2.7 导数大题之恒成立、能成立-遇见最美的数学系列-——技巧篇2（章节综合版）

52 2.7导数大题之恒成立、能成立 题型:恒成立、能成立问题 秒杀原理：导数恒成立、能成立问题，通过不等式的性质转换为函数最值直 接的大小比较问题 秒杀结论:恒成立、能成立大题模板 秒杀用时: 3 分钟 秒杀步骤：(1) 判断题目为恒成立、能成立问题 (2) 根据(1)中判断，转换为相应的不等式关系。 (3)套用导数大题单调性模板，解出答案。 导数大题之恒成立模板: 任意（）恒成立，即对于任意的 Rx 都有   0)(-)(0)(-)()()()()( max  xgxfxgxfxgxfxgxf 恒成立恒成立 例 1:已知函数 3)(ln)( 2  axxxgxxxf ， ,若     e e x ,1 都有 )()(2 xgxf  成立，求 a的取值范围。 解:由题可知， 3ln2 2  axxxx 恒成立，即， x xxae e x 3ln2,1     ， 恒 成立，令 x xxxh 3ln2)(  ，则 min)(xha  由题可知， )(xh 的定义域为     e e x ,1 求导得: 22 )1)(3(3-12)(' x xx xx xh  令 0)(' xh ，解得  ex ，1 为单调增区间 令 0)(' xh ,解得      1,1 e x 为单调减区间 高中数学，并不难 53 ∴ )(xh 在     e e ,1 上的最小值为 4)1()( min  hxh 故， 4a 。 导数大题之能成立模板： 存在( )白能成立，即存在() x 某一区间有 )()( xgxf  成立 )()( xgxf  能成立   能成立0)(-)(  xgxf   0)(-)( min  xgxf 例 2:已知函数 3)(ln)( 2  axxxgxxxf ， ,若     e e x ,1 ，使不等式 )()(2 xgxf  成立，求 a的取值范围。 解:由题可知， 3ln2 2  axxxx 恒成立 即， x xxae e x 3ln2,1     ， 恒 成立 令 x xxxh 3ln2)(  ，则 max)(xha  由题可知， )(xh 的定义域为     e e x ,1 求导得: 22 )1)(3(3-12)(' x xx xx xh  令 0)(' xh ，解得  ex ，1 为单调增区间 令 0)(' xh ,解得      1,1 e x 为单调减区间 ∴ )(xh 在     e e ,1 上的最小值为 e ee hxh 312)1()( max  故， e e a 312-  。 高中数学，并不难 54 刷题特训: [1]已知函数 x axgaxxxf  )(12-)( 2 ， ，其中 0,0  xa (1) 对于任意  2,1x , 都有 )()( xgxf  恒成立，求实数 a的取值范围 (2) 对于任意    4,22,1 21  xx ， , 都有 )()( 21 xgxf  恒成立，求实数 a的取 值范围 [2]已知函数 mxgxxf x - 2 1)()( 2       ， ， 对于任意的  2,01 x ,存在  2,12 x ，使得 )()( 21 xgxf  恒成立，求实数m的取值范围。 [3]已知函数 1)( 2  xaxxf ,对于  2,0x ,恒有 0)( xf ，求实数 a的取值 范围。 [4]当  2,1x 时，不等式 042 mxx 恒成立，则实数m的取值范围是 [5]已知函数 ))(ln()( 为常数aaexf x  是定义域在实数集 R上的奇函数，且有 函数 xxxg cos)(   在     3 2, 3  上是减函数 (1)求 a的值与的范围 (2)若对于(1)中的任意都有 1)(  txg  在     3 2, 3  上恒成立，求实数 t的 取值范围 高中数学，并不难 高中数学，并不难 1,22,-43,D4,A 5,C 2.6刷题特训 1,A 2,B 3,B 2.7刷题特训 1,解：(1)x∈，2]，都有fx)>g(x)恒成立，即a< x+x 2x2+11 令)=+，则四=2+>0，h在x2上为增 2x2+1 2x2+1 函数，)m=0)= 2 实数的取值范围是0<a<号 (②)当4利时，8，)为减函数，六8)m=g2)=号 当0<a≤1时，f(x)mm=f)=2-2a∴f)>g(2) 解得：0<a<号 当1<a<2时，f(x)mm=f(a)=1-a2 1-a2>号，解得0<a<7- 2 4 当a≥2时，fx)mm=f(2)=5-4a 5-如>受解得a< 9 综上所述，a取值范围是0<a<4或a≥2 2,解：由题意得，f(x)m>g(x)m x1∈[0,2}fx)=x2∈0,4.即f(x)mn=0 在e2lgu-周-me[日mm] 1 ∴gx)m=4 -m 248 高中数学，并不难 ·m 4 3,解：由题意得，当a>0时，f(x)>0在∈0,2上恒成立： 当a=0时，f(x)=x+1>0在x∈[0,2]上恒成立： 当a<0时，由二次函数图像可知，f2)>0,解得-3<a<0 综上所述，a>-3 4 4,解：设当f(x)=x2+mx+4在，要使x∈(1,2)时，不等式x2+mx+4<0恒成 立，则有0≤0 即 1+m+4≤0 f2)≤0 4+2m+4≤0 5,解：(1)由题意得，fw)+f(-x)=0即(e+ae+a)=1 整理得，a(e+e*+a)=0,.a=0 g(x)=x-cosx在区间 ，2π 3' 上是减函数 g'(x)=元+sinx在区间 上恒小于等于0 .1≤-sinx在区间 上恒成立，即入≤-1 (2)函数g(x)=2x-cosx在区间 π2π 上是减函数，故函数最大值是 33 由1)知元≤-，交+在区间(0，-)上是减函数 321 放1sr.1 32 3.2刷题特训 1. 。2.25 5 3 249