18 函数的概念与性质核心考点综合演练-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■欧阳亮1 刘中亮2(特级教师) 一、选择题 1.若函数y=f(3x-1)的定义域是[1, 3],则y=f(x)的定义域是( )。 A.[1,3] B.[2,4] C.[2,8] D.[3,9] 2.已知幂函数f(x)=xα 的图像过点 1 2 ,2 2 ,则f(2)等于( )。 A.2 B.2 C. 1 2 D. 2 2 3. 已 知 函 数 f (x ) = x2+2ax+3,x≤1, ax+1,x>1 是R 上的减函数,则实 数a的取值范围是( )。 A.[-3,-1] B.(-∞,-1] C.[-1,0) D.[-2,0) 4.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足 x1f(x1)-x2f(x2) x1-x2 <0,且f(2)=4,则不等 式f(x)- 8 x>0 的解集为( )。 A.(4,+∞) B.(0,4) C.(0,2) D.(2,+∞) 5.若幂函数的图像过点 -2,- 1 2 ,则 它在[1,3]上的最大值为( )。 A. 1 3 B.-1 C.1 D.-3 6.f(x)是 定 义 域 为 R 的 奇 函 数,且 f(1+x)-f(x)=0,若f 3 5 =-35,则 f 7 5 等于( )。 A.- 7 5 B.- 3 5 C. 3 5 D. 7 5 7.设函数y=f(x)(x≠0),对于任意负 数x1,x2(x1≠x2),都有 x22f(x1)-x21f(x2) x1-x2 <0。已知函数y=f(x+1)的图像关于x= -1对称,若f(2)=4,则f(x)≤x2 的解集 为( )。 A.[-2,0)∪(0,2] B.(-∞,-2]∪(0,2] C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,0)∪[2,+∞) 8.已知f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在[0,+∞)上单调递减,则满足f(a-1) >f(2)的实数a的取值范围是( )。 A.(-∞,3] B.(-1,3) C.(-1,+∞) D.(1,3) 9. 已 知 函 数 f (x ) = (a-1)x+2a,x<0, x2-2x,x≥0 有最小值,则实数a的 取值范围是( )。 A.- 1 2 ,1 B.-12,1 C.- 1 2 ,1 D.-12,1 10.(多选题)函数f(x)是定义在 R上 的奇函数,下列命题中正确的是( )。 A.f(0)=0 B.若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1, 则f(x)在(-∞,0]上有最大值1 C.若f(x)在[1,+∞)上单调递增,则 f(x)在(-∞,-1]上单调递减 D.若x>0,f(x)=x2-2x,则当x<0 33 核心考点演练 高一数学 2024年10月 时,f(x)=-x2-2x 11.(多选题)对于定义域为 D 的函数 y=f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在 D 内单调递增或单调递减,②存在区间[a, b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b], 那么把y=f(x)(x∈D)称为闭函数。下列 结论正确的是( )。 A.函数y=x 是闭函数 B.函数y=x2+1是闭函数 C.函数y=-x2(x≤0)是闭函数 D.函数f(x)= x 1+x (x>-1)是闭函数 12.(多 选 题)已 知 函 数 f (x)= x2,-2≤x<1, -x+2,x≥1, 则关于函数f(x)的结论正 确的是( )。 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞,4] C.若f(x)=2,则x 的值是- 2 D.f(x)<1的解集为(-1,1) 13.(多选题)已知f(x),g(x)是定义在 [t,+∞)上的增函数,f(t)=g(t)=M,若对 任意k>M,∃x1<x2,使得f(x1)=g(x2) =k成立,则称g(x)是f(x)在[t,+∞)上 的“追逐函数”。已知f(x)=x2,则下列四个 函数中是f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数” 的是( )。 A.g(x)=2x-1 B.g(x)= 1 2x 2+ 1 2 C.g(x)= 3 2 x-1 D.g(x)=2- 1 x 14.(多选题)若函数 f(x)同时满足: ①对于定义域上的任意 x,恒 有 f(x)+ f(-x)=0,②对于定义域上的任意x1,x2, 当x1≠x2 时,恒有 f(x1)-f(x2) x1-x2 <0,则称 函数f(x)为“理想函数”。