（1）函数的导数为， 由题意可得当时，恒成立， 即有，由勾函数的性质知， 函数在和上单调递增，在和上单调递减， 所以，即有，则， 所以a的取值范围是. （2）函数的导数为， 设切点为，则，在处的斜率为， 即有切线方程为， 将代入可得， 整理可得，解得或， 即有所求切线的方程为或， 即或. 10．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知函数和，其中a，b为常数且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意对函数求导，求出切点和切线的斜率，根据点斜式求切线方程即可， （2）设曲线在点处的切线斜率为1，求导计算可得；设曲线在点处的切线斜率为1，求导计算可得，再由直线的斜率为1，可得的关系，由于，则，从而即可求出的取值范围． 【详解】（1）当时，， 当时，切点为， ，切线斜率为， 切线方程为，即． （2）的定义域为的定义域为， 且， 设曲线在点处的切线斜率为1，则， 所以，则， 设曲线在点处的切线斜率为1，则， 所以，则， 直线的斜率， 所以，     由于，则， 所以的取值范围为． 11.（23-24高二上·海南海口·期末）已知函数是曲线和的一条公切线． (1)求实数的值； (2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可 【详解】（1）设直线与曲线的切点坐标为， ，， 又直线的斜率为，， 且点同时在直线和曲线上， 满足，联立以上两式可得， 故直线的方程为， 联立，可得， 又直线与曲线相切， ，解得． （2）由（1）得，， 设切点为， 则曲线在点的切线方程为， 又切线过点， ， 即方程有两个不相等的实数根，且， ， 解得或或， 所以实数的取值范围为或或． 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解. 12．（23-24高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【详解】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 13．（22-23高二上·湖南常德·期末）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求满足斜率为1的曲线的切线方程. 【答案】(1) (2)和. 【分析】（1）对曲线求导,求出点处切线的斜率,再求出切线方程; （2）设切点为,由曲线的切线斜率为1,求出切点坐标,再求出切线方程. 【详解】（1）由,得， ∴在点处切线的斜率. ∴曲线在点处的切线方程为， 即. （2）设切点为，则切线的斜率为. 曲线的切线斜率为1,,解得， 切点为，. 切线方程为和， 即和. 14．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程； （2）设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【详解】（1）由题意得，则在点处的切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 15.（21-22高二上·江西吉安·期末）（1）求与直线垂直，且与曲线相切的直线方程； （2）求过原点，且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求出切线的斜率为2得到切点坐标为，即可求出切线方程； （2）设切点坐标为，得到切线方程，由切线过原点，求出，即可求出切线方程. 【详解】（1）因为所求的切线与直线垂直， 故所求切线的斜率为2. 因为所以， 令得，所以切点坐标为， 故所求切线方程为，即. （2）设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率， 故所求切线方程为. 因为切线过原点，所以， 所以， 所以切线方程为，即. 16．（21-22高二上·湖南·期末）已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）求导函数，求得，，得出的图象在处的切线方程，由此求得答案； （2）设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求得在点处切线方程，在点在切线方程.建立方程组，求解即可. 【详解】（1）解：因为，所以的图象在处切线的斜率为. 又，所以的图象在处的切线方程为， 则，故的面积为. （2）解：设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，则 由点在切线上，得； 由点在切线上，得. 故，解得. 故. 17.（21-22高二上·上海金山·期末）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．求证：点在定直线上，并求出直线的方程； (3)若满足（2）的直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)最大值，点的坐标为． 【分析】（1）根据焦点计算得到，根据离心率计算得到，得到椭圆方程. （2）求导得到切线方程为，设点，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，利用中点坐标公式结合直线方程得到答案. （3）确定直线方程，计算得到，设，利用二次函数的性质得到最值. 【详解】（1）抛物线的焦点，因为在椭圆上，所以， 又因为离心率，所以，椭圆的方程为； （2）设，，因为，所以， 在点的切线的方程，即， 设，，，由，得， 由，得， 且，，因此，将其代入， 得，所以，所以直线的方程为， 由，解得点的纵坐标为，所以点在定直线上； （3）直线的方程为，令，得，所以， 又，，，所以， ， ，设， 则， 当，即时，取到最大值， 此时，满足，所以点的坐标为． 【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定直线问题，面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用韦达定理得到根与系数的关系，根据设而不求的思想可以简化运算，是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 导数的概念（7种题型基础练+能力提升练） 题型一 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·北京朝阳·期末）设函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·浙江·期中）已知，则在x＝1处的切线方程是 ． 4．（22-23高二上·云南昆明·期末）曲线在点处的切线方程为 . 题型二 利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 5.