07 函数解析式求解及应用中的解题策略&08 判别式的五种作用-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■马俊雄 函数解析式揭示了一个变量伴随着另一 个变量变化的唯一对应关系。求函数解析式 常用待定系数法、换元法、构建二元方程组求 解法等。下面对函数解析式及应用中的思维 方法进行归纳总结,希望对同学们的学习有 所帮助。 策略1:一次函数及一次函数复合型求 解析式用“待定系数法” 例1 已知函数f(x)为一次函数,且 f(2)=-1,若f[f(x)]=4x-3,则函数 f(x)的解析式为 。 解:设函数f(x)=kx+m,则f[f(x)] =k(kx+m)+m=k2x+(km+m),且f(2) =2k+m=-1。据此可得 2k+m=-1, k2=4, km+m=-3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 k=-2, m=3。 故函数f(x)的解析式为f(x)= -2x+3。 体验:一次函数f(x)=kx+b的自身复 合型,则满足f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x +(kb+b)。 策略2:二次函数及二次函数复合型求 解析式用“待定系数法” 例2 已知f(x)是二次函数,且f(0)= -1,f(x+1)=f(x)-2x+2,则f(x)的解 析式为( )。 A.f(x)=-x2+3x-1 B.f(x)=-x2- 3 2x-1 C.f(x)= 1 2x 2- 3 2x+2 D.f(x)=2x2- 1 2x+2 解:设f(x)=ax2+bx+c。因为f(0) =-1,f(x+1)=f(x)-2x+2,所以c= -1,且a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+bx +c-2x+2,即c=-1,且ax2+(2a+b)x +a+b+c=ax2+(b-2)x+c+2。据此可 得 c=-1, 2a+b=b-2, a+b+c=c+2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-1, b=3, c=-1。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以函数 f(x)=-x2+3x-1。应选A。 体验:已知函数的类型(如一次函数、二 次函数或正、反比例函数),设出函数解析式 的一般形式,根据题设条件,列出方程即可求 得函数的解析式。 策略3:已知复合函数解析式求外层函 数解析式用“换元法” 例3 已知函数f x+ 1 x =x3+1x3,则 函数f(x)= 。 解:x3+ 1 x3 = x+ 1 x x2+1x2-1 = x+ 1 x x+1x 2 -3 。 所以f x+ 1 x =x3+1x3= x+1x 3 - 3x+ 1 x 。令t=x+1x,由对钩函数的性质 得t≤-2或t≥2。由整体代入得f(t)= t3-3t,所以函数f(x)=x3-3x(x≥2或 x≤-2)。 体验:已知复合函数f[g(x)]的表达式 求f(x)的解析式,令g(x)=t,解出x,然后 代入f[g(x)]中即可求得f(t),从而求得 f(x),要注意新元g(x)=t的取值范围为外 层函数的定义域。 策略4:抽象函数求解析式用“凑配法” 例 4 已 知 函 数 f (2x -1)= 1 2x+ 2x-1 ,则函数f(x)= 。 解:函数f(2x-1)= 1 2x+ 2x-1 的定 31 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 义域为 x x≥ 1 2 。令t=2x-1(t≥0),结 合f(2x-1)= 1 2x+ 2x-1 ,可得f(t)= 1 t+1+t (t≥0),所 以 函 数 f (x)= 1 x+1+ x = x+1- x x2+x+1 (x≥0)。 体验:无论是换元法还是凑配法求解析 式,实质是已知复合函数的解析式求外层函 数的解析式,都要注意换元和凑配的“整体 项”是有范围限制的,即外层函数的定义域为 内层函数的值域。 策略5:特殊二元变量满足的关系式求 解析式用“构建方程组消元法” 例5 定义在 R 上的函数f(x),满足 f(x)+2f x+2002 x-1 =4015-x(x≠1),则 f(2004)= 。 解:令x+2002 x-1 =t ,x ≠1,则 x = t+2002 t-1 ,t ≠ 1。 据 此 代 入 原 式 得 f t+2002 t-1 +2f(t)=4015-t+2002t-1 (t≠ 1)。结合 题 设 把 x 替 换 为t 可 得 方 程 组 f(t)+2f t+2002 t-1 =4015-t, f t+2002 t-1 +2f(t)=4015-t+2002t-1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得f(t)= 1 3 4013+t- 4006 t-1 ,t≠1。故 f(2004)= 1 3× (4013+2004-2)=2005。 体验:构造方程组消元法是根据不同的 变量之间的关系,利用变换形式构造不同的 等式,通过解方程组求解。如已知af(x)+ bf 1 x =g(x)求f(x),由已知得af 1x + bf(x)=g 1 x ,把f(x)和f 1x 作为未知 数,列方程组消去f 1 x ,可求出f(x)。已 知af(x)+bf(-x)=g(x),也可以用这种 方法求f(x)的解析式。 