下列四个函数中 能被称为“理想函数”的是( )。 A.f(x)=-x B.f(x)=- 3x C.f(x)=x3+x D.f(x)= 2 3-x 二、填空题 15.已知f(x)= x2-3,x>0, g(x),x<0 是奇函 数,则f(-3)= ,f[g(-3)]= 。 16.已知函数f(x)是 R上的奇函数,函 数f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(-5)= 0,则不等式(x-3)f(x)>0的解集是 。 17.若f(x)= ax+1 x-1 在区间(1,+∞)上 单调递增,则实数a的取值范围是 。 18.函数f(x)为奇函数,f(x+2)是定 义在(-3,-1)上的减函数,若f(m-1)+ f(3-2m)<0,则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 。 三、解答题 19.已知函数f(x)是一次函数,且满足 f(x-1)+f(x)=2x-1。 (1)求f(x)的解析式。 (2)判断函数 g(x)= f(x) f(x-1) 在(1, +∞)上的单调性,并用函数单调性的定义给 予证明。 20.已知二次函数f(x)的最小值为1, 且f(0)=f(2)=3。 (1)求f(x)的解析式。 (2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单 调,求实数a的取值范围。 (3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像 恒在y=2x+2m+1的图像上方,试确定实 数m 的取值范围。 21.已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)· xm 2-7(m∈Z)的定义域为R,且在[0,+∞)上 单调递增。 (1)求m 的值。 (2)∀x∈[1,2],不等式af(x)-3x+ 2>0恒成立,求实数a的取值范围。 22.已知函数f(x)的定义域为 R,且函 数f(x)同时满足下列三个条件:①对任意的 实数x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)+2恒成 立,②当x>0时,f(x)<-2,③f(1)=3。 (1)求f(0)和f(-1)的值。 (2)求证:函数y=f(x)+2既是R上的 奇函数,又是R上的减函数。 43 核心考点演练 高一数学 2024年10月 (3)若f 1 2t 2 -2f 3t2-1 >2,求实数 t的取值范围。 23.设函数y=f(x)是定义在(0,+∞) 上的减函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y), f 1 2 =1。 (1)求f(1)和f(2)的值。 (2)如果f x 8 +f(x-1)<2,求x 的 取值范围。 24.已知函数f(x)=x2+ 2 x 。 (1)求f(1)和f(2)的值。 (2)设a>b>1,试比较f(a),f(b)的大 小,并说明理由。 (3)若 关 于 x 的 不 等 式f(x-1)≥ 2(x-1)+ 2 x-1+m 恒成立,求实数m 的取 值范围。 一、选择题 1.提示:因为函数y=f(3x-1)的定义 域是[1,3],所以1≤x≤3,则2≤3x-1≤8, 即函数y=f(x)的定义域是[2,8]。应选C。 2.提示:因为幂函数f(x)=xα 的图像 过点 1 2 ,2 2 ,所以 12 α = 2 2 = 1 2 1 2,则 α= 1 2 ,所以f(x)=x 1 2,所以f(2)=2 1 2= 2。应选A。 3.提示:因为函数f(x)是 R 上的减函 数,所以 - 2a 2≥1 , a<0, 12+2a+3≥a+1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得-3≤a≤ -1。应选A。 4.提 示:设 g(x)=xf(x)。因 为 x1f(x1)-x2f(x2) x1-x2 <0,即 g(x1)-g(x2) x1-x2 < 0,所以函数g(x)是减函数。不等式f(x)- 8 x>0 ,即xf (x)-8 x >0 ,因为x∈(0,+∞), 所以不等式等价于xf(x)-8=g(x)-8> 0,即xf(x)>8。因为f(2)=4,又g(2)= 2·f(2)=8,所以当x∈(0,2)时,g(x)> g(2)=8,即 g(x)-8>0,所 以 不 等 式 xf(x)>8的解集为(0,2)。应选C。 5.提 示:设 幂 函 数 f(x)=xα,将 点 -2,- 1 2 代入得(-2)α=-12,解得α= -1,所以函数f(x)=x-1= 1 x ,且在[1,3]上 单调递减。故当x=1时,f(x)max=f(1)= 1。