21 函数的概念与性质常用典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■李 勇 题型1:函数的概念问题 对于给定的对应关系,判断是否满足函 数的概念,即可判断对应关系是否是函数。 例1 现有下列四个对应:①x→y,其中 y=2x+1,x∈{1,2,3,4},y∈{x|x<10,x ∈N};②x→y,其中y2=x,x∈[0,+∞), y∈R;③x→y,其中y 为不大于x 的最大整 数,x∈R,y∈Z;④x→y,其中y=x-1,x∈ N*,y∈N*。其中是函数的是( )。 A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 解:x→y,其中y=2x+1,x∈{1,2,3, 4},y∈{x|x<10,x∈N}={0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9},满足函数的定义,①正确。x→y, 其中y2=x,x∈[0,+∞),x∈R,当x=1 时,对应的y=±1,不满足函数的定义,②不 正确。x→y,其中y 为不大于x 的最大整 数,x∈R,y∈Z,满足函数的定义,③正确。 x→y,其中y=x-1,x∈N*,y∈N*,当x= 1时,需y=0,而y∈N* 中没有0与之相对 应,④不正确。应选B。 跟踪训练1:设集合 M={x|0≤x≤2}, N={y|0≤y≤2},那么下列四个图形中,能 表示 集 合 M 到 集 合 N 的 函 数 关 系 的 是( )。 A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 提示:对于①,其定义域为{x|0≤x≤ 1},不符合题意。对于②,符合题意。对于 ③,符合题意。对于④,集合 M 中有的元素 在集合N 中对应两个值,不符合函数定义。 应选C。 题型2:同一函数的判断 对于给定的两个函数,分析两个函数的 定义域、对应关系是否相同,即可判断两个函 数是否是同一函数。 例2 下列四组函数中,表示相同函数 的一组是( )。 A.y1= x2,y2=(x)2 B.y1=|x|,y2= x2 C.y1= x2-1 x-1 ,y2=x+1 D.y1= x+1· x-1,y2= x2-1 解:对于 A,函数y1= x2 的定义域为 R,函数y2=(x)2 的定义域为[0,+∞),A 错误。对于 B,函数y1=|x|与函数y2= x2的定义域都为R,对应关系也相同,B正 确。对于C,函数y1= x2-1 x-1 的定义域为{x| x≠1},函数y2=x+1的定义域为 R,C错 误。对于D,函数y1= x+1· x-1的定 义域为[1,+∞),函数y2= x2-1的定义 域为(-∞,-1]∪[1,+∞),D错误。应选 B。 跟踪训练2:下列函数与f(x)=x+1是 同一函数的是( )。 A.g(x)= 3 x3+1 B.g(x)= x2 x+1 C.g(x)= x2+1 D.g(x)=elnx+1 提示:函数f(x)=x+1的定义域为 R, g(x)= 3 x3+1=x+1的定义域为 R,A正 确。g(x)= x2 x+1=x+1 (x≠0),B错误。 g(x)= x2+1=|x|+1,C错误。g(x)= 34 经典题突破方法 高一数学 2024年10月 elnx+1=x+1(x>0),D错误。应选A。 题型3:函数的定义域问题 根据解析式有意义的条件,列出关于自 变量的不等式(组),即可求得函数的定义域。 已知函数的定义域求参数,可结合解析式有 意义的条件,列出关于参数的关系式,求得参 数的值。 例3 函数f(x)= 1 x + 4-x2 的定 义域为( )。 A.[-2,2] B.[0,2] C.(0,2] D.[-2,0)∪(0,2] 解:由题意得 x>0, 4-x2≥0, 解得0<x≤2, 所以函数f(x)的定义域为(0,2]。应选C。 跟踪训练3:若函数f(x+1)的定义域 为[-1,15],则函数g(x)= f(x2) x-1 的定义 域为( )。 A.[1,4] B.(1,4] C.[1,14] D.(1,14] 提示:因为f(x+1)的定义域为[-1, 15],所以0≤x+1≤16,所以 0≤x2≤16, x-1>0, 解 得1<x≤4。应选B。 题型4:函数的值域问题 已知函数的解析式求值域,先观察所给 解析式,求出函数的定义域,再由函数解析式 求出函数的值域。已知函数的值域求参数问 题,先将给出的值域转化为方程的解集或不 等式的解集,再确定参数的值或取值范围。 例4 函数y=2x- x-1的值域为 。 解:令t= x-1,则x=t2+1,t≥0,所 以原 函 数 等 价 于 g(t)=2t2 +2-t= 2t- 1 4 2 + 15 8 。根据二次函数的性质可知, 当t= 1 4 时,函数g(t)取得最小值 15 8 ,所以 g(t)≥ 15 8 ,所以y∈ 15 8 ,+∞ 。 跟踪训练4:若函数f(x)= x-1+m 在区间[a,b]上的值域为[a,b](b>a≥2), 则实数m 的取值范围为 。 