04 巧借函数图像 妙解综合问题-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■仲 鹏 函数图像作为函数中最直观的一种表达 形式,形象地揭示了函数的基本性质。借助 函数图像的直观性,使得问题的处理更加简 捷方便,成为解决一些函数综合应用问题比 较常用的一种基本方法。 一、参数值的确定 例 1 已 知 函 数 f (x ) = -x2+2x,x>0, 0,x=0, x2+mx,x<0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 为 奇 函 数,则 实 数 m = ;若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调 递增,则实数a的取值范围为 。 解:当x<0时,-x>0,可得f(-x)= -(-x)2+2(-x)=-x2-2x。由f(x)为 奇函数,可得f(-x)=-f(x)=-x2-2x, 所以当x<0时,f(x)=x2+2x,所以m=2。 由 m = 2,可 得 函 数 f (x)= -x2+2x,x>0, 0,x=0, x2+2x,x<0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 作出函数y=f(x)的图 像,如图1所示。 图1 由图可知,f(x)在[-1,1]上单调递增, 要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,只需 a-2>-1, a-2≤1, 解得1<a≤3,即实数a 的取值 范围为(1,3]。 评析:求解函数在含参数区间上的单调 性问题,借助函数的图像,利用函数的最值 点,构建对应的不等式即可求得参数的取值 范围。 二、函数值的判断 例 2 已 知 函 数 f (x ) = x2,-1≤x≤1, 1,x<-1或x>1, 若f(x)≥14,则x 的取 值范围为 ;函数f(x)的值域为 。 解:作出函数f(x)的图像,如图2所示。 图2 易得 f ± 1 2 =14,结 合 函 数 图 像 知 f(x)≥ 1 4 的x 的取值范围是 -∞,- 1 2 ∪ 1 2 ,+∞ 。 由图可知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2 的值域为[0,1];当 x>1或 x<-1时, f(x)=1。故函数f(x)的值域为[0,1]。 评析:求函数的值域或最值的关键是作 出函数的图像,利用图像的变化规律与趋势 即可确定函数的值域或最值。 三、基本性质的识别 例3 函数y=|x+2|在区间[-3,0] 上( )。 A.递减 B.递增 C.先减后增 D.先增后减 解:已 知 函 数 y = |x + 2| = x+2,x≥-2, -x-2,x<-2, 作出函数y=|x+2|的图 像,如图3所示。 图3 由图可知,此函数在[-3,-2)上为减函 数,在[-2,0]上为增函数。应选C。 评析:借助函数图像研究函数性质时,要 8 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 注意图像的左右(或上下)取值范围对应其定 义域(或值域),图像的升降趋势对应其单调 性,图像的对称性对应其奇偶性。 四、不等式的求解 例4 设奇函数f(x)在区间(0,+∞) 上为增函数,且满足 f(1)=0,则不 等 式 f(x)-f(-x) x <0 的解集为 。 解:由函数f(x)为奇函数,可得f(-x) =-f(x),所以不等式 f(x)-f(-x) x <0 可化为f (x) x <0 ,即xf(x)<0。结合题意, 画出函数f(x)的大致图像,如图4所示。 图4 由图可知,当x>0时,由xf(x)<0,可 得f(x)<0,这时0<x<1;当x<0时,由 xf(x)<0,可得f(x)>0,这时-1<x<0。 综上可得,xf(x)<0的解集为(-1,0)∪ (0,1),即所求不等式的解集为(-1,0)∪(0,1)。 评析:解决此类涉及抽象函数的不等式 问题,确定对应的抽象函数的大致图像,可以 给问题的突破创造条件。 五、创新问题的应用 例5 对a,b∈R,定义 max{a,b}= a,a≥b, b,a<b, 则函数f(x)=max{|x+1|,|x- 2|}(x∈R)的最小值是 。 解:在平面直角坐标系中,画出函数y= |x+1|和y=|x-2|的图像,如图5所示。 图5 由题中的创新定义,结合函数图像可知, 函数f(x)= 2-x,x< 1 2 , x+1,x≥ 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以函数f(x) 的最小值为f 1 2 =32。 评析:解决此类创新应用问题的关键是 挖掘新定义的内涵,抓住创新定义并结合函 数图像的直观分析,使得问题的处理简单快 捷。 1.设函数f(x)= x2+bx+c,x≤0, 2,x>0, 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解 析式为f(x)= ,关于x 的方程f(x)= x 的解的个数为 。 提示:由f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 可得 16-4b+c=c, 4-2b+c=-2, 解得 b=4 , c=2, 所以函数 f(x)= x2+4x+2,x≤0, 2,x>0。 在同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 y= f(x)与y=x 的图像,如图6所示。 图6 由图可知,两函数图像有3个交点,即方 程f(x)=x 的解的个数为3。 2.已知方程lgx+x-2=0的根在区间 (1,3)上,第一次用二分法求其近似解时,其 根所在的区间应取为 。 提示:令f(x)=lgx+x-2,f(x)在定 义域内单调递增,且f(1)=-1<0,f(3)= lg3+1>0,f(2)=lg2>0。因为f(1)· f(2)<0,所以第一次用二分法求其近似解 时,其根所在的区间应取(1,2)。 作者单位:江苏省淮州中学 (责任编辑 郭正华) 9 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月