20 对钩函数f ( x ) = ax + b/x模型及应用-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

对钩函数f(x)=ax+ b x 模型及应用 ■吴 荣 对钩函数f(x)=ax+ b x ,当a≠0,b≠0 时,是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b x “叠加”而成的奇函数。 一、定义法探究对钩函数的奇偶性和单 调性 例1 已知对钩函数f(x)=x+ a x (a> 0,x∈R,x≠0)。 (1)利用函数的单调性,证明f(x)在(0, a),(a,+∞)上的单调性。 (2)证明f(x)的奇偶性。 解:(1)设0<x1<x2,则x1-x2<0,所 以f(x1)-f(x2)=x1+ a x1 -x2- a x2 =(x1 -x2)+ a(x2-x1) x1x2 =(x1-x2)· x1x2-a x1x2 。 当0<x1<x2< a时,x1x2<a,则x1x2 -a<0,可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)> f(x2),此时函数f(x)为减函数。 当 a<x1<x2 时,x1x2>a,则x1x2- a>0,可得f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)< f(x2),此时函数f(x)为增函数。 (2)因 为 f(-x)= -x + a -x = - x+ a x =-f(x),所以f(x)为奇函数。 感悟:对钩函数f(x)=ax+ b x (a≠0, b≠ 0) 的 增 区 间 为 -∞, b a 􀭤􀭥 􀪁􀪁 , b a ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 , 减 区 间 为 0, ba 􀭤􀭥 􀪁􀪁 , - b a ,0 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。利用奇函数的对称性可得到 对钩函数的图像。 二、利用对钩函数研究单调区间和值域 例2 函数y=x+ t x (t>0)的图像形状 像对钩,我们称形如“y=x+ t x (t>0)”的函 数为“对钩函数”,该函数具有的性质:在(0, t]上是减函数,在(t,+∞)上是增函数。 (1)若函数h(x)=x+ 4 x ,x∈[1,2],求 h(x)的最值。 (2)已知f(x)=2x+ 4 2x-1-5 ,x∈[1, 3],利用上述性质,求函数f(x)的单调区间 和值域。 解:(1)由题意知函数h(x)=x+ 4 x 在 [1,2]上单调递减,所以h(x)min=h(2)=2+ 2=4,h(x)max=h(1)=5。 (2)利用换元法求对钩函数在区间上的 值域。已知f(x)=2x-1+ 4 2x-1-4 ,令 2x-1=m,由1≤x≤3,可得1≤m≤5。函 数f(x)等价于函数k(m)=m+ 4 m-4 ,1≤ m≤5。由对钩函数的性质得k(m)在[1,2] 上单调递减,在(2,5]上单调递增,所以f(x) 在 1, 3 2 上是减函数,在 32,3 上是增函 数,且f(1)=1,f 3 2 =0,f(3)=95。综上 可得,f(x)的单调递减区间为 1, 3 2 ,单调 递增区间为 3 2 ,3 ,值域为 0,95 。 感悟:解题时,利用换元法,结合对钩函 数在区间上的单调性求出最值。 三、利用对钩函数探究均值不等式取不 到的最值 例3 函数f(x)= x2+3x+3 x+1 (x≥1) 的最小值是 。 解:令x+1=t(t≥2),则x=t-1,所以 函数f(x)= x2+3x+3 x+1 (x≥1)等价于函数 14 创新题追根溯源 高一数学 2024年10月 y= t2+t+1 t =t+ 1 t+1 (t≥2)。由对钩函 数的性质可知,函数y= t2+t+1 t 在[2,+∞) 上单调递增,所以当t=2,即x=1时函数取 得最小值 7 2 ,即ymin= 7 2 。故函数f(x)= x2+3x+3 x+1 (x≥1)的最小值为 7 2 。 感悟:题中y= t2+t+1 t =t+ 1 t+1≥ 2 t· 1 t +1=3 ,但这时的最小值3是取不 到的。 四、利用对钩函数求恒(能)成立中的参 数范围 例4 (1)若∀x∈(-1,1),x2-ax+ 2a<0,则实数a的取值范围为 。 (2)下列不等式一定成立的是( )。 A. x 2+ 2 x≥2 B.x+3+ 1 x+3≥2 (其中x>-3) C. x2+5 x2+4 ≥2 D.x-1+ 1 x-1≥2 (其中x>2) 解:(1)(方法1)当x∈(-1,1)时,2- x∈(1,3),则x2-ax+2a<0,即a(2-x)< -x2,所以a<- x2 2-x 在x∈(-1,1)上恒成 立。令2-x=t∈(1,3),则x=2-t,故 - x2 2-x=- (2-t)2 t =-t+ 4 t +4。 因为f(t)=t+ 4 t 在(1,2]上单调递减, 在(2,3)上单调递增,且f(1)=5,f(3)= 13 3 , f(2)=4,所以当1<t<3时,t+ 4 t∈ [4,5), 则-t+ 4 t +4∈(-1,0],故a≤-1,即实 数a的取值范围为(-∞,-1]。 (方法2)令f(x)=x2-ax+2a,其图像 的开口向上。若∀x∈(-1,1),x2-ax+ 2a<0,则 f(-1)=3a+1≤0, f(1)=a+1≤0, 解得a≤-1, 故实数a的取值范围为(-∞,-1]。 (2)对 于 A,当 x>0 时, x 2 + 2 x ≥ 2 x 2 ·2 x =2 ,当且仅当x=2时等号成立; 当 x<0 时, x 2 + 2 x = - - x 2- 2 x ≤ -2 - x 2 · -2x =-2,当且仅当x= -2时等号成立。所以 x 2+ 2 x≥2 或 x 2+ 2 x≤-2 ,A错误。对于B,因为x>-3,所 以 x +3>0,所 以 x +3+ 1 x+3≥ 2 (x+3)· 1 x+3=2 ,当 且 仅 当 x+3= 1 x+3 ,即x=-2时等号成立,B正确。对于 C,因 为 x2+4 ≥ 2,所 以 x2+5 x2+4 = x2+4+1 x2+4 = x2+4 + 1 x2+4 。令 t= x2+4,t≥2,则y=t+ 1 t ,t≥2。由对钩 函数的性质知y=t+ 1 t 在[2,+∞)上单调 递增,所以 y=t+ 1 t ≥2+ 1 2= 5 2 ,所以 x2+5 x2+4 ≥ 5 2 ,C错误。对于 D,因为x>2, 所以x-1>1。令 m=x-1,m>1,由对钩 函数的性质知y=m+ 1 m 在(1,+∞)上单调 递增,所以y=m+ 1 m>1+1=2 ,即x-1+ 1 x-1>2 ,D错误。应选B。 感悟:不等式恒成立或能成立中的参数 范围问题,可转化为对钩函数在区间上的单 调性求解。 作者单位:江苏省如皋市第二中学 (责任编辑 郭正华) 24 创新题追根溯源 高一数学 2024年10月