1.4 充分条件与必要条件（6大培优题型）讲义-2026-2027学年高一上学期数学新教材同步培优（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦高中数学“充分条件与必要条件”核心知识点，以思维导图为学习支架，系统梳理概念（符号含义、充分/必要/充要条件定义）、判断方法（逻辑推理关系、集合间关系）及应用题型，构建从基础到综合的知识脉络。 资料亮点在于通过多样化题型（判定、探求条件、参数范围等）结合典例与变式，培养学生数学思维中的推理能力，利用集合、方程实例强化数学语言表达，课后精练与培优拓展分层设计，助力课中教学实施与课后学生查漏补缺。

1．4 充分条件与必要条件 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 3 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 3 03 题型精讲 5 题型一：充分、必要条件判定 5 题型二：探求命题成立的充分或必要条件 6 题型三：求命题成立的充要条件 6 题型四：充要条件证明 6 题型五：根据充分条件求参数范围 8 题型六：根据必要条件求参数范围 9 04 课后精练 11 05 培优拓展 14 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 题型一：充分、必要条件判定 【典例1-1】（2026·高二·山东济宁·期末）若为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】（2026·高二·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2026·高一·广西河池·期中）是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2026·高三·天津·阶段检测）已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2026·高一·陕西西安·开学考试）“”是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【方法技巧与总结】 1、判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论． （2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题． （3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q． 2、充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 题型二：探求命题成立的充分或必要条件 【典例2-1】设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【典例2-2】使成立的一个充分条件是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高三·山西吕梁·阶段检测）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 题型三：求命题成立的充要条件 【典例3-1】（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合和集合，那么的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【变式3-1】设，命题的充要条件是_________________． 【变式3-2】（2026·高一·上海·期中）设都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_________ 【变式3-3】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 题型四：充要条件证明 【典例4-1】证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【典例4-2】已知，证明：“”是“”的充要条件. 【变式4-1】（2026·高一·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【变式4-2】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 【变式4-3】（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 【方法技巧与总结】 充要条件的证明需要从充分性和必要性两个方面证明： 证明：是的充要条件 充分性：把当做已知条件，推出 必要性：把当做已知条件，推出 题型五：根据充分条件求参数范围 【典例5-1】（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【典例5-2】（2026·高二·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【变式5-1】（2026·高一·河南·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式5-2】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）设集合，非空集合． (1)若，求和； (2)设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式5-3】（2026·高一·广东茂名·期中）已知集合，集合   (1)若，求实数m的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围   【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的充分关系转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 题型六：根据必要条件求参数范围 【典例6-1】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 【典例6-2】（2026·高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【变式6-1】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式6-2】（2026·高一·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式6-3】（2026·高一·陕西宝鸡·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的必要关系转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 1．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）如图所示的四个电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 2．（2026·高一·浙江杭州·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·高一·安徽·期末）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·高一·重庆·期末）：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·高一·河北·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·高一·四川巴中·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 7．（2026·高一·四川泸州·期末）已知a为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 8．（多选题）（2026·高一·山东德州·阶段检测）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 10．（多选题）（2026·高一·吉林·期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（   ） A． B． C．0 D．1 11．（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 12．（2026·高一·贵州黔西南·阶段检测）有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③⫋的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有__________.（填序号） 13．（2026·高一·河北沧州·阶段检测）请写出“”的一个必要不充分条件：________________________． 14．（2026·高一·上海·阶段检测）若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 15．