应选C。 6.提示:因为f(1+x)=f(x),所以函 数的周期为1。因为f(x)是定义域为 R的 奇函 数,又 f 3 5 = -35,所 以 f 75 = f 7 5-2 =-f 35 =35。应选C。 7.提 示:不 妨 设 x1 <x2 <0。由 x22f(x1)-x21f(x2) x1-x2 <0,可 得 x22f(x1)- x21f(x2)>0。因 为 x21>0,x22>0,所 以 f(x1) x21 - f(x2) x22 >0,所以函数g(x)= f(x) x2 在(-∞,0)上单调递减。因为y=f(x+1) 的图像关于x=-1对称,所以f(x)为偶函 数,所以g(x)= f(x) x2 为偶函数,且g(x)在 (-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递 增,g(2)= f(2) 4 =1 。f(x)≤x2 等价于 g(x)= f(x) x2 ≤1,所以当0<x≤2时,g(x) ≤1;当-2≤x<0时,g(x)≤1。所以不等 式的解集为[-2,0)∪(0,2]。应选A。 8.提示:因为f(x)是定义在 R 上的偶 函数,所以f(x)=f(|x|),即f(|a-1|)> f(2)。又因为函数f(x)在[0,+∞)上单调 递减,所以|a-1|<2,解得-1<a<3。应 选B。 9.提示:当x≥0时,f(x)=(x-1)2- 1,此时f(x)min=f(1)=-1。当x<0时, f(x)=(a-1)x+2a,当a=1时,f(x)=2 为常数函数,但在 R上满足函数f(x)有最 53 核心考点演练 高一数学 2024年10月 小值-1,当a≠1时,f(x)为单调的一次函 数,要 使 在 R 上 有 最 小 值 -1,需 满 足 a-1<0, (a-1)×0+2a≥-1, 解 得-12 ≤a<1。 综上可得,实数a 的取值范围为 - 1 2 ,1 。 应选C。 10.提示:对于A,函数f(x)是定义在R 上的奇函数,则f(-x)=-f(x),当x=0 时,可得f(0)=-f(0),即f(0)=0,A正 确。对于B,若f(x)在[0,+∞)上有最小值 -1,即当x≥0时,f(x)≥-1,则-x≤0, f(-x)=-f(x)≤1,即f(x)在(-∞,0] 上有最大值1,B正确。对于C,奇函数在对 应的区间上单调性相同,若f(x)在[1,+∞) 上单调递增,则f(x)在(-∞,-1]上单调递 增,C错误。对于D,设x<0,则-x>0,所 以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,所 以f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2- 2x,D正确。应选ABD。 11.提示:y=x 是 R上的单调递增的一 次函数,且在R上任意子区间都满足新定义, A正确。若函数是闭函数,可设x∈[a,b], y∈ [a,b],假 设 函 数 单 调 递 增,则 a=a2+1, b=b2+1, 显然无解,若函数单调递减,则 a=b2+1, b=a2+1, 解得a=b,显然不成立,B错误。 函数是图像开口向下的二次函数,且在区间 (-∞,0]上单调递增,令f(x)=-x2,若是 闭函数,则一定有 f(a)=a, f(b)=b, 即 -a 2=a, -b2=b, 解 得满足新定义的闭区间是[-1,0],此时a= -1,b=0,C正确。函数在(-1,+∞)上单 调递 增,若 满 足 新 定 义,则 f(a)=a, f(b)=b, 即 a a+1=a , b b+1=b , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a=b,显然不成立,D错误。 应选AC。 12.提 示:易 得 函 数 f (x)= x2,-2≤x<1, -x+2,x≥1 的定义域是[-2,+∞),A 错误。当-2≤x<1时,f(x)=x2,其值域 为[0,4],当x≥1时,f(x)=-x+2,其值域 为(-∞,1],所以f(x)的值域为(-∞,4], B正确。当x≥1时,由f(x)=-x+2=2, 解得x=0,不符题意,当-2≤x<1时,由 f(x)=x2=2,解得x=- 2,C正确。当 -2≤x<1时,由f(x)=x2<1,解得-1< x<1,当x≥1时,由f(x)=-x+2<1,解 得x>1,故f(x)<1的解集为(-1,1)∪(1, +∞),D错误。应选BC。 13.提示:f(x)=x2 为[1,+∞)上的增 函数,f(1)=1=M,值域为[1,+∞)。若对 任意k>1,∃x1<x2,使得f(x1)=g(x2)= k成立,则g(x)值域为[1,+∞),且在(1, +∞)上f(x)的图像在g(x)的图像的上方。 g(x)=2x-1在[1,+∞)上的值域为[1, +∞),x2-(2x-1)=(x-1)2≥0在定义域 上当x=1时等号成立,则在(1,+∞)上 f(x)的图像在g(x)的图像的上方,符合要 求,A正确。