16 分段函数的七种题型剖析-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■岳 坤 分段函数是指自变量取不同范围时所使 用的解析式不同的函数。求解分段函数要时 刻盯着自变量的范围是否在发生变化,即“分 段函数———分区间研究其性质”。 题型1:分段函数的求值 例 1 已 知 函 数 f (x ) = x(x+4),x≥0, x(x-4),x<0, 求f(1),f(-3),f(a+1) 的值。 解:求f(1),f(-3),可选用解析式求值; 求f(a+1),依据(a+1)和0的大小关系得到 新的分界点-1,通过分类选择解析式求值。 因为函数f(x)= x(x+4),x≥0, x(x-4),x<0, 所以 f(1)=1×(1+4)=5,f(-3)=-3×(-3 - 4)= 21。 易 得 f (a + 1) = (a+1)(a+5),a≥-1, (a+1)(a-3),a<-1。 点评:分段求值时,依据自变量的值选择 对应的解析式代入即可。当自变量不确定 时,合理分类,利用区间上的解析式求值。 题型2:分段函数的复合函数求值 例2 设函数f(x)= 2,x>0, 0,x=0, -2,x<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 g(x) = 1,x∈Q, -1,x∈(∁RQ), 则f[g(π)]的值为 。 解:求f[g(π)],需由内向外,合理选择 区间上的解析式求值。 因为π为无理数,所以g(π)=-1。又 因为-1<0,所以f[g(π)]=f(-1)=-2。 点评:分段函数的复合函数求值,注意由 内向外的复合过程,结合自变量的范围合理 选择区间上对应的解析式求值。本题先求 g(π)的值,再得到f[g(π)]的值。 题型3:分段函数与不等式 例 3 已 知 函 数 f (x ) = 1 x-1 ,1<x≤2 1 2x ,x>2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则满足f(a)>3的实数a 的取值范围是 。 解:求满足f(a)>3的实数a,需依据a 的取值范围选择解析式,这就要对a分两类, 利用f(a)构建不等式求解。 若1<a≤2,则f(a)= 1 a-1>3 ,解得 1<a< 4 3 ;若2<a,则f(a)= 1 2a>3 ,解得 6<a。故实数a 的取值范围是 1, 4 3 ∪(6, +∞)。 点评:求解分段函数的不等式,关键是利 用区间上的解析式,对整体变量合理分类,构 建不等式先求交集,再求并集,这充分凸显 “先分后合”的分类方法。 题型4:分段函数的值域 例4 设函数g(x)=x2-2(x∈R),函 数f(x)= g(x)+x+4,x<g(x), g(x)-x,x≥g(x), 则函数 f(x)的值域是( )。 A.- 9 4 ,0 ∪(1,+∞) B.[0,+∞) C.- 9 4 ,+∞ D.- 9 4 ,0 ∪(2,+∞) 解:由x<g(x),可得x<x2-2,即x< -1或x>2;由x≥g(x),可得x≥x2-2, 即 -1≤x≤2。 所 以 函 数 f (x)= x2+x+2,x<-1或x>2, x2-x-2,-1≤x≤2。 故当x<-1或 x>2时,f(x)∈(2,+∞);当-1≤x≤2时, f(x)∈ - 9 4 ,0 。综上可知,函数f(x)∈ - 9 4 ,0 ∪(2,+∞)。应选D。 点评:解答这类问题,先要清楚分段函数是 92 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 一个函数,不要把它误认为是几个函数,再要清 楚分段函数的定义域是各段定义域的并集,值 域是各段值域的并集。处理分段函数值域问题 有两种方法:一是先分段求值域,再取并集;二 是作出函数图像,观察图像得到值域。 题型5:分段函数的奇偶性 例 5 已 知 函 数 f (x ) = x2+x,x≤0, ax2+bx,x>0 为奇函数,则a+b= 。 解:当x<0时,-x>0,所以f(x)= x2+x,f(-x)=ax2-bx。 而f(-x)=-f(x),即-x2-x=ax2 -bx,所以a=-1,b=1,故a+b=0。 点评:解答这类问题,可以根据函数的周 期性和奇偶性,将待求函数值的自变量转化 到分段函数的定义域范围内求解,也可以根 据函数的奇偶性,利用x≤0时的解析式,求 出x≥0时的解析式,再求解。 题型6:分段函数的单调性 例 6 已 知 函 数 f (x) = (2a-1)x+4a,x<1, -x+1,x≥1 是定义在 R 上的减函 数,则a的取值范围为( )。 A.0, 1 2 B.13,12 C.16 ,1 2 D.13,12 解:已知当x≥1时为减函数,则当x<1 时也为减函数,且要求分界点处的函数值有 大小关系,构建不等式组求参数的范围。 因为f(x)为定义在 R 上的减函数,所 以 2a-1<0, (2a-1)×1+4a≥-1+1, 解得16≤a< 1 2 。应选C。 点评:分段函数由区间单调性到 R上单 调,既要考虑同步单调,又要考虑分界点处的 函数值的大小关系,同时借助图像的变化趋 势求解。 题型7:新定义的分段函数 例7 对于实数a 和b,定义运算“*”: a*b= a2-ab(a≤b), b2-ab(a>b), 设 f(x)=(2x- 1)*(x-1)且关于x 的方程f(x)=m(m∈ R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是 。 解:结合新定义运算,可得分段函数f(x) 的解析式为f(x)=(2x-1)*(x-1)= (2x-1)2-(2x-1)(x-1),x≤0, (x-1)2-(2x-1)(x-1),x>0, 所 以 函 数 f(x)= 2x2-x,x≤0, -x2+x,x>0, 其图像如图1所示。 图1 关于x 的方程f(x)=m 有三个互不相 等的实数根x1,x2,x3,即函数f(x)的图像 与直线y=m 有三个不同的交点,则0<m< 1 4 。不妨设从左到右的这三个交点的横坐标 分别为x1,x2,x3。当x>0时,由-x2+x= m,即x2-x+m=0,可得x2+x3=1,且 x2∈ 0, 1 2 ,所 以 x2x3 =x2 (1-x2)= - x2- 1 2 2 + 1 4 ,则0<x2x3< 1 4 。当x<0 时,由 2x2-x= 1 4 , x<0, 可 得 x=1- 34 ,所 以 1- 3 4 <x1<0 ,所以0<-x1< 3-1 4 ,所以 0<-x1x2x3< 3-1 16 ,所以1- 3 16 <x1x2x3 <0,即x1x2x3∈ 1- 3 16 ,0 。 点评:函数中的“新运算”问题,需依据 “新法则”进行合理运算与转化。本题由运算 法则化简函数f(x)=(2x-1)*(x-1)= 2x2-x(x≤0), -x2+x(x>0), 将问题转化为等高线下的 取值范围问题。 作者单位:湖北省谷城县第一中学 (责任编辑 郭正华) 03 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月