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若：是：的必要条件，求的取值范围． 16．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知集合. (1)若，求 (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数 m的取值范围． 17．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知． (1)若，求的取值范围． (2)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 1．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，． (1)求证：； (2)求，两点之间的距离不超过的充要条件． 2．（2026·高一·山东淄博·期末）已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 3．（2026·高一·湖南衡阳·期末）已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 4．（2026·高一·山东济南·阶段检测）已知集合，其中，新定义1个性质G；若对任意的，必有，则称集合A具有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素. (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件，请说明理由. 5．（2026·高一·北京·期中）已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 6．（2026·高一·江苏南京·期中）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．4 充分条件与必要条件 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 3 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 3 03 题型精讲 5 题型一：充分、必要条件判定 5 题型二：探求命题成立的充分或必要条件 6 题型三：求命题成立的充要条件 8 题型四：充要条件证明 10 题型五：根据充分条件求参数范围 12 题型六：根据必要条件求参数范围 15 04 课后精练 18 05 培优拓展 25 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 题型一：充分、必要条件判定 【典例1-1】（2026·高二·山东济宁·期末）若为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，则，在该不等式的两边同时除以得，即“”“”， 当时，不妨取，此时，即“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 【典例1-2】（2026·高二·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，又，所以， 所以“”是“”的充分条件； 若，又， 所以或，解得或， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式1-1】（2026·高一·广西河池·期中）是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】∵ 解方程，可得或. 若成立，则可以为或，无法推出一定成立，故该条件不是充分条件. 若成立，代入可得，即成立，故该条件是必要条件. 因此是的必要不充分条件. 【变式1-2】（2026·高三·天津·阶段检测）已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】取，此时，但，故充分性不成立； 取，此时，但，故必要性不成立， 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 【变式1-3】（2026·高一·陕西西安·开学考试）“”是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：若，取，，则不满足，所以充分性不成立； 必要性：若，则，，， 原不等式两边同时乘得，，则必要性成立，所以仅C选项正确. 【方法技巧与总结】 1、判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论． （2）判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题． （3）可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q． 2、充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 题型二：探求命题成立的充分或必要条件 【典例2-1】设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，当时，满足，但命题不成立； 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，A错误； 对于选项C，D，当时，满足，，但命题不成立. 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，C错误； 不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，D错误； 对于选项B，当时，若，都小于等于，则，与矛盾， 所以由可推出命题“，中至少有一个数大于”成立， 若命题“，中至少有一个数大于”成立， 例如，此时，此时不成立， 故由命题“，中至少有一个数大于”成立不能推出， 所以是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件. 【典例2-2】使成立的一个充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解方程得或. 对于选项A，若，则且 ，解得且，能推出，因此选项A正确； 对于选项B，若，则且 ，解得且，不能推出，因此选项B错误； 对于选项C，若，则且，解得且，不能推出，因此选项C错误； 对于选项D，若，则或或；此时是的必要条件而不是充分条件，因此选项D错误. 【变式2-1】（2026·高三·山西吕梁·阶段检测）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 【变式2-2】（2026·高一·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，解得，即等价于. 对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系， 可知是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于选项B：因为集合与集合相等， 可知是的充要条件，故B错误； 对于选项C：因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故D错误. 【变式2-3】命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当命题是真命题时，只需当时，， 又因为当时，的最小值是，所以， 结合各个选项可知，只有是的充分不必要条件， 故选：D. 题型三：求命题成立的充要条件 【典例3-1】（2026·高一·上海·阶段检测）已知集合和集合，那么的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，符合，但不能得到，故B错误； 对于C，若，则，所以是的必要条件； 若，则，所以是的充分条件； 所以的充要条件是，故C正确； 对于D，若，可得，当是真子集时，不能得到，故D错误. 【典例3-2】已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【答案】 【解析】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. 【变式3-1】设，命题的充要条件是_________________． 【答案】 【解析】由，得， 两边同乘2，得， 拆分并组合得， 即. 因实数的平方非负，故，，， 解得. 故答案为：. 【变式3-2】（2026·高一·上海·期中）设都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_________ 【答案】 【解析】因为， 若和，则，， 可得，即； 若，则且； 所以不等式和同时成立的充要条件是. 故答案为：. 【变式3-3】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【答案】 【解析】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 题型四：充要条件证明 【典例4-1】证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【解析】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【典例4-2】已知，证明：“”是“”的充要条件. 