05 依托分段数场景 归纳基本题型应用&06 例说函数单调性的应用-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■张玉芳 涉及分段函数的应用问题,一直是高考 考查的热点与难点问题之一,也是高考试题 中的一类常见题型。此类问题以分段函数为 问题场景,借助相关知识加以合理交汇融合, 常考常新,形式多样,变化多端。 一、定义域或值域问题 例 1 已 知 函 数 f (x ) = x2,-1≤x≤1, 1,x<-1或x>1, 则函数f(x)的定义域 为 ,值域为 。 解:由 分 段 函 数 的 解 析 式,可 知 函 数 f(x)的定义域为[-1,1]∪(1,+∞)∪ (-∞,-1)=R。 当x∈[-1,1]时,f(x)=x2∈[0,1], 当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(x)∈ {1},所以函数f(x)的值域为[0,1]。 点评:分段函数的定义域是各段函数定 义域的并集,分段函数的值域是各段函数值 域的并集。特别地,绝对值函数的定义域、值 域通常要转化为分段函数来处理。 二、函数求值问题 例 2 已 知 函 数 f (x ) = x+1,x≤-2, x2+2x,-2<x<2, 2x-1,x≥2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 若f(a)=3成立,则实 数a的值为 。 解:①当a≤-2时,可得f(a)=a+1, 则a+1=3,解得a=2>-2,不符合题意,舍 去;②当-2<a<2时,可得f(a)=a2+2a, 则a2+2a=3,即a2+2a-3=0,解得a=1 或a=-3,由1∈(-2,2),-3∉(-2,2),可 知a=1符合题意;③当a≥2时,可得f(a) =2a-1,则2a-1=3,解得a=2,符合题 意。 由①②③可知,若f(a)=3成立,则实 数a=1或a=2。 点评:解决分段函数中的含参数问题的 四个基本步骤:对参数的取值范围进行分类 讨论;把参数代入到相应的不同解析式中;通 过解方程来确定参数的值;检验所求的值是 否在所讨论的范围内。 三、函数图像问题 例3 函 数 y=x+ |x| x 的 图 像 是 ( )。 解:(直接法)由函数y=x+ |x| x ,可知 此函数的定义域为{x|x≠0,x∈R}。当x> 0时,可得y=x+1;当x<0时,可得y=x - 1。 所 以 函 数 y = x + |x| x = x+1,x>0, x-1,x<0, 故其图像符合选项C。应选C。 (排除法)由函数y=f(x)=x+ |x| x (x≠0),可得f(-1)=-2,由此可以排除选 项A、D。由f(1)=2,可排除选项B。应选 C。 点评:判断分段函数图像的关键是结合 各段上具体的函数解析式来确定相应的图 像,也可以借助一些特殊点所对应的函数值, 结合选项中函数的图像,借助排除法来判断。 四、与方程融合问题 例4 试讨论方程x2-4|x|+5-m=0 的实根的个数。 解:由x2-4|x|+5-m=0,可得x2- 01 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 4|x|+5=m。 方程x2-4|x|+5-m=0的实根个数 问题,可转化为函数y=x2-4|x|+5的图 像与直线y=m 的交点个数问题。 作 出 函 数 y =x2 -4|x|+5= x2-4x+5,x≥0, x2+4x+5,x<0 的图像,如图1所示。 图1 结合函数图像可得实根的个数: ①当m<1时,直线y=m 与该图像无 交点,方程无解; ②当m=1或m>5时,直线y=m 与该 图像有2个交点,方程有2个实根; ③当1<m<5时,直线y=m 与该图像 有4个交点,方程有4个实根; ④当m=5时,直线y=m 与该图像有3 个交点,方程有3个实根。 点评:解题时,通过合理等价转化,将方 程问题转化为对应的分段函数问题,结合函 数图像的直观分析,使得问题圆满获解。 五、与不等式融合问题 例5 已知函数f(x)= 1,x≥0, 0,x<0, 则不 等式xf(x)+x≤2的解集是( )。 A.{x|x≤1} B.{x|x≤2} C.{x|0≤x≤1} D.{x|x<0} 解:当 x≥0时,f(x)=1,由 不 等 式 xf(x)+x≤2,可得x+x≤2,解得x≤1,这 时0≤x≤1; 当x<0时,f(x)=0,由不等式xf(x)+ x≤2,可得0+x≤2,解得x≤2,这时x<0。 综上可得,x≤1。应选A。 点评:求解分段函数与不等式的交汇问 题,关键是利用分段函数的解析式,结合不等 式的应用,使得分段函数与不等式的交汇问 题顺利解决。 六、实际应用问题 例6 一列货运火车从某站出发,匀加 速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段 时间,火车到达下一站停车,装完货以后,火 车又匀加速行驶,一段时间后再次匀速行驶。 