19 与函数“新定义”型问题过过招-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■王佩其 “新定义”型问题是指在问题中定义了高 中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符 号等,要求根据新定义进行运算、推理、迁移 的一种题型。下面列举几个函数新定义型问 题,让我们与它们过过招吧! 一、Max函数 例1 定义 max{a,b}= a,a≥b, b,b>a, 设函 数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,记函数 F(x)=max{f(x),g(x)},且函数F(x)在 区间[m,n]上的值域为[0,1],则区间[m,n] 的长度的最大值是( )。 A.1 B. 3 2 C. 7 4 D.2 分析:令f(x)≥g(x),求出所对应的x 的取值范围,从而求出F(x)的解析式,画出 F(x)的图像,由F(0)=F(-2)=1,F(-1) =0,求出区间[m,n]的长度的最大值。 解:令f(x)≥g(x),则x+1≥(x+ 1)2,解 得 -1≤x ≤0,所 以 F (x)= max{f(x),g(x)}= (x+1)2,x>0, x+1,-1≤x≤0, (x+1)2,x<-1。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 画出F(x)的图像,如图1所示。 图1 易得F(0)=F(-2)=1,F(-1)=0。 要使F(x)在区间[m,n]上的值域为[0,1], 结合图像可知,当n=0时,-2≤m≤-1,当 m=-2时,-1≤n≤0,所以当m=-2,n= 0时区间[m,n]的长度取得最大值,其最大 值为2。应选D。 二、高斯函数 例2 高斯,德国著名数学家、物理学 家、天文学家,是近代数学奠基者之一,享有 “数学王子”之称。函数y=[x]称为高斯函 数,其中[x]表示不超过实数x 的最大整数, 当x∈(-1.5,3]时,函数y= x-2 2 的值域 为( )。 A.{-1,0} B.{-2,1,0} C.{2,-1,0} D.{-2,-1,0} 分析:利用高斯函数的定义,结合分段函 数求值域。 解:由x∈(-1.5,3],可得-1.75< x-2 2 ≤0.5 。当-1.75< x-2 2 <-1 时,y= x-2 2 =-2;当-1≤x-22 <0时,y= x-2 2 =-1;当0≤x-22 ≤0.5时,y= x-2 2 =0。所以函数y= x-22 的值域为 {-2,-1,0}。应选D。 三、狄利克雷函数 例 3 (多 选 题)函 数 D (x)= 1,x∈Q, 0,x∉Q 称为狄利克雷函数。对于狄利克 雷函数,下列结论正确的是( )。 A.D[D(2)]=D[D(2)] B.D(x)的值域与函数f(x)= |x|+x 2x 的值域相同 C.D(x)是非奇非偶函数 D.对 任 意 实 数 x,都 有 D(x+1)= D(x) 分析:利用狄利克雷函数的定义进行分 93 创新题追根溯源 高一数学 2024年10月 析与判断。 解:对于A,根据狄利克雷函数的定义可 知,D[D(2)]=D(1)=1,D[D(2)]= D(0)=1,A正确。对于B,易知函数f(x) = x +x 2x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 当x∈(-∞,0)时,f(x)= x +x 2x =0 ,当 x∈(0,+∞)时,f(x)= x +x 2x =1 ,即函数 f(x)= x +x 2x 的值域为{0,1},B正确。对 于C,易知函数 D(x)的定义域关于原点对 称,当x∈Q时,-x∈Q,可得D(-x)=1= D(x),当x∉Q时,-x∉Q,可得D(-x)= 0=D(x),所以D(x)为偶函数,C错误。对 于D,当x∈Q时,x+1∈Q,可得D(x+1) =D(x)=1,当x∉Q 时,x+1∉Q,可得 D(x+1)=D(x)=0,D正确。应选ABD。 四、不动点函数 例4 (多选题)在数学中,布劳威尔不 动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点 定理,它可应用到有限维空间,并构成一般不 动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名 于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔,简单地讲 就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存 在一个点x0,使得f(x0)=x0,那么称该函 数为“不动点”函数。下列为“不动点”函数的 是( )。 A.f(x)= 1 x +x B.f(x)=x2-x-3 C.f(x)= 2x2-1,x≤1, |2-x|,x>1 D.f(x)= 1 x-x 分析:根据题中所给定义,判断f(x0)= x0 是否有解即可。 解:对于A,当 1 x0 +x0=x0,即 1 x0 = 0时,该 方 程 无 解,A 不 满 足。对 于 B,当 x20-x0-3=x0 时,可得x0=3或x0=-1, B满足。对于C,当x0≤1时,由2x20-1= x0,解得x0=1或x0=- 1 2 ,当x0>1时, 2-x0 =x0,方程无解,C满足。对于D,当 1 x0 -x0=x0 时,可得x0=± 2 2 ,D满足。应 选BCD。 五、局部奇函数 例5 定义:对于函数f(x),若定义域 内存在实数x0 满足f(-x0)=-f(x0),则 称f(x)为“局部奇函数”。若f(x)= 2 3-x -a是定义在区间(-1,1)上的“局部奇函 数”,则实数a的取值范围是 。 分析:利用方程f(x)+f(-x)=0在区 间(-1,1)上有解,可得a的取值范围。 解:若f(x)= 2 3-x-a 是定义在区间 (-1,1)上的“局部奇函数”,则方程f(x)+ f(-x)= 2 3-x-a+ 2 3+x-a=0 在区间 (-1,1)上有解,即a= 1 x+3- 1 x-3 在区间 (-1,1)上有解。设函数 g(x)= 1 x+3- 1 x-3 ,x∈(-1,1),则g(x)= 6 9-x2 ,x∈ (-1,1),所以函数y=g(x)与直线y=a在 区间(-1,1)上有交点。函数g(x)= 6 9-x2 , x∈(-1,1),满足g(-x)=g(x),所以 g(x)是偶函数,故只需研究g(x)在[0,1)上 的最值即可。 因为函数y=9-x2 在[0,1)上单调递 减,y= 6 x 在(0,+∞)上单调递减,所以函数 g(x)= 6 9-x2 在区间[0,1)上单调递增。又 g(0)= 6 9= 2 3 ,g(1)= 3 4 ,所以2 3≤g (x)< 3 4 ,所以2 3≤a< 3 4 ,即实数a 的取值范围为 2 3 ,3 4 。 作者单位:江苏省太仓市明德高级中学 (责任编辑 郭正华) 04 创新题追根溯源 高一数学 2024年10月