提示:因为f(x)= x-2+m 在区间 [a,b]上单调递增且函数的值域为[a,b] (b>a≥2),所以 a-2+m=a, b-2+m=b, 可得 m= a- a-2且 m=b- b-2。原问题可转 化为函数m=x- x-2在[2,+∞)上有两 个不同的零点。令t= x-2,则x=2+t2 且t≥0,所以x- x-2=t2-t+2,t≥0。 令g(t)=t2-t+2,t≥0,则y=m 与g(t)= t2-t+2=t- 1 2 2 + 7 4 在t≥0上有两个交 点。由g 1 2 =74,g(0)=2,结合二次函数 的图像与性质可知,7 4<m≤2 。 题型5:求函数的值或由函数的值求参 数问题 已知函数的解析式求函数值,只需将自 变量代入解析式求解即可。由函数的解析 式,求自变量的值(或解析式中的参数值),只 需将函数值代入解析式,建立关于自变量(或 参数)的方程即可求解。 例 5 已 知 函 数 f (x ) = x+1(x≤1), -x+3(x>1), 则f f 52 的值为 。 解:由函数f(x)= x+1(x≤1), -x+3(x>1), 可 得f 5 2 =-52+3=12,所以f f 52 = f 1 2 =12+1=32。 跟踪 训 练 5:已 知 函 数 f (x)= 1 2x-1 (x≥0), 1 x (x<0), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 若f(a)=a,则实数a 的值 为( )。 A.±1 B.-1 C.-2或-1 D.±1或-2 提示:由题意知f(a)=a。当a≥0时, 44 经典题突破方法 高一数学 2024年10月 可得 1 2a-1=a ,解得a=-2(不满足条件, 舍去);当a<0时,可得 1 a=a ,解得a=1(不 满足条件,舍去)或a=-1。综上可得,实数 a=-1。应选B。 题型6:函数单调性的简单应用 函数单调性的几个应用:利用函数的单 调性比较函数值的大小;利用函数的单调性 求参数的取值范围;利用函数的单调性求自 变量的取值范围;利用函数的单调性解决有 关方程、不等式、值域问题。 例6 (1)若函数f(x)=-x2-2(a+ 1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数 a的取值范围是 。 (2) 已 知 函 数 f (x ) = (3a-1)x+4a,x<1, -ax,x≥1 是定义在R上的减函 数,则实数a的取值范围为 。 解:(1)因为函数f(x)=-x2-2(a+ 1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,所以 函数的单调递增区间为(-∞,-a-1]。因 为f(x)在(-∞,3]上单调递增,所以3≤ -a-1,解得a≤-4,所以实数a 的取值范 围为(-∞,-4]。 (2)因为函数f(x)是定义在 R上的减 函数,所以 3a-1<0, -a<0, (3a-1)·1+4a≥-a·1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 1 8≤a< 1 3 ,即a∈ 18 ,1 3 。 跟踪训练6:已知f(2x-3)>f(5x- 6),若函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, 则实数x 的取值范围为 ;若函数f(x)是 定义在(0,+∞)上的减函数,则实数x 的取 值范围为 。 提示:若f(x)在(-∞,+∞)上是增函 数,且f(2x-3)>f(5x-6),则2x-3> 5x-6,解得x<1,所以实数x 的取值范围为 (-∞,1)。 若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减 函数,则 2x-3>0, 5x-6>0, 2x-3<5x-6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得x> 3 2 ,所以 实数x 的取值范围为 32 ,+∞ 。 题型7:函数奇偶性的判断 函数奇偶性的两种判断方法:定义法和 图像法。 例7 判断下列函数的奇偶性。 (1)f(x)=-|x|。 (2)f(x)= x2-1+ 1-x2。 (3)f(x)= x x-1 。 (4)f(x)=x- 1 x 。 解:(1)因为函数f(x)的定义域为R,关 于原点对称,又f(-x)=-|-x|=-|x| =f(x),所以f(x)为偶函数。 (2)因为函数f(x)的定义域为{-1,1}, 关于 原 点 对 称,又 f(x)=0,f(-x)= -f(x),f(-x)=f(x),所以f(x)既是奇 函数又是偶函数。 (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不 关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数。 (4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}。 