11 抽象函数定义域中的“提分秘籍”&12 一招”解决函数f(ax+b)的奇偶性、对称性、周期性问题-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■丁仕欢 研究函数,应先考虑函数的定义域。函 数的定义域问题主要指具体函数的定义域, 实际问题中的定义域,抽象函数的定义域,以 及已知函数的定义域求参数范围等。下面探 究抽象函数定义域中的“提分秘籍”。 一、已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的 定义域 例1 已知函数y=f(x)的定义域为 [-1,5],则函数y=f(2x2-1)的定义域为 。 解:因 为 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 [-1,5],所以-1≤2x2-1≤5,即0≤x2≤ 3,解得- 3≤x≤ 3,所以函数y=f(2x2- 1)的定义域为[- 3,3]。 秘籍:函数f(x)的定义域为[a,b],由 “整体变量观念”,可得复合函数f[g(x)]的 定义域由不等式a≤g(x)≤b解得。 变式1:函数y=f(x)的定义域是[2, 5],则函数y=f(1+x2)的定义域为 。 提示:由f(x)的定义域是[2,5],可得 2≤x2+1≤5,所以-2≤x≤-1或1≤x≤ 2,所以函数y=f(1+x2)的定义域为[-2, -1]∪[1,2]。 二、已知f(x)的定义域,求g[f(x)]的 定义域 例2 若函数y=f(x)的定义域是[0, 4],则函数g(x)= f(2x) x-1 的定义域是 。 解:由函数y=f(x)的定义域为[0,4], 求出y=f(2x)的定义域,再结合x≠1即得 结果。因为函数y=f(x)的定义域是[0, 4],所以f(2x)满足0≤2x≤4,即0≤x≤2。 又分母不为0,所以x≠1。故函数g(x)的定 义域为[0,1)∪(1,2]。 秘籍:给出具体解析式的函数定义域,依 据被开方数≥0,分母≠0,幂底数≠0和“整 体变量观念”构建不等式求交集即得所求定 义域。 变式2:若函数y=f(x)的定义域是[0, 6],则函数g(x)= f(3x) x-2 的定义域是 。 提示:由题意得 0≤3x≤6, x-2≠0, 所以0≤x< 2,即函数g(x)的定义域为[0,2)。 三、已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的 定义域 例3 已知函数y=f x2+2x-1 x2+x-1 的定 义域是[1,+∞),则函数y=f(x)的定义域 是 。 解:令函数g(x)= x2+2x-1 x2+x-1 (x≥1), 则g(x)= x2+x-1+x x2+x-1 =1+ x x2+x-1 = 1+ 1 x- 1 x+1 (x≥1)。因为函数y=x- 1 x 在[1,+∞)上单调递增,所以x- 1 x≥0 ,所 以0< 1 x- 1 x+1 ≤1,所以1<g(x)≤2,所以 函数f(x)的定义域为(1,2]。 秘籍:已知函数f[g(x)]的定义域为 [a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a, b]上的值域,即用换元法求内层函数在复合 函数定义域下的值域。 变式3:已知函数f(2x+1)的定义域为 -2, 1 2 ,则函数f(x)的定义域为 。 提示:因为函数f(2x+1)的定义域为 -2, 1 2 ,所以-3<2x+1<2,所以函数 f(x)的定义域为(-3,2)。 02 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 四、已知函数f[g(x)]的定义域,求 f[h(x)]的定义域 例4 已知函数f x+1 x-1 的定义域为 (-2,0),则函数f(2x-1)的定义域为 。 解:因 为 函 数 f x+1 x-1 的 定 义 域 为 (-2,0),即-2<x<0,所以 x+1 x-1= x-1+2 x-1 =1+ 2 x-1∈ -1 ,1 3 。由-1<2x-1< 1 3 ,解得0<x< 2 3 ,所以函数f(2x-1)的定 义域为 0, 2 3 。 秘籍:对于函数f[g(x)]和f[h(x)], g(x)和h(x)的值域都是外层函数的定义 域,由换元法求出g(x)的值域A,构建h(x) 的值域为A 的不等式求出x 的取值范围即 为f[h(x)]的定义域。 变式4:已知函数f(x+1)的定义域为 (-2,0),则f(2x-1)的定义域为 。 提示:令t=x+1,则t∈(-1,1)。对于 f(2x-1),则2x-1∈(-1,1),可得x∈(0, 1),所以函数f(2x-1)的定义域为(0,1)。 五、已知函数f[g(x)]的定义域,求 f[h(x)]·f[r(x)]的定义域 例5 函 数 f(2x+1)的 定 义 域 为 - 3 2 ,1 2 ,则 函 数 g(x)=f(x-2)· f(x-3)的定义域为 。 解:由 函 数 f(2x+1)的 定 义 域 为 - 3 2 ,1 2 ,可知f(x)的定义域为[-2,2], 即-2≤x≤2。 对于函数g(x)=f(x-2)·f(x-3), 满足 -2≤x-2≤2, -2≤x-3≤2, 整理得 0≤x≤4 , 1≤x≤5, 解得 1≤x≤4。所以函数g(x)=f(x-2)·f(x -3)的定义域为[1,4]。 秘籍:已 知 f[g(x)]求 f[h(x)]· f[r(x)]的定义域,先由f[g(x)]的定义域, 求出 f(x)的 定 义 域,再 由 f[h(x)], f[r(x)]的定义域求交集即可。 变式5:若函数 f(x+3)的定义域为 (-5,-2),则F(x)=f(x+1)+f(x-1) 的定义域为 。 