（23-24高二上·河北石家庄·期末）设是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 6．（21-22高二上·江苏宿迁·期末）一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（    ） A．4 B．12 C．15 D．21 题型三 导数定义中极限的简单计算 7．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 8．（23-24高二上·湖南·期末）已知是函数的导函数，且，则 ． 9．（23-24高二上·浙江宁波·期中）设函数在处可导且，则 ． 10．（23-24高二上·全国·期末）已知函数在处可导，且则＝ ． 题型四 平均变化率 11．（21-22高二上·北京延庆·期末）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高二上·黑龙江大庆·期末）在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（   ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·北京·期中）已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型五 已知切线（斜率）求参数 14.（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知曲线的一条切线为y＝x＋b，则b＝（    ） A． B． C．0 D．1 15．（21-22高二上·陕西西安·期中）曲线在点处的切线的斜率为，则 . 16．（21-22高二上·宁夏银川·期末）函数的图象在点P（）处的切线方程是，则 ． 17．（23-24高二上·福建莆田·期末）曲线在点处的切线方程为，则 ． 18.（21-22高二上·山东临沂·期末）已知函数，且. (1)求a的值； (2)求与x轴平行的的图象的切线方程. 题型六 求曲线切线的斜率（倾斜角） 19.（23-24高二上·广东深圳·期末）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．0 B．1 C．e D． 20．（21-22高二上·山西临汾·期末）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是 . 21．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是 ． 题型七 瞬时变化率的概念及辨析 22.（23-24高二上·重庆·期末）已知函数在处可导，若，则（    ） A．1 B． C．2 D．8 23．（22-23高二上·湖北·期末）年月，第届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了金银铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为 ． 24.（21-22高二上·浙江温州·期末）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为 ． （1）； （2）； （3）对于，存在，使得； （4）整个过程小明行走的速度一直在加快． 一、单选题 1．（21-22高二上·山西太原·期末）已知曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，则实数（    ） A．2 B．0或2 C． D．或0 2．（21-22高二上·江苏镇江·期末）若点是函数图象上的动点（其中是自然对数的底数），则到直线的距离最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京朝阳·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 二、多选题 4．（21-22高二上·江苏南通·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高二上·全国·期末）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：y=(其中是自然对数的底数)，O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为β，则 . 6．（21-22高二上·山西运城·期末）若实数，，，满足，则的最小值为 . 7．（22-23高二上·山东菏泽·期末）若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数 . 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 四、解答题 9．（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）已知函数. (1)当时，函数的图像上任意一点处的切线斜率为，若，求实数的取值范围； (2)若，求曲线过点的切线方程. 10．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知函数和，其中a，b为常数且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围． 11.（23-24高二上·海南海口·期末）已知函数是曲线和的一条公切线． (1)求实数的值； (2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 12．（23-24高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 13．（22-23高二上·湖南常德·期末）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求满足斜率为1的曲线的切线方程. 14．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 15.（21-22高二上·江西吉安·期末）（1）求与直线垂直，且与曲线相切的直线方程； （2）求过原点，且与曲线相切的直线方程. 16．（21-22高二上·湖南·期末）已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 17.（21-22高二上·上海金山·期末）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．求证：点在定直线上，并求出直线的方程； (3)若满足（2）的直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$