因为∀x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0}, 且f(-x)=-x- 1 -x= - x- 1 x = -f(x),所以f(x)是奇函数。 跟踪训练7:判断下列函数的奇偶性。 (1)f(x)= 1 x 。 (2)f(x)=x2(x2+2)。 提示:(1)函数f(x)= 1 x 的定义域为 (-∞,0)∪(0,+∞)。因为f(-x)=- 1 x =-f(x),所以f(x)= 1 x 是奇函数。 (2)函数f(x)=x2(x2+2)的定义域为 R。因为 f(-x)=f(x),所 以 f(x)= x2(x2+2)是偶函数。 题型8:函数奇偶性的求值问题 求参数的值:若解析式含参数,则根据 f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),结合待 定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义 域关于原点对称,利用区间的端点之和为0 54 经典题突破方法 高一数学 2024年10月 求参 数。求 函 数 的 值:利 用 f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x)求值,有时需要构 造奇函数或偶函数以便于求值。 例8 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a +b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a= ,b= 。 (2)已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+ cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)= 。 解:(1)由偶函数的定义域关于原点对称 得a-1=-2a,解得a= 1 3 ,所以f(x)= 1 3x 2+bx+b+1为二次函数。结合偶函数 图像的特点,易得b=0。故a= 1 3 ,b=0。 (2)令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,则 g(x)是奇函数,所以f(-3)=g(-3)+2= -g(3)+2。因 为 f(-3)= -3,所 以 g(3)=5。又f(3)=g(3)+2,所以f(3)= 5+2=7。 跟踪 训 练 8:已 知 函 数 f (x)= (x+1)(x+a) x 为奇函数,则a= 。 提示:因为f(x)为奇函数,所以f(-x) = -f (x),所 以 (-x+1)(-x+a) -x = - (x+1)(x+a) x 。显然x≠0,整理得x2- (a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,即(a+1)x =0,所以a+1=0,即a=-1。 题型9:根据函数的奇偶性求函数的解 析式 已知某区间上函数的解析式,求对称区 间上的函数的解析式,应设这个区间上的变 量为x,然后把x 转化为-x,此时-x 成了 已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇 函数或偶函数的定义,可得所求区间上的解 析式。 例9 (1)若f(x)是定义在R上的奇函 数,当x>0时,f(x)=x2-2x+3,求函数 f(x)的解析式。 (2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, 且f(x)+g(x)= 1 x-1 ,求函数f(x),g(x) 的解析式。 解:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x) =(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3。因为 f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),所 以f(x)=-x2-2x-3,即当 x<0时, f(x)=-x2-2x-3。又因为f(x)是定义 在R上的奇函数,所以f(0)=0。故函数 f(x)= x2-2x+3,x>0, 0,x=0, -x2-2x-3,x<0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函 数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)。 已知f(x)+g(x)= 1 x-1 ,用-x 代替式中 的x 得f(-x)+g(-x)= 1 -x-1 ,所以 f(x)-g(x)= 1 -x-1 。据 上 解 得,函 数 f(x)= 1 x2-1 ,g(x)= x x2-1 。 跟踪训练9:(1)设f(x)为奇函数,g(x) 为偶函数,且f(x)+2g(x)=2x2+x-2,则 f(x)= ,g(x)= 。 (2)设函数f(x)是定义在 R上的奇函 数,当x<0时,f(x)=-x2-x,求函数 f(x)的解析式。 