g(x)= 1 2x 2+ 1 2 在[1,+∞)上 的值域为[1,+∞),x2- 12x 2+ 1 2 =12· (x2-1)≥0,在定义域上当x=1时等号成 立,则在(1,+∞)上f(x)的图像在g(x)的 图像 的 上 方,符 合 要 求,B 正 确。因 为 g(21)= 3 2 21-1 = 32 20 = 32 10 2 = f 3 2 10 ,但 32 10 = 81×81×9 32×32 >21 ,即当 f(x1)=g(x2)= 3 2 20 时,x1>x2,所以 g(x)不是 f(x)在[1,+∞)上的“追逐函 数”,C错误。g(x)=2- 1 x 在[1,+∞)上的 值域为[1,2),则当k=3时,不存在x1<x2, 使得f(x1)=g(x2)=3成立,所以g(x)不 是f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”,D错 误。应选AB。 14.提示:由①知f(x)为定义域上的奇 函数,由②知f(x)在定义域内单调递减。 63 核心考点演练 高一数学 2024年10月 f(x)=-x 为 R上的奇函数且在 R上单调 递减,符合“理想函数”定义,A正确。f(x) =- 3x=-x 1 3为R上的奇函数且在R上单 调递 减,符 合 “理 想 函 数”定 义,B 正 确。 f(x)=x3+x 为 R上的奇函数且在 R上单 调递增,不符合“理想函数”定义,C错误。 f(x)= 2 3-x 是R上的非奇非偶函数,不符 合“理想函数”定义,D错误。应选AB。 二、填空题 15.提示:因为函数f(x)是奇函数,所以 f(-3)=g(-3)=-f(3)=-6,所以 f[g(-3)]=f(-6)=-f(6)=-33。 16.提示:由f(x)是 R上的奇函数,且 f(-5)=0,可得f(5)=-f(-5)=0。由 函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,可知在区 间(0,5)上,f(x)>0,在区间(5,+∞)上, f(x)<0。因为函数为奇函数,所以在区间 (-5,0)上,f(x)<0,在区间(-∞,-5)上, f(x)>0。由不等式(x-3)f(x)>0,可得 x-3>0, f(x)>0 或 x-3<0 , f(x)<0, 解得-5<x<0或3 <x<5,即不等式的解集为(-5,0)∪(3,5)。 17.提 示:函 数 f (x)= ax+1 x-1 = a(x-1)+1+a x-1 =a+ a+1 x-1 。由复合函数的 单调性知g(x)= a+1 x-1 在(1,+∞)上单调递 增,所以a+1<0,解得a<-1,所以实数a 的取值范围是(-∞,-1)。 18.提示:由题意知f(x+2)的定义域为 (-3,-1),所以f(x)的定义域为(-1,1), 所以 -1<m-1<1, -1<3-2m<1, 解得1<m<2。因为 f(x+2)是(-3,-1)上的减函数,所以奇函 数f(x)在(-1,1)上单调递减。由f(m- 1)+f(3-2m)<0得f(m-1)<-f(3- 2m),所以f(m-1)<f(2m-3),即m-1> 2m-3,解得m<2。综上可得,1<m<2,即 实数m∈(1,2)。 三、解答题 19.提示:(1)设一次函数f(x)=ax+b (a≠0)。由f(x-1)+f(x)=2x-1,可得 a(x-1)+b+ax+b=2x-1,整理得(2a- 2)x+2b-a+1=0,所以 2a-2=0, 2b-a+1=0, 解 得 a=1, b=0, 所以f(x)=x。 (2)g(x)= f(x) f(x-1) = x x-1=1+ 1 x-1 , 可判断g(x)=1+ 1 x-1 在(1,+∞)上单调 递减,证明如下。 任取x1,x2∈(1,+∞)且x1>x2,则 g(x1)-g(x2)=1+ 1 x1-1 - 1+ 1 x2-1 = x2-x1 (x1-1)(x2-1) 。因 为 x1>x2 >1,所 以 x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0,所以g(x1) -g(x2)<0,即g(x1)<g(x2),所以函数 g(x)在(1,+∞)上单调递减。 20.提示:(1)由f(x)是二次函数,且 f(0)=f(2),可得f(x)的对称轴为x=1。 由最小值为1,可设f(x)=a(x-1)2+1。 由f(0)=3,即a×(0-1)2+1=3,解得a= 2,所以f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3。 (2)由(1)得函数f(x)=2x2-4x+3, 其对称轴为x=1。要使f(x)在区间[2a, a+1]上不单调,需满足2a<1<a+1,解得 0<a< 1 2 ,即实数a的取值范围是 0, 1 2 。 (3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像 恒在y=2x+2m+1的图像上方,则2x2- 4x+3>2x+2m+1在区间[-1,1]上恒成 立,化简得m<x2-3x+1在区间[-1,1]上 恒成立。设 函 数 g(x)=x2-3x+1,则 g(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以g(x) 在区间[-1,1]上的最小值为g(1)=-1,所 以m < -1,所 以 实 数 m 的 取 值 范 围 为 (-∞,-1)。 21.提示:(1)由题意得m2+2m-2=1, 解得m=1或m=-3。 函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,当 m=1时,f(x)=x-6,不符合题意;当 m= -3时,f(x)=x2,符合题意。 73 核心考点演练 高一数学 2024年10月 综上可得,m=-3。 (2)∀x∈[1,2],ax2-3x+2>0恒成 立,即∀x∈[1,2],a> 3x-2 x2 =3 1x - 2 1x 2 恒成立。令t= 1 x∈ 1 2 ,1 ,g(t)= -2t2+3t,则g(t)在区间 1 2 ,3 4 上单调递 增,在区间 3 4 ,1 上单调递减,所以g(t)max =g 3 4 =98,所以a>98。故实数a的取值 范围是 9 8 ,+∞ 。 22.提示:(1)当x=y=0时,由题意得 f(0)=f(0)+f(0)+2,解得f(0)=-2。 当x=1,y=-1时,由题意得f(0)= f(1)+f(-1)+2,解得f(-1)=-7。 (2)令g(x)=f(x)+2,则g(0)=f(0) +2=0。任取x∈R,则g(x)+g(-x)= f(x)+f(-x)+4=f(x-x)+2=f(0)+ 2=0,即g(x)=-g(-x),所以函数y= f(x)+2是R上的奇函数。 任取x1,x2∈R,且x1>x2,则x1-x2> 0,所以 f(x1-x2)<-2。因为 f(x1)= f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+2< -2+f(x2)+2=f(x2),所以 f(x1)< f(x2),即 f(x1)+2<f(x2)+2,也 即 g(x1)<g(x2),所以函数y=f(x)+2是 R 上的减函数。 (3)已知f(x+y)=f(x)+f(y)+2, 令x=y,则 f(2x)=2f(x)+2,所 以 f(3t-2)=2f 3t 2-1 +2。因为f 12t2 - 2f 3t 2-1 >2,所以f 12t2 >f(3t-2),所 以f 1 2t 2 +2>f(3t-2)+2,即g 12t2 > g(3t-2)。由(2)知g(x)是 R上的减函数, 所以 1 2t 2<3t-2,即t2-6t+4<0,解得3- 5<t<3+ 5,所以实数t的取值范围为 (3- 5,3+ 5)。 23.提示:(1)令x=y=1,则f(1)= f(1)+f(1),所以f(1)=0。 因为f(1)=f2× 1 2 =f(2)+f 12 , 即0=f(2)+1,所以f(2)=-1。 (2)因 为 f 1 2 =1,所 以 f 14 = f 1 2× 1 2 =f 12 +f 12 =2。因 为 f x 8 +f(x-1)<2,所以f x8 +f(x- 1)<f 1 4 ,所以 f x 2-x 8 <f 14 。由 y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,可 得 x2-x 8 > 1 4 , x-1>0, x 8>0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得x>2,所以x 的取值范 围为(2,+∞)。 24.提示:(1)因为f(x)=x2+ 2 x ,所以 f(1)=12+ 2 1=3 ,f(2)=22+ 2 2=5 。 (2)f(a)>f(b),理由如下。 f(a)-f(b)=a2+ 2 a- b 2+ 2 b =(a2 -b2)+ 2a- 2 b = (a+b)(a-b)+ 2(b-a) ab = (a-b)a+b- 2 ab 。因为a> b>1,所以a+b>2,ab>1,所以 2 ab<2 ,所以 a+b- 2 ab>0 ,a-b>0,所以(a-b)· a+b- 2 ab >0,即f(a)>f(b)。 (3)已知函数f(x)=x2+ 2 x ,则原不等 式可化为(x-1)2+ 2 x-1≥2 (x-1)+ 2 x-1 +m,化简得x2-4x+3-m≥0对一切x 恒 成立,所以Δ=(-4)2-4×(3-m)≤0,解得 m≤-1,所以m∈(-∞,-1]。 作者单位:1.河南大学附属中学 2.河南省开封市第十中学 (责任编辑 郭正华) 83 核心考点演练 高一数学 2024年10月