提示:求出x+3的取值范围,由x+1, x-1都在此范围内即得所求的定义域。 因为f(x+3)的定义域为(-5,-2),所 以-2<x+3<1,所以 -2<x+1<1, -2<x-1<1, 解得 -3<x<0, -1<x<2, 所以-1<x<0。故函数F(x) 的定义域为(-1,0)。 六、求抽象函数含参数型的定义域 例6 若函数y=f(x)的定义域是[0, 1],则函数 F(x)=f(x+a)+f(2x+a) (0<a<1)的定义域是 。 解:依 题 意 得 0≤x+a≤1, 0≤2x+a≤1, 所 以 -a≤x≤1-a, - a 2≤x≤ 1-a 2 。 由0<a<1,可得1-a- 1-a 2 = 1-a 2 >0 ,即1-a> 1-a 2 ,由-a- - a 2 =-a2<0,可得-a<-a2。所以 -a≤x≤1-a, - a 2≤x≤ 1-a 2 , 解得-a2≤x≤1-a2 。故 函数F(x)的定义域为 - a 2 ,1-a 2 。 秘籍:抽象函数含参数型的定义域,根据抽 象函数的定义域的求法列不等式即可求得结果。 注意在求交集时,要依据题设条件合理分类。 变式6:若函数f(x)的定义域为[0,1], 则函数f(x+a)·f(x-a)0<a< 1 2 的 定义域为 。 提示:因为函数f(x)的定义域为[0,1], 所以 0≤x+a≤1, 0≤x-a≤1, 所以 -a≤x≤1-a , a≤x≤1+a。 因 为0<a< 1 2 ,所以a≤x≤1-a。故所求函 数的定义域为[a,1-a]。 作者单位:陕西省安康市汉阴县汉阴中学 (责任编辑 郭正华) 12 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 ■霍忠林 一、函数f(ax+b)的奇偶性问题 例1 设函数f(x)的定义域为 R,且 f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则 ( )。 A.f - 1 2 =0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 解:令g(x)=f(x+2),h(x)=f(2x+ 1),则g(x)为R上的偶函数,h(x)为R上的 奇函数。由 g(x)为偶函数得 g(-x)= g(x),即f(-x+2)=f(x+2),令x=1得 f(1)=f(3)。由h(x)为奇函数得h(-x) +h(x)=0,即f(-2x+1)+f(2x+1)= 0,令x=0得f(1)=0,所以f(3)=0。将 x=1代入f(-2x+1)+f(2x+1)=0得 f(-1)+f(3)=0,所以f(-1)=0。应选 B。 评注:令m(x)=f(ax+b),若f(ax+ b)为偶函数,即m(x)为偶函数,则 m(-x) =m(x),即f(-ax+b)=f(ax+b);若 f(ax+b)为奇函数,即 m(x)为奇函数,则 m(-x)= -m (x),即 f(-ax+b)= -f(ax+b)。 二、函数f(ax+b)的对称性问题 例2 已知函数f(ax+b)图像的对称 轴为x=c,则f(x)图像的对称轴为( )。 A.x=ab+c B.x=ab-c C.x=ac+b D.x=ac-b 解:令m(x)=f(ax+b),则m(x)图像 的对称轴为x=c,所以m(x)=m(2c-x), 即f(ax+b)=f[a(2c-x)+b],所以f(ax +b)=f(2ac+b-ax),所以函数f(x)图像 的对称轴为x= (ax+b)+(2ac+b-ax) 2 = ac+b。应选C。 评注:通过代换“m(x)=f(ax+b)”,将 函数 f(ax+b)的 对 称 问 题 转 化 为 函 数 m(x)的对称问题,从而降低了思维的难度, 有利于问题的顺利解决。若f(ax+b)图像 的对称轴为x=c,则f(x)图像的对称轴为 x=ac+b;若f(ax+b)图像的对称中心为 (x0,y0),则f(x)图像的对称中心为(ax0+ b,y0)。 三、函数f(ax+b)的周期性问题 例3 已知函数f(2x+1)是定义在 R 上的奇函数,且f(2x+1)的一个周期为2, 则( )。 A.1为f(x)的周期 B.f(x)的图像关于点 1 2 ,0 对称 C.f(2023)=0 D.f(x)的图像关于x=2对称 解:因 为 f(2x+1)为 奇 函 数,所 以 f(-2x+1)=-f(2x+1)。令 x=0,则 f(1)=0;令x=1,则f(-1)+f(3)=0。令 m(x)=f(2x+1),则 m(x)的一个周期为 2,即m(x)=m(x+2),所以f(2x+1)= f[2(x+2)+1]=f(2x+5),所以f(x)= f(x+4),所以4为函数f(x)的一个周期, 所以f(-1)=f(3)。而f(-1)+f(3)=0, 所以f(3)=0,所以f(2023)=f(4×505+ 3)=f(3)=0。应选C。 评注:函数f(2x+1)的一个周期为2, 到底是f(2x+1)=f(2x+3)? 还是f(2x +1)=f(2x+5)? 此时令 m(x)=f(2x+ 1),则 f(2x+1)是 周 期 为2的 函 数,即 m(x)是周期为2的函数,所以m(x)=m(x +2),故f(2x+1)=f[2(x+2)+1]= f(2x+5)。一般地,若f(ax+b)的一个周 期为T,则f(ax+b)=f[ax+(aT+b)]。 编者的话:涉及抽象函数f(ax+b)的奇 偶性、对称性、周期性问题,均可以通过代换 m(x)=f(ax+b)来降低思维的难度,从而 提高解题效率。 作者单位:河北南宫中学 (责任编辑 郭正华) 22 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月