14 "分离常数法"探究分式型反比例函数的图像与性质-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■张雨灵 形如y= ax-b cx-d 的函数,简称分式型反比 例函数,它是由反比例函数和一次函数复合 而成的。利用分离常数法,可以得到函数的 对称中心为 d c ,a c ,两条渐近线为x=dc和 y= a c ,进而可以研究单调区间及图像与性质 问题。 聚焦1:“分离常数法”探究分式型反比 例函数的单调性 例1 已知f(x)= ax+1 x+2 在区间(-∞, -2)上是严格增函数,则实数a 的取值范围 是 。 解:f(x)= ax+1 x+2= a(x+2)+1-2a x+2 = a+ 1-2a x+2 。因为f(x)在区间(-∞,-2)上 是严格增函数,所以1-2a<0,可得a> 1 2 , 即实数a∈ 12 ,+∞ 。 反思:理解分式型反比例函数的单调性 是解题的关键。 聚焦2:“分离常数法”探究分式型反比 例函数的图像变换过程 例2 设函数f(x)= 1-x 1+x ,则下列函数 中为奇函数的是( )。 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 解法1:探究函数f(x)= 1-x 1+x 的对称中 心,再利用奇函数的定义求解。由题意得 f(x)= 1-x 1+x=-1+ 2 1+x 。对于A,f(x- 1)-1= 2 x-2 ,定义域不关于原点对称,不是 奇函数。对于B,f(x-1)+1= 2 x 是奇函 数。对于C,f(x+1)-1= 2 x+2-2 ,定义域 不关 于 原 点 对 称,不 是 奇 函 数。对 于 D, f(x+1)+1= 2 x+2 ,定义域不关于原点对 称,不是奇函数。应选B。 解法2:探究函数f(x)= 1-x 1+x 的对称中 心,再利用图像平移验证即可。由题意得 f(x)= 1-x 1+x=-1+ 2 1+x ,其对称中心为 (-1,-1)。函数图像向右平移1个单位再 向上平移1个单位得到f(x-1)+1为奇函 数。应选B。 反思:函数奇偶性判断的前提条件是定 义域关于原点对称,再根据f(-x)与f(x) 的关系即可得到具体的结论,有时还可以借 助图像平移探究复合函数的奇偶性。本题对 函数f(x)= 1-x 1+x=-1+ 2 1+x 进行部分分 式法后产生两种不同的思维方法。 聚焦3:“分离常数法”探究分式型反比 例函数的值域 例3 (1)函数y= 2x+3 x+2 ,x∈[0,2]的 值域是 。 (2)函数y= 1-x2 2+x2 的值域是( )。 A.-1, 1 2 B.(-1,1) C.-∞, 1 2 D.(-2,2) (3)函数y= 4x- 2 x+1 的值域为 。 解:利用分式的分子和分母同次,结合部 分分式法探究值域。 (1)函数y= 2x+3 x+2= 2x+4-1 x+2 =2- 1 x+2 。因 为 x ∈ [0,2],所 以 1 x+2∈ 52 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 1 4 ,1 2 ,所以2- 1x+2∈ 32,74 ,即所求 函数的值域为 3 2 ,7 4 。 (2)函数y= 1-x2 2+x2 = -(x2+2)+3 2+x2 = -1+ 3 2+x2 。因为2+x2≥2,所以0< 1 2+x2 ≤ 1 2 ,所以-1<-1+ 3 2+x2 ≤ 1 2 ,所以函数 y= 1-x2 2+x2 的值域是 -1, 1 2 。应选A。 (3)函数y= 4x- 2 x+1 = 4x+4-4- 2 x+1 = 4x+4 x+1- 4+ 2 x+1=4- 4+ 2 x+1 。因为y= 1 x 的 值域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以y= 4+ 2 x+1 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以y=4- 4+ 2 x+1 的值域为(-∞,4)∪(4,+∞),即函 数y= 4x- 2 x+1 的 值 域 为(-∞,4)∪(4, +∞)。 反思:对于分式型函数,当分子和分母同 次时,利用部分分式法借助不等式即可求得 函数 的 值 域,如 y= cx+d ax+b ,变 形 过 程 为 cx+d ax+b= c a (ax+b)+d- bc a ax+b = c a + d- bc a ax+b , 再结合x 的取值范围确定 d- bc a ax+b 的取值范 围,从而确定函数的值域。 聚焦4:“分离常数法”探究分式型反比 例函数的对称中心 例4 已知函数y=f(x)满足f(4-x) =-f(x)+10,若函数g(x)= 5x+8 x-2 与y= f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…, (xm,ym),则∑ m i=1 (xi+yi)=( )。 A.m B.4m C.6m D.7m 解:因为f(4-x)=-f(x)+10,所以 f(4-x)+f(x)=10,所以 f(2-x)+ f(2+x)=10,所以f(x)关于点(2,5)中心 对称。因为g(x)= 5x+8 x-2=5+ 18 x-2 ,所以 g(x)关于点(2,5)中心对称,所以∑ m i=1 (xi+ yi)=∑ m i=1 xm+∑ m i=1 ym= 1 2×4m+ 1 2×10m= 2m+5m=7m。应选D。 反思:已知函数y=f(x)满足f(2-x) +f(2+x)=10,则函数f(x)关于点(2,5) 中心对称。 1.已知函数y=g(x)关于点(-2,-3) 中心对 称,函 数 f(x)= 1-3x x+2 的 图 像 与 g(x)的图像有2022个交点,则这些交点的 横、纵坐标之和等于 。 提示:因为f(x)= 1-3x x+2=-3+ 7 x+2 , 所以函数f(x)关于点(-2,-3)中心对称。 因为函数y=g(x)关于点(-2,-3)中心对 称,函数f(x)= 1-3x x+2 的图像与g(x)的图 像有2022个交点,所以这些交点也关于点 (-2,-3)对称,所以每两个对称点的纵坐标 之和为-6。因为2022个交点有1011组对 称点,所以这2022个交点的纵坐标之和为 -6066。因为每两个对称点横坐标之和为 -4,2022个交点有1011组对称点,所以这 2022个交点的横坐标之和为-4044。故这 些交点的横、纵坐标之和为-10110。 2.函数y= 3x+2 x-2 的值域为 。 提示:函数y= 3x+2 x-2= 8 x-2+3 ,可以 看作是将函数y= 8 x 向右平移2个单位,再 向上平移3个单位得到的。因为函数y= 8 x 的值域为 y|y∈R且y≠0 ,所以所求函数 的值域为 y|y∈R且y≠3 。 作者单位:重庆市涪陵高级中学校 (责任编辑 郭正华) 62 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月