13 幂函数的图像与性质的四种题型剖析-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■刘 佳 题型一:幂函数的概念 例1 已知y=(m2+2m-2)·x 1 m2-1+ 2n-3是幂函数,则m= ,n= 。 解:由幂函数的概念可得关于m、n 的方 程组,通过解方程组求得m、n 的值。由题意 得 m2+2m-2=1, m2-1≠0, 2n-3=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m=-3, n= 3 2 。 故所求的 m=-3,n= 3 2 。 感悟:一般地,幂函数y=xα 需满足三个 条件:xα 的系数为1;xα 的底数是自变量;xα 的指数为常数。 题型二:幂函数的三要素 例2 (1)幂函数y=xα 中α 的取值集 合C 是 -1,0, 1 2 ,1,2,3 的子集,当幂函数 的值域与定义域相同时,集合C 为( )。 A.-1,0, 1 2 B.12,1,2 C.-1, 1 2 ,1,3 D.12,1,2,3 (2)幂函数y=f(x)的图像过点(2, 2),则函数y=x-f(x)的值域是( )。 A.(-∞,+∞) B.-∞, 1 4 C.- 1 4 ,+∞ D.-14,+∞ 解:(1)分别求出对应幂函数的定义域和 值域即可。当α=-1时,y=x-1 的定义域 和值域均为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意。 当α=0时,y=x0 的定义域为(-∞,0)∪ (0,+∞),值域为{1},不符合题意。当α= 1 2 时,y= x的定义域为[0,+∞),值域为 [0,+∞),符合题意。当α=1时,y=x 的定 义域与值域均为 R,符合题意。当α=2时, y=x2 的定义域为R,值域为[0,+∞),不符 合题意。当α=3时,y=x3 的定义域与值域 均为R,符合题意。应选C。 (2)设幂函数f(x)=xα,将点(2,2)代 入得2α= 2,解得α= 1 2 ,所以f(x)=x 1 2, 所以函数y=x-x 1 2。 令t=x 1 2,t≥0。函数y=x-x 1 2等价于 函数y=t2-t=t- 1 2 2 - 1 4≥- 1 4 ,所以 函数y=t2-t的值域为 - 1 4 ,+∞ ,即函 数y=x-f(x)的值域是 - 1 4 ,+∞ 。应 选C。 感悟:幂函数y=xα(α∈R)的值域可由 定义域和对应法则及奇偶性确定。要熟练掌 握常见的幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= x 1 2,y=x-1 的图像及性质。 题型三:幂函数的图像与性质 例3 已知幂函数f(x)的图像经过点 (9,3),则( )。 A.f(x)为增函数 B.f(x)为偶函数 C.当x≥4时,f(x)≥2 D.当x2>x1>0时, f(x1)+f(x2) 2 < f x1+x2 2 解:设幂函数f(x)=xα,则f(9)=9α= 3,解得α= 1 2 ,所以f(x)=x 1 2,所以f(x)的 定义域为[0,+∞),f(x)在[0,+∞)上单调 递增,A正确。因为f(x)的定义域不关于原 点对称,所以函数f(x)不是偶函数,B错误。 当x≥4时,f(x)≥f(4)=4 1 2=2,C正确。 32 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 当x2>x1>0时,因为 f(x1)+f(x2) 2 2 - f x1+x2 2 2 = x1+x2+2 x1x2 4 - x1+x2 2 = 2 x1x2-x1-x2 4 = - ( x1- x2)2 4 <0 ,又 f(x)≥0,所 以 f(x1)+f(x2) 2 <f x1+x2 2 ,D正确。应选 ACD。 感悟:幂函数y=xα(α∈R)随着α的取 值不同,它的定义域、图像与性质也不尽相 同,但它们有一些共同的性质:所有的幂函数 在(0,+∞)上都有定义,且图像都过点(1, 1);当α>0时,幂函数的图像通过原点,且在 区间[0,+∞)上是增函数;当α<0时,幂函 数的图像在区间(0,+∞)上是减函数,在第 一象限内,当x 从右边趋向原点时,图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋近于 +∞时,图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正 半轴。 题型四:幂函数的应用 例4 已知幂函数f(x)=(m2-2m+ 2)x5k-2k 2(k∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上 单调递增。 (1)求函数f(x)的解析式。 (2)若f(2x-1)<f(2-x),求x 的取 值范围。 (3)若实数a,b(a,b∈R+)满足2a+ 3b=7m,求 3 a+1+ 2 b+1 的最小值。 解:(1)结合幂函数的定义与性质求解析 式。由题意得m2-2m+2=1,所以m=1。 由题意得5k-2k2>0,所以0<k< 5 2 。 因为k∈Z,所以k=1或k=2。 又因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递 增,且f(x)为偶函数,所以k=2,所以函数 f(x)=x2。 (2)由 f(2x-1)<f(2-x),可 得 f(|2x-1|)<f(|2-x|)。而f(x)=x2 在 (0,+∞)上单调递增,所以|2x-1|<|2- x|,即(2x-1)2<(2-x)2,可得x2<1,所以 -1<x<1,即x∈(-1,1)。 (3)由2a+3b=7,可得2(a+1)+3(b+ 1)=12,所 以 (a+1) 6 + (b+1) 4 =1 。所 以 3 a+1 + 2 b+1 = (a+1) 6 + (b+1) 4 · 3 a+1+ 2 b+1 =1+34·b+1a+1+ a+13(b+1)≥1 +2 1 4=2 ,当且仅当3 4 ·b+1 a+1= a+1 3(b+1) , 即2a=3b+1,也即a=2,b=1时等号成立, 所以 3 a+1+ 2 b+1 的最小值是2。 感悟:利用幂函数的奇偶性与单调性可 以简化求解函数不等式,如由f(2x-1)< f(2-x)得f(|2x-1|)<f(|2-x|),利用 函数f(x)=x2 在(0,+∞)上单调递增可避 免分类讨论。 已知幂函数y=f(x)经过点 4, 1 8 。 (1)求此幂函数的表达式和定义域。 (2)若f(a+2)<f(3-2a),求实数a 的取值范围。 提示:(1)设f(x)=xm。由f(4)=4m= 22m= 1 8 ,可得2m=-3,解得m=- 3 2 ,所以 函数f(x)=x -32= 1 x3 。 由x3>0,可得x>0,所以函数f(x)的 定义域为(0,+∞)。 (2)由(1)可知函数f(x)的定义域为(0, +∞),且在定义域上为减函数。 因为 f(a+2)<f (3-2a),所 以 a+2>3-2a, a+2>0, 3-2a>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 1 3<a< 3 2 ,所以实数a 的取值范围为 1 3 ,3 2 。 作者单位:江苏省镇江第一中学 (责任编辑 郭正华) 42 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月