下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度 变化情况的是( )。 解:根据题意可知,这列火车从静止开始 匀加速行驶,由此排除选项A、D。然后匀速 行驶一段时间后又停止了一段时间,由此排 除选项C。应选B。 点评:现实生活中的一些常见事例,往往都 有分段函数的“影子”,借助分段函数的概念与 基本性质,回归实际生活问题的内涵,从数学视 角观察现实生活,实现问题的突破与解决。 已知定义在R上的函数f(x)满足∀x, y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)-2024,若 函数g(x)= x 2024-x2 2024+x2 +f(x)的最大值 和最小值分别为 M,m,则 M+m= 。 提示:令x=y=0,则f(0)=2f(0)- 2024,即f(0)=2024。令y=-x,则f(0) =f(x)+f(-x)-2024,所以f(-x)- 2024=-[f(x)-2024],所以h(x)=f(x) -2024为奇函数,所以 f(x)=h(x)+ 2024。令G(x)= x 2024-x2 2024+x2 +h(x),则 G(-x)=-G(x),即G(x)为奇函数,所以 G(x)max+G(x)min=0。又 因 为 g(x)= x 2024-x2 2024+x2 +h(x)+2024=G(x)+ 2024,所 以 M +m =G(x)max+2024+ G(x)min+2024=0+4048=4048。 作者单位:广州市从化区流溪中学 (责任编辑 郭正华) 11 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 函数的单调性是函数的重要性质,函数 的单调性常有下面四个应用。 一、求参数的取值范围 例1 已知函数f(x)=x2+2(a-1)x +2。若f(x)满足对任意的x1,x2∈[4, +∞),且x1≠x2,都有 f(x2)-f(x1) x2-x1 >0, 则实数a的取值范围是( )。 A.[-3,+∞) B.(-3,+∞) C.[-3,4] D.[4,+∞) 解:因为对于任意的x1,x2∈[4,+∞), 且x1 ≠x2,都 有 f(x2)-f(x1) x2-x1 >0,所 以 f(x)在区间[4,+∞)上单调递增,所以x= - 2(a-1) 2 =1-a≤4 ,所以a≥-3,即a∈ [-3,+∞)。应选A。 评析:与二次函数有关的单调性问题,利 用顶点的横坐标与给定区间的关系,列出不 等式求解。 二、比较大小 例2 已知函数f(x)=x2+4x+c,则 ( )。 A.f(1)<c<f(-2) B.c<f(-2)<f(1) C.c>f(1)>f(-2) D.f(1)>c>f(-2) 解:因为二次函数f(x)=x2+4x+c的 图像的对称轴为x=-2,且开口向上,所以 f(x)在区间[-2,+∞)上单调递增,所以 f(-2)<f(0)<f(1)。又f(0)=c,所以 f(1)>c>f(-2)。应选D。 评析:比较函数值的大小,应将自变量转 化到同一个单调区间内,利用函数的单调性 判断函数值的大小关系。 三、解不等式 例3 已知函数f(x)是(0,+∞)上的 增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a 的取值范围为 。 解:由已知得 a2-a>0, a+3>0, a2-a>a+3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得-3< a<-1或a>3,所以实数a 的取值范围为 (-3,-1)∪(3,+∞)。 评析:求解与抽象函数有关的不等式问 题,应注意函数的定义域。 四、求最值 例4 已知函数f(x)=ax+ 1 a (1-x) (a>0),且f(x)在区间[0,1]上的最小值为 g(a),则g(a)的最大值为 。 解:函数f(x)= a- 1 a x+1a(a>0), 当a>1时,a- 1 a>0 ,f(x)在[0,1]上为增 函数,可得g(a)=f(0)= 1 a ;当0<a<1 时,a- 1 a<0 ,f(x)在[0,1]上为减函数,可 得g(a)=f(1)=a;当a=1时,f(x)=1, g(a)=1。 综上得函数g(a)= a,0<a<1, 1 a ,a≥1。 显然 g(a)在(0,1)上为增函数,在[1,+∞)上为 减函数。又当a=1时,a= 1 a=1 ,所以当 a=1时,g(a)取最大值1。 评析:分段函数的单调性,除注意各段的 单调性外,还要注意衔接点处的取值。 作者单位:湖北省巴东县第一高级中学 (责任编辑 郭正华) 21 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月