15 求函数值域的八种常用方法-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■黄 刚 值域在函数的三要素中起决定作用,值 域是由定义域和对应法则共同确定的。如何 求函数的值域,是同学们感到头痛的问题,它 所涉及的知识面广,方法灵活多样。 方法一:分式性质法 例1 函数y= 2023 x 的值域为 。 解:因为x≠0,所以 2023 x ≠0 ,所以函数 y= 2023 x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)。 评注:分式的分母不能为0;一个分式的 分子、分母不为0,该分式的值也不为0。 方法二:不等式性质法 例2 函数y=3-4 x的值域为 。 解:因为 x≥0,所以-4 x≤0,所以 3-4 x≤3,所以函数y=3-4 x的值域为 (-∞,3]。 评注:不等式的两边同乘以负数,不等式 的方向要改变。 方法三:函数的单调性法 例3 函数f(x)=x- 1 x 在区间[2,4] 上的值域为 。 解:因为f(x)=x- 1 x 在区间(0,+∞) 上单调递增,所以f(x)=x- 1 x 在区间[2, 4]上单调递增。 又因为f(2)= 3 2 ,f(4)= 15 4 ,所以函数 f(x)的值域为 3 2 ,15 4 。 评注:熟记特殊函数的单调区间是解题 的关键。函数f(x)=x- 1 x 的单调递增区 间为(-∞,0),(0,+∞),此函数无单调递减 区间。 方法四:配方法 例4 已知函数f(x)=x2-1的定义域 为[0,4],则函数y=f(x2)+[f(x)]2 的值 域为( )。 A.- 1 2 ,992 B.-12,24 C.- 1 2 ,4 D.-12,4-22 解:函数f(x)=x2-1的定义域为[0, 4],在 函 数 y=f(x2)+[f(x)]2 中,由 0≤x2≤4, 0≤x≤4, 解得0≤x≤2,所以函数 y= f(x2)+[f(x)]2 的定义域为[0,2]。 令t=x2,则t∈[0,4],所以y=f(x2) +[f(x)]2=x4-1+(x2-1)2=2x4- 2x2=2t2-2t=2t- 1 2 2 - 1 2 。当t= 1 2 , 即x= 2 2 时,ymin=- 1 2 ;当t=4,即x=2 时,ymax=24。所以y=f(x2)+[f(x)]2 的 值域为 - 1 2 ,24 。应选B。 评注:根据函数f(x)的定义域求出函数 y=f(x2)+[f(x)]2 的定义域,通过换元结 合配方法求出值域。对于二次函数y=ax2 +bx+c=a x+ b 2a 2 + 4ac-b2 4a ,当a>0 时,y 有最小值 4ac-b2 4a ;当a<0时,y 有最 大值 4ac-b2 4a 。 方法五:判别式法 例 5 函 数 y = 1+x+x2 1+x2 的 值 域 为( )。 A.(-∞,1)∪(1,+∞) 72 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 B.12 ,3 2 C.- 3 2 ,- 1 2 D.-∞, 1 2 ∪ 32,+∞ 解:原函数可化为关于x 的一元二次方 程(y-1)x2-x+y-1=0。 当y-1≠0,即y≠1时,由x∈R,Δ= (-1)2-4(y-1)(y-1)≥0,可得 1 2≤y≤ 3 2 ,且y≠1; 当y-1=0,即y=1时,可得x=0。 而1∈ 12 ,3 2 ,所以函数y=1+x+x 2 1+x2 的值域为 1 2 ,3 2 。应选B。 评注:本题易漏掉对y=1的讨论。 方法六:换元法 例6 函数y=2x- x-1的值域为 。 解:设t= x-1,则x=t2+1,且t≥0, 所以y=2(t2+1)-t=2t- 1 4 2 + 15 8 。 由t≥0,结合函数y=2(t2+1)-t= 2t- 1 4 2 + 15 8 的图像(图略),可得所求函数 的值域为 15 8 ,+∞ 。 评注:利用换元法求值域时,需注意新元 的取值范围。 方法七:图像法 例 7 已 知 函 数 f (x ) = 2x+2,x∈[-1,0], - 1 2x ,x∈(0,2), 3,x∈[2,+∞), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 则函数f(x)的值域为 。 解:作出函数f(x)的图像,如图1所示。 由题意知f(x)的定义域为[-1,+∞)。 由图像可知,f(x)的值域为(-1,2]∪{3}。 评注:求解与分段函数有关的问题,应注 意各段函数中自变量的取值范围。 图1 方法八:分类讨论法 例8 对于定义在R上的函数f(x),如 果存在实数m,使得f(m+x)·f(m-x)= 1对任意实数x∈R恒成立,则称f(x)为关 于m 的“δ 函数”。已知定义在 R上的函数 f(x)是关于0和1的“δ函数”,且当x∈[0, 1]时f(x)的值域为[1,2],则当x∈[-2,2] 时f(x)的值域为( )。 A.12 ,2 B.12,1 C.[1,2] D.[-1,2] 解:因为函数f(x)是关于0和1的“δ 函 数”,所 以 f (x)·f (-x)=1, f(1+x)f(1-x)=1。 由f(x)·f(-x)=1,可得f(x)= 1 f(-x) 。由f(1+x)f(1-x)=1,可得 f(2+x)f(-x)=1,所以f(2+x)=f(x), 所以f(x)是周期为2的周期函数。当x∈ [-1,0]时,-x∈[0,1],则f(x)= 1 f(-x) ∈ 12 ,1 ;当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],则 f(x)= 1 f(-x) = 1 f(2-x) = 12 ,1 ;当 x∈[-2,-1]时,-x∈[1,2],则f(x)= 1 f(-x) ∈ 12 ,2 。 综上可得,当x∈[-2,2]时,f(x)的值 域为 1 2 ,2 。应选A。 评注:解决新定义问题,要根据新定义的 含义,将问题转化为熟悉的知识求解。分类 讨论时,要层次分明、不重不漏。 作者单位:湖北省兴山县第一中学 (责任编辑 郭正华) 82 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月