09 依托含参幂函数 基本类型妙应用-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■李 杰 含参数的幂函数的应用问题,是幂函数 最为重要的一个基本应用类型。如何快速切 入并正确解决幂函数应用中的含参数问题, 关键在于把握幂函数的基本概念、图像特征 和基本性质。 一、活用概念 幂函数的概念是解决幂函数应用问题的 一个基本切入点,特别是幂函数应用中的含 参数问题,结合系数、常数项、指数、底数等几 个不同要素,对标其概念,能够给问题的切入 与应用创造条件。 例1 已知m∈R,若函数f(x)=(m- 1)xm 2-4m+3 是一个幂函数,则f(x)在其定义 域上是( )。 A.增函数 B.减函数 C.在区间(-∞,0)上是增函数,在区间 (0,+∞)上是减函数 D.在区间(-∞,0)上是减函数,在区间 (0,+∞)上也是减函数 解:由幂函数的定义得 m-1=1,解得 m=2。当m=2时,m2-4m+3=-1,此时 幂函数的解析式为f(x)=x-1。结合幂函数 的基本性质,可知函数f(x)=x-1 在(-∞, 0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数。 应选D。 点评:解决含参数的幂函数的应用问题, 要从函数解析式的系数、常数项、指数、底数 等几个不同要素进行分析与判断。 二、数形结合 幂函数的图像是解决幂函数应用问题的 一个基本思维点。正确掌握幂函数的图像特 征与基本性质,为进一步综合应用奠定基础。 在实际解题时,要从“数”的抽象视角切入,合 理利用“形”的直观形象解题,真正达到数形 结合与巧妙应用。 例2 (多选题)现有4个幂函数的部分 图像,如图1所示,则下列选项可能成立的是 ( )。 图1 A.p=3,m=2,q= 1 2 ,n=-3 B.p=4,m=3,q= 1 3 ,n=-2 C.p=2,m=3,q=- 1 2 ,n=-3 D.p= 1 2 ,m= 1 3 ,q=-2,n= 1 4 解:对于幂函数y=xα,若函数在区间 (0,+∞)上单调递增,则α>0,若函数在区 间(0,+∞)上单调递减,则α<0,所以n<0, D错误。当x>1时,若幂函数y=xα 的图 像在直线y=x 的上方,则α>1,若幂函数 y=xα 的图像在直线y=x 的下方,则α<1, 所以p>1,m>1,0<q<1,C错误。当x>1 时,指数越大,图像越高,可知p>m,所以 p>m>1>q>0>n。应选AB。 点评:解答本题的关键是利用幂函数的 图像,挖掘隐含条件并利用分类讨论进行分 析与验证。 三、分类讨论 幂函数y=xα 在α>1、α=1、0<α<1、 α=0及α<0的不同情况下的图像特征,通 过建立相应的关系式,结合其他条件确定相 应参数的取值情况,往往离不开分类讨论思 想的应用。 例3 已知幂函数f(x)=x|m-1|-2(m∈ 61 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 Z)的图像与坐标轴(包括x 轴、y 轴)均无公 共点,若该幂函数的图像关于y 轴对称,试求 m 的值,并画出它的图像。 解:已知幂函数f(x)的图像与x 轴、y 轴均无公共点,则|m-1|-2≤0,解得-1≤ m≤3。因为m∈Z,所以m=-1,0,1,2,3。 当m=0或m=2时,对应幂函数f(x) =x-1 为奇函数,其图像不关于y 轴对称,不 符合题意,所以m=-1,1,3。 当m=-1或m=3时,对应幂函数的解 析式为f(x)=x0,其图像如图2所示;当 m=1时,对应幂函数的解析式为f(x)= x-2,其图像如图3所示。 图2 图3 故m=-1或m=1或m=3。 点评:含参数的幂函数的应用问题,往往 离不开分类讨论思想。解题时,需要结合幂 函数的图像特征与性质进行分析与判断。 四、联想分析 “联想”加“分析”是正确求解数学问题的 一个关键环节。借助幂函数这个基本函数模 型,在实际解题过程中,可以从问题中寻觅幂 函数的“影子”,丰富“联想”,开拓解题思路, 运用“分析”使思路严谨化,解题过程简单化。 例4 若不等式满足(a+2)-1>(4- a)-1,则实数a的取值范围为 。 解:这是一道涉及幂函数f(x)=x-1 的 应用问题。由幂函数的性质,可知函数f(x) =x-1 在区间(-∞,0)及(0,+∞)上均为减 函数。 由 分 类 讨 论 得 a+2>0, 4-a>0, a+2<4-a 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 a+2<0, 4-a<0, a+2<4-a 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 a+2>0, 4-a<0, 解得-2<a<1或 a∈时或a>4,所以-2<a<1或a>4。故 实数a的取值范围为(-2,1)∪(4,+∞)。 点评:挖掘问题的内涵与实质,合理加以 联想与分析,巧妙构建不等关系求解。在实 际解题过程中,基于幂函数的模型与应用,利 用丰富的联想与分析,是解决问题的切入点 与产生正确结论的保障。 1.已知幂函数f(x)=xm 2-2m-3(m∈Z) 的图像关于y 轴对称,且f(x)在第一象限内 是单调递减函数,则m= 。 提示:已知幂函数f(x)=xm 2-2m-3(m∈ Z)的图像关于y 轴对称,所以f(x)是偶函 数,即m2-2m-3为偶数,也即 m2-2m 为 奇数。因为f(x)在第一象限内是单调递减 函数,所以m2-2m-3<0,解得-1<m<3。 又m∈Z,所以m=1满足条件。 2.已知实数a 满足不等式(a+1) -13< (3a-2) -13,则实数a的取值范围为 。 提示:幂函数y=x -13的定义域为(-∞, 0)∪(0,+∞),且在(-∞,0)与(0,+∞)上 均为减函数。 由 分 类 讨 论 得 a+1>0, 3a-2>0, a+1>3a-2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 a+1<0, 3a-2<0, a+1>3a-2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 3a-2>0, a+1<0, 解得23<a<32 或a<-1或a∈⌀,所以 2 3<a< 3 2 或a< -1。故实数a 的取值范围为(-∞,-1)∪ 2 3 ,3 2 。 3.若0<a<1,b>0,且ab-a-b=-2, 则ab+a-b 的值为 。 提示:由ab-a-b=-2,可得(ab-a-b)2 =a2b+a-2b-2=4,即a2b+a-2b=6,所以(ab +a-b)2=a2b+a-2b+2=6+2=8,所以ab+ a-b=22(负值舍去)。 作者单位:江苏省泰州市姜堰区蒋垛中学 (责任编辑 郭正华) 71 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月