提示:(1)因为f(x)为奇函数,g(x)为 偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)= g(x)。由f(x)+2g(x)=2x2+x-2,可用 -x 代替式中的x 得f(-x)+2g(-x)= 2(-x)2+(-x)-2,即-f(x)+2g(x)= 2x2-x-2。据 上 解 得,函 数 f(x)=x, g(x)=x2-1。 (2)设x>0,则-x<0,所以f(-x)= -(-x)2-(-x)=-x2+x。因为函数 f(x)是 R 上 的 奇 函 数,所 以 f(x)= -f(-x)=x2-x。又因为函数的定义域为 R,所以f(0)=0。综上可得,函数f(x)= -x2-x,x<0, x2-x,x≥0。 题型10:利用函数的奇偶性与单调性比 较大小 若自变量在同一个单调区间上,可直接 64 经典题突破方法 高一数学 2024年10月 利用函数的单调性比较大小;若自变量不在 同一个单调区间上,可利用函数的奇偶性把 自变量转化到同一个单调区间上,然后利用 单调性比较大小。 例10 已知f(x)是奇函数,且在区间 [0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1), f(0)的大小关系是( )。 A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) 解:因为函数f(x)为奇函数,且f(x)在 区间[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在 R 上单调递增,所以 f(-1)<f(-0.5)< f(0)。应选B。 跟踪训练10:设函数f(x)的定义域为 R,对于任意实数x,总有f(-x)=f(x),当 x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2), f(π),f(-3)的大小关系是( )。 A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 提示:由题意得f(x)为 R上的偶函数。 若x∈[0,+∞),f(x)单调递增,则当x∈ (-∞,0]时,f(x)单调递减,故图像的几何 特征是自变量的绝对值越小,其函数值越小。 因为|-2|<|-3|<π,所以f(π)>f(-3) >f(-2)。应选A。 题型11:利用函数的单调性与奇偶性解 不等式 利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已 知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)> f(x2)的形式;根据奇函数在对称区间上的 单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性 相反,去掉不等式中的“f”,转化为简单不等 式(组)求解。特别提醒:列不等式(组)时,不 要忘掉函数的定义域。 例11 设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m) <f(m),求实数m 的取值范围。 解:因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2] 上单调递减,所以f(x)在[-2,2]上单调递 减,所以不等式f(1-m)<f(m)等价于 1-m>m, -2≤m≤2, -2≤1-m≤2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得-1≤m< 1 2 ,所以实 数m 的取值范围为 -1, 1 2 。 跟踪训练11:已知f(x)是定义在 R上 的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增。 若f(-3)=0,则 f(x) x <0 的解集为 。 提示:因为f(x)是定义在 R 上的偶函 数,且在区间(-∞,0)上 单 调 递 增,所 以 f(x)在 区 间(0,+ ∞)上 单 调 递 减,所 以 f(3)=f(-3)=0。当x>0时,由 f(x) x < 0,解得x>3;当x<0时,由f (x) x <0 ,解得 -3<x<0。故所求解集为{x|-3<x<0 或x>3}。 题型12:幂函数性质的应用 解决幂函数的综合问题,要熟练掌握幂 函数的图像和单调性,会根据待定系数法求 幂函数的解析式,并结合幂函数的定义域判 断幂函数的单调性和奇偶性。 例12 (1)比较下列各组数中两个数的 大小:① 25 0.3 与 1 3 0.3 ;② - 2 3 -1 与 - 3 5 -1 。 (2)已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)· x m-32的图像过点(4,2)。①求f(x)的解析 式;②判断函数的单调性,并进行证明;③若 f(a+1)>f(2a-3),求实数a的取值范围。 