【解析】证明: 先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 【变式4-1】（2026·高一·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【解析】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是 【变式4-2】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 【解析】（1） 必要性：若一元二次方程有一正根和一负根， 则由韦达定理得：，即； 充分性：若成立，此时方程一元二次方程的， 方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根. 所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. （2）当时，为奇数， 当时，均为奇数，因为为奇数，所以为偶数， 所以同为奇数或同为偶数， 假设有整数根，则， 当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数， 又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾； 若为奇数，则为奇数，为奇数， 又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾； 综上，假设不成立，所以方程无整数根. 【变式4-3】（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 【解析】（1）因为是正实数集的一个子集，，所以， 又因为，则，解得， 所以的取值集合为. （2）充分性：若，则，则由①可知， 故由，可得. 必要性：由，设， 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 若，则由，可得，由，可得，符合题意. 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 故由，可得. 综上可知：“”的充要条件是“”. （3）由④可知， 因为，则， 设，可知， 则，可得， 且，，可得，所以. 【方法技巧与总结】 充要条件的证明需要从充分性和必要性两个方面证明： 证明：是的充要条件 充分性：把当做已知条件，推出 必要性：把当做已知条件，推出 题型五：根据充分条件求参数范围 【典例5-1】（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 又，结合， 则，，从而. 则，或，； （2）由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则； 若不为空集，且等号不同时成立，解得， 综上可得. 【典例5-2】（2026·高二·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 【变式5-1】（2026·高一·河南·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 当时，此时满足，则，解得； 当且，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，且不同时取等号，解得， 所以实数的取值范围是． 【变式5-2】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）设集合，非空集合． (1)若，求和； (2)设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1），因为，所以， 所以，． （2）因为是成立的充分不必要条件，所以， 所以，解得，经检验满足， 所以实数的取值范围是. 【变式5-3】（2026·高一·广东茂名·期中）已知集合，集合   (1)若，求实数m的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围   【解析】（1）因为， 所以，解得， 所以实数m的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，所以B是A的真子集， 当时，即，可得； 当时，，即，     又，解得，所以， 综上，实数m的取值范围为. 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的充分关系转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 题型六：根据必要条件求参数范围 【典例6-1】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 【解析】（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 . 故实数的取值集合. （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 【典例6-2】（2026·高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 【变式6-1】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式6-2】（2026·高一·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 【变式6-3】（2026·高一·陕西宝鸡·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1），当时， 所以； （2）由（1）得，， 因为是的必要条件，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【方法技巧与总结】 （1）化简p、q两命题， （2）根据p与q的必要关系转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 1．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）如图所示的四个电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】C 【解析】对于图①，开关与另一开关并联. 若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，可能是另一开关闭合而断开，即， 故图①中是的充分不必要条件. 对于图②，开关与灯泡串联.若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，则电路必须接通，故必闭合，即， 故图②中是的充要条件. 对于图③，开关与另一开关串联.若闭合，另一开关断开，则电路不通，不亮，即； 若亮，则电路接通，两开关均须闭合，故必闭合，即， 故图③中是的必要不充分条件. 对于图④，开关在干路上.若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，则干路必须接通，故必闭合，即， 故图④中是的充要条件. 综上所述，满足条件的电路图是②④. 2．（2026·高一·浙江杭州·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，取，则，所以“”不是“”的充分条件； 若，则，即等价于，解得， 所以“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3．（2026·高一·安徽·期末）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则，即充分性成立； 若，则，即，即， 所以，即必要性成立. 故选：C. 4．（2026·高一·重庆·期末）：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】首先，判断对的推出关系：若、至少一个是空集，则必为空集，即； 若为空集，未必有、至少一个是空集(如)，即. 所以：是的必要不充分条件. 故选：B. 5．（2026·高一·河北·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，因为函数在上单调递增，所以当时，有； 又因为，所以，同理，即，充分性成立； 当时，例如取，此时， 满足，但不满足，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（2026·高一·四川巴中·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【解析】因为，所以两边平方得，所以“”是“”的充分条件； 当时，去掉平方得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件； 故选：D. 7．（2026·高一·四川泸州·期末）已知a为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】当时，必然有，故“”可以推出“”； 当时，不一定有，如满足，但不满足，故“”推不出 “”， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 8．