01 知识串联 学透函数奇偶性-《中学生数理化》高一数学2024年10月刊

■刘长柏 函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性 都是函数的主要性质。奇偶性只是对称性的 一种特殊情况,利用奇偶函数的图像的对称 性,可以衍生出一般情形下的对称性问题。 下面借助例题作简要阐述。 一、函数的奇偶性 一般地,对于函数f(x),如果在定义域 内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那 么函数f(x)为奇函数;如果在定义域内的任 意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数 f(x)为偶函数。判断函数奇偶性时要注意 定义域的对称性。利用两个函数方程的特征 判断 奇 偶 性 的 三 种 方 法:f(x-a)= f(a-x)⇔f(x)为 偶 函 数;f(x-a)= -f(a-x)⇔f(x)为奇函数;f(2x-a)= f(a-2x)⇔f(x)为偶函数。 例1 已知定义域为[1-2a,a+1]的奇 函数f(x)=x3+(b-1)x2+x,则a+b= 。 解:由奇函数的定义域为[1-2a,a+1] 得1-2a+a+1=0,解得a=2。 因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x) =-f(x)恒成立,即-x3+(b-1)x2-x= -x3-(b-1)x2-x,也即(b-1)x2=0恒成 立,所以b-1=0,即b=1。故a+b=3。 点评:奇偶函数的一个前提条件是定义 域关于坐标原点对称。 练习1:设f(x)是定义在(-∞,+∞) 上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1,则 函数f(x)的解析式为 。 提示:当x<0时,-x>0,由f(x)为奇 函数,可得f(x)=-f(-x)=-x2-1。因 为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数, 所 以 f (0)= 0。 故 函 数 f (x)= -x2-1,x<0, 0,x=0, x2+1,x>0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 二、函数的奇偶性与对称性 奇函数的图像关于坐标原点对称,偶函 数的图像关于y 轴对称,反之,结论也成立。 奇偶函数的定义中的两个函数方程有一个共 同特征,即自变量之和为0,由此得出如下两 个结论:①函数y=f(x+a)是偶函数,即 f(a+x)=f(a-x)恒成立⇔f(x)的图像 关于直线x=a 对称。一般地,若f(a+x) =f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图像关于 直线x= a+b 2 对称。②函数y=f(x+a)是 奇函数,即f(-x+a)+f(x+a)=0恒成 立⇔f(x)的图像关于点(a,0)对称。一般 地,若函数y=f(x+a)-b 为奇函数,即 f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则y= f(x)的图像关于点(a,b)对称。 例2 已知函数f(x)=ax5+bx3+3, 且f(2023)=16,则f(-2023)的值为 。 解:因为 f(x)=ax5+bx3+3,所 以 f(-x)+f(x)=6。因为f(2023)=16,所 以f(-2023)=6-f(2023)=6-16= -10。 点评:解答本题的关键是利用函数的解 析式得到f(-x)+f(x)=6。 练习2:已知函数f(x)= x3+(x+1)2 x2+1 在区间[-2,2]上的最大值为 M,最小值为 N,则(M+N-1)2023 的值为 。 提示:由题意知f(x)= x3+2x x2+1 +1,x∈ [-2,2]。设函数g(x)= x3+2x x2+1 ,则函数 f(x)=g(x)+1。 3 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月 因为g(-x)= -x3-2x x2+1 =-g(x),所 以g(x)为奇函数,所以g(x)在区间[-2,2] 上的最大值与最小值的和为0,所以 M+ N=2。故(M+N-1)2023=(2-1)2023=1。 三、函数的奇偶性与周期性 例3 设f(x)是定义域为R的偶函数, 且满足f(2+x)=f(-x),f - 1 2 =12,则 f 9 2 =( )。 A.- 3 2 B.- 1 2 C. 1 2 D. 3 2 解:因为f(x)是定义域为 R的偶函数, 所以f(-x)=f(x),所以 f(2+x)= f(-x)=f(x),所以f(x)的周期为2。 故 f 9 2 = f 92-4 = f 12 = f - 1 2 =12。应选C。 点评:根据函数满足的条件,确定函数的 周期及适当赋值是解题的关键。 练习3:已知定义在R上的函数f(x)满 足f(x-1)为奇函数,f(x-2)为偶函数。 若f(2)=2,则f(2024)=( )。 A.-2 B.0 C.2 D.2024 提示:因为 f(x-1)为 奇 函 数,所 以 f(-x-1)=-f(x-1),所以f(-1-1)= -f(1-1),即 f(-2)=-f(0)。因为 f(x-2)为偶函数,所以f(x-2)=f(-x -2),所以f[-(x-1)-2]=f[(x-1)- 2]=f(x-3),即f(-x-1)=f(x-3),所 以f(x-3)=-f(x-1),所以f[(x-2)- 3]=-f[(x-2)-1]=-f(x-3)=f(x- 1),即f(x-5)=f(x-1),所以f[(x+1) -5]=f[(x+1)-1],即f(x-4)=f(x), 所以f(x)=f(x+4),所以4是函数f(x) 的一 个 周 期。所 以 f(2)=f(2-4)= f(-2)=2,所以f(0)=-f(-2)=-2。 所以f(2024)=f(506×4+0)=f(0)= -2。应选A。 四、函数的奇偶性与单调性 由函数图像的对称性可知,奇函数的定 义域关于原点对称的部分其单调性一致,而 偶函数的单调性相反。 例4 已知g(x)为定义在 R上的奇函 数,且对任意的非负数a≠b,有g (a)-g(b) a-b <0,且f(x)=g(x)+2。若f(m)+f(m- 2)>4,则实数m 的取值范围是( )。 A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.(1,+∞) D.(-∞,1) 解:因 为 对 任 意 的 非 负 数 a ≠b,有 g(a)-g(b) a-b <0 ,所以函数g(x)在 R 上为 单调递减函数。因为 f(x)=g(x)+2, f(m)+f(m-2)>4,所以 g(m)+2+ g(m-2)+2>4,即g(m)>-g(m-2)。 又g(x)为奇函数,所以g(m)>g(2-m), 所以m<2-m,解得 m<1,即实数 m 的取 值范围是(-∞,1)。应选D。 点评:解题的关键是由已知条件得到 g(x)为奇函数,且g(x)在 R上为单调递减 函数。 练习4:设f(x)是定义在 R 上的偶函 数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(x-1)< f(4)的解集为( )。 A.(-∞,5) B.(-3,5) C.(-2,4) D.(0,4) 提示:已 知 f(x)是 偶 函 数,且 在[0, +∞)上单调递增,由f(x-1)<f(4),可得 |x-1|<4,所以-4<x-1<4,解得-3< x<5。故不等式的解集为(-3,5)。应选B。 已知y=f(x)+2为奇函数,则f(-1) +f(0)+f(1)= 。 提示:因为y=f(x)+2为奇函数,所以 f(x)+2=-[f(-x)+2],即f(-x)+ f(x)=-4,所以f(-1)+f(1)=-4。由 奇函数的性质知f(0)+2=0,即f(0)= -2,所以f(-1)+f(0)+f(1)=-6。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 (责任编辑 郭正华) 4 知识结构与拓展 高一数学 2024年10月