解:(1)①因为y=x0.3 在(0,+∞)上是 增函数,又2 5> 1 3 ,所以 2 5 0.3 > 13 0.3 。 ②因为幂函数y=x-1 在(-∞,0)上是 减函数,又 - 2 3 < - 3 5 ,所 以 - 2 3 -1 > - 3 5 -1 。 (2)①因为f(x)=(m2-2m+1)x m-32 74 经典题突破方法 高一数学 2024年10月 为幂函数,所以 m2-2m+1=1,所以 m=2 或m=0。当m=2时,f(x)=x 1 2,其图像过 点(4,2);当m=0时,f(x)=x -32,其图像不 过点(4,2),舍去。综上可知,f(x)=x 1 2。 ②函数f(x)=x 1 2在[0,+∞)上为增函数。 设x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)- f(x2)= x1- x2= x1-x2 x1+ x2 。 因为0≤x1<x2,所以 x1-x2 x1+ x2 <0, 即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2), 所以f(x)在[0,+∞)上为增函数。 ③已知函数f(x)在[0,+∞)上为增函数, 由f(a+1)>f(2a-3),可得 a+1>2a-3, a+1≥0, 2a-3≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 3 2≤a<4 ,即实数a∈ 32 ,4 。 跟踪训练12:已知函数f(x)=x 1 m2+m (m∈N*)。若该函数的图像经过点(2,2), 试确定m 的值,并求满足条件f(2-a)> f(a-1)的实数a的取值范围。 提示:因为该函数图像过点(2,2),所以 2 1 m2+m= 2,所以 m2+m=2,所以 m=1或 m=-2(舍去),所以f(x)=x 1 2。由f(2- a)>f(a-1),可得 2-a≥0, a-1≥0, 2-a>a-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得1≤ a< 3 2 。故m 的值为1,满足条件f(2-a)> f(a-1)的实数a的取值范围为 1, 3 2 。 题型13:二次函数模型的应用 根据实际问题建立函数模型的解析式 后,可利用配方法、判别式法、换元法及函数 的单调性等求最值,从而解决实际问题中的 利润最大、用料最省等最值问题。 例13 某水果批发商销售每箱进价为 40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元 且不得高于55元。市场调查发现,若每箱以 50元的价格销售,则平均每天销售90箱,且 价格每提高1元,平均每天少销售3箱。 (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售 单价x(元/箱)之间的函数关系式。 (2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式。 (3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以 获得最大利润? 最大利润是多少? 解:(1)根据题意得y=90-3(x-50), 所以y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N)。 (2)因为该批发商平均每天的销售利润 =平均每天的销售量×每箱销售利润,所以 W=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x- 9600(50≤x≤55,x∈N)。 (3)因为 W =-3x2+360x-9600= -3(x-60)2+1200,所以当x<60时,W 随 x 的增大而增大。又50≤x≤55,x∈N,所以 当x=55 时,W 有 最 大 值,且 最 大 值 为 1125。所以当每箱苹果的售价为55元时, 可以获得最大利润,且最大利润为1125元。 跟踪训练13:据市场分析,某海鲜加工 公司当月产量在10t至25t时,月总成本y (万元)可以看成月产量x(t)的二次函数。 当月产量为10t时,月总成本为20万元。当 月产量为15t时,月总成本最低为17.5万 元,为二次函数的顶点。 (1)写出月总成本y(万元)关于月产量 x(t)的函数关系式。 (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元, 那么月产量为多少时,可获最大利润? 提示:(1)设y=a(x-15)2+17.5(a≠ 0),将x=10,y=20代入上式得20=25a+ 17.5,解得a= 1 10 。故y= 1 10 (x-15)2+ 17.5(10≤x≤25)。 (2)设利润为Q(x),则Q(x)=1.6x- y=1.6x- 1 10 (x-15)2+17.5 =-110(x -23)2+12.9(10≤x≤25)。所以当月产量 为23t时,可获最大利润12.9万元。 作者单位:新乡职业技术学院 (责任编辑 郭正华) 84 经典题突破方法 高一数学 2024年10月