策略6:特殊赋值法求抽象函数的解析式 例6 对任意实数x,y,都有f(x+y) -2f(y)=x2+2xy-y2+3x-3y,求函数 f(x)的解析式。 解法1:赋值x=y=0,得到f(0)=0,再 赋值y=0,可得f(x)的解析式。f(x+y) -2f(y)=x2+2xy-y2+3x-3y 对任意实 数x,y 都成立,令x=y=0得f(0)=0,再 令y=0得f(x)-2f(0)=x2+3x,所以函 数f(x)=x2+3x。 解法2:赋值x=0,得到f(y),再令y= x,可得f(x)的解析式。在已知式中令x= 0,可得 f(y)-2f(y)=-y2-3y,所以 -f(y)=-y2-3y,即f(y)=y2+3y。令 y=x,可得函数f(x)=x2+3x。 体验:赋值法求函数解析式,如何赋值要 根据题目特征来确定。赋值法求出解析式 后,应注意函数的定义域。 1.已知函数f(x)满足f(0)=1,f(a- b)=f(a)-b(2a-b+1),求函数f(x)的解 析式。 提示:令a=b=x,则f(0)=f(x)- x(2x-x+1),所以f(x)=x2+x+1。 2.设f(x)=2x+a,g(x)= 1 4 (x2+ 3),且g[f(x)]=x2-x+1,则实数a 的值 为 。 提示:因为g[f(x)]= 1 4 [(2x+a)2+ 3]=x2+ax+ a2+3 4 =x 2-x+1,所 以 a=-1, a2+3 4 =1 , 解得实数a=-1。 3.已知f x+1 =x+2 x,则函数 f(x)的解析式为 。 提示:易得 f(x+1)=x+2 x = (x+1) 2 -1。令t= x+1≥1,则f(t)= t2-1(t≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1)。 作者单位:甘肃省张家川县第二高级中学 (责任编辑 郭正华) 41 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 ■林贵清 一元二次方程的根的判别式在初中学习 过,求解高中数学问题也经常用到,下面例说 判别式的五种作用。 一、判断一元二次方程的根的个数 例1 关于x 的一元二次方程x2-a2x -3=0的解的个数为( )。 A.0 B.1 C.2 D.1或2 解:由x2-a2x-3=0,可得Δ=(-a2)2 +4×3=a4+12>0恒成立,所以原方程有2 个不相等的实数根。应选C。 点评:对于一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0),若Δ>0,则方程有两个相异实根; 若Δ=0,则方程有两个相等实根;若Δ<0, 则方程没有实数根。 二、求参数的值 例2 已知函数f(x)= mx2+8x+n x2+1 的 值域为[1,9],则m+n= 。 解:令t= mx2+8x+n x2+1 ,则t∈[1,9]。 因为(t-m)x2-8x+t-n=0,又t∈[1,9], 所以Δ=64-4(t-m)(t-n)≥0,所以t=1 和t=9是方程64-4(t-m)(t-n)=0的两 个根,即t=1和t=9是方程t2-(m+n)t+ mn-16=0的两个根,所以 m+n=10, mn-16=9, 解 得 m=5, n=5, 符合题意。故 m=5,n=5,所以 m+n=10。 点评:利用Δ=64-4(t-m)(t-n)≥0 的解集,转化为1和9是方程t2-(m+n)t +mn-16=0的两个根是解题的关键。 三、求参数的取值范围 例 3 已 知 函 数 f (x ) = mx2+(m-3)x+1的值域是[0,+∞),则 实数m 的取值范围为 。 解:对于f(x)= mx2+(m-3)x+1, 当m=0时,可化为f(x)= -3x+1,其值 域为[0,+∞),满足题意;当 m>0时,二次 函数图像的开口向上,需满足Δ=(m-3)2- 4m≥0,可得(m-1)(m-9)≥0,解得m≤1 或m≥9,这时0<m≤1或 m≥9;当 m<0 时,二次函数图像的开口向下,函数值无法达 到正无穷大,不符合题意。 综上可知,0≤m≤1或m≥9,即实数m 的取值范围为[0,1]∪[9,+∞)。 点评:根据函数解析式,讨论m=0,m> 0和m<0的不同取值,再分析值域是否可以 取到[0,+∞),即可求得m 的取值范围。 四、根据不等式恒成立求参数的取值范围 例4 若一元二次不等式ax2+ax-1< 0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围 是 。 解:根 据 题 意 可 知, a<0, Δ<0, 所 以 a<0, a2+4a<0, 解得-4<a<0,所以实数a 的 取值范围是(-4,0)。 点评:对于不等式ax2+ax-1<0,当 a≥0时,一元二次不等式ax2+ax-1<0对 一切x∈R不恒成立。 五、证明不等式 例5 求证:∀x,y∈R,2x2+2xy+ y2-4x+5>0。 证明:将原不等式变形为 y2+2xy+ 2x2-4x+5>0。令f(y)=y2+2xy+2x2 -4x+5。 由x,y∈R,可得Δ=4x2-4(2x2-4x +5)=-4(x-2)2-4<0恒成立,所以二次 函数f(y)图像的开口向上,且图像全部在x 轴的上方,即f(y)>0恒成立。故∀x,y∈ R,2x2+2xy+y2-4x+4>0成立。 点评:通过构造函数f(y),将所求问题 转化为f(y)>0在R上恒成立问题求解。 作者单位:福建省泉州外国语学校 (责任编辑 郭正华) 51 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月