（多选题）（2026·高一·山东德州·阶段检测）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为集合只有个真子集，所以集合中有个元素， 因为，则有： 当时，， 当时，， 当时，， 因集合中只有个元素，则， 所给选项中：，， 所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件， 故选：CD. 9．（多选题）（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【解析】若是的充分不必要条件，则． 集合，， 当时，，则，符合题意； 当时，， ∵，∴即或，解得或， 综上，的值可以是：． 故选：ACD． 10．（多选题）（2026·高一·吉林·期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【解析】由得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，选项A、B、C中数值符合. 故选：ABC. 11．（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 【答案】 【解析】设，，分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是． 证明如下：必要性：在中，是锐角，作，为垂足，如图． 显然 ，即． 充分性：在中，，不是直角． 假设为钝角，如图作，交延长线于点． 则 ． 即，与“”矛盾． 故为锐角，即为锐角三角形． 故答案为： 12．（2026·高一·贵州黔西南·阶段检测）有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③⫋的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有__________.（填序号） 【答案】①② 【解析】①若，则集合与无重复元素，则， 即是的充分条件， 若，则集合与无重复元素，， 即是的必要条件， 综上所述的充要条件是，①正确； ②若，即集合中所有元素均属于集合，此时， 即，所以是的充分条件， 即是的必要条件， 若，无法判断集合中元素与集合的关系， 即不是的充分条件， 综上所述，的必要不充分条件是，②正确； ③若，无法判断集合中元素与集合的关系， 即不是⫋的充分条件，③错误； ④若，无法判断集合中元素与集合的关系，不能说明，④错误； 故答案为：①②. 13．（2026·高一·河北沧州·阶段检测）请写出“”的一个必要不充分条件：________________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件； 对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：（答案不唯一）. 14．（2026·高一·上海·阶段检测）若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】等价于， 因为成立的一个充分不必要条件是，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 15．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若：是：的必要条件，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 可知或，则. （2）若：是：的必要条件，则， 当时，可得，解得，此时符合条件， 当时，可得，解得， 综上所述，当是：的必要条件时，. 16．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知集合. (1)若，求 (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数 m的取值范围． 【解析】（1）当时， ， . 则，； （2）因“”是“”成立的必要条件，则.易知A非空，故, ，则. 则实数 m的取值范围是. 17．（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知． (1)若，求的取值范围． (2)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以集合A是集合B的子集，所以，解得：. 所以实数的取值范围是. （2）因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集. 当，即时，，满足集合B是集合A的真子集； 当，即时，，此时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是：． 1．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，． (1)求证：； (2)求，两点之间的距离不超过的充要条件． 【解析】（1）证明： 由题意得的两个根分别为和， 所以， ， 又因为， 所以， 则 ， 所以成立. （2），两点之间的距离， 由（1）得， 所以， 因为，两点之间的距离不超过， 所以，则， 解得 由，解得或， 所以，两点之间的距离不超过的充要条件为或 2．（2026·高一·山东淄博·期末）已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 【解析】（1）集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取，或或， 均有，不满足条件②， 所以不具有性质； （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令， 解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”； （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 3．（2026·高一·湖南衡阳·期末）已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【解析】（1）由于，不符合定义，故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以，共有k个， 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 4．（2026·高一·山东济南·阶段检测）已知集合，其中，新定义1个性质G；若对任意的，必有，则称集合A具有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素. (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件，请说明理由. 【解析】（1） 由于，不符合定义故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； 集合不是整数集，所以不具有性质. （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 5．（2026·高一·北京·期中）已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 【解析】（1）、、都属于集合，理由：因为，，，所以，、、都属于集合. （2）集合，， ①若、同奇或同偶时，、均为偶数，为的倍数； ②当、一奇一偶时，、均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合的偶数为． 因此，满足集合的不超过的正偶数有、、. （3）证明：集合，则恒有， 所以，，即一切奇数都属于， 又，而， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 6．（2026·高一·江苏南京·期中）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【解析】（1）①集合，不符合定义，不具有性质； ②集合具有性质，对应集合，； ③集合不是整数集，所以不具有性质． （2）依题意，集合的元素构成有序数对，共有个， 由，得，又当时，，则当时，， 因此集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 所以中元素的个数最多为. （3）充分不必要条件，证明：1）当集合具有性质时， ①对于，由定义知：，又集合具有性质，则， 若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，因此也是中不同的元素， 所以的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，由定义知：，又集合具有性质，则， 若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，因此和也是中不同的元素， 即的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②知； 2）集合，则， ，满足，而集合不具有性质， 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $