2.6 导数构造巧解-遇见最美的数学系列-——技巧篇2（章节综合版）

49 2.6导数构造巧解 题型:导数构造 秒杀原理:函数的导数可求其单调性，通过单调性求解抽象函数不等式。 秒杀结论:详细见秒杀步骤 秒杀用时: 10 秒 秒杀步骤: (1) 题干中找到“ )(' xf ”或“ )(' xf ”形式的不等式 (2) “ )(' xf ”表示增函数，“ )(' xf ”表示减函数 (3) 题目问题中的抽象不等式“ )()( 21 xfxf  ”括号中的内容  21 xx， 直接 落下，不等号不改变方向直接落下(增函数)或者改变方向落下(减函数) (4)若问题中抽象不等式为“ cxf )( ”形式时，去题目条件中寻找型如 “ 0)1( f ”的等式，利用 )1(f 代替 cxf )( 中的 c。 求解不等式 例 1:函数 )(xf 的导函数 )(' xf 满足 )()(' xfxf  成立，若 ef )1( ,则不等式 xexf )( 的 x的范围是( ) 2lnD.0 2lnC. 1B.0 1.  xxxxA 解: (1) “ )()(' xfxf  ” 即“ )(' xf ”， 所以增函数。 (2)题目问题求抽象不等式 xexf )( 的解集，且 ef )1( 则有 xexf )( → 1x (3)所以选 A。 例 2:函数 )(xf 是定义域  ，1 上的可导函数，且 高中数学，并不难 50   0)()2()('1)( 22  efxxxfxxf ， ，则不等式 0)( xef 的解集为( )        ,2D. 21C. 20B. 10. ，，，A 解: (1)   0)()2()('1)( 22  efxxxfxxf ， 中“ )(' xf ”所以增函数。 (2)题目问题求抽象不等式 0)( xef 的解集，且 0)( 2 ef 则有 0)( xef → )()( 2efef x  → 2x (3)又因为定义域为  ，1 ，所以 01  xe x 选 B。 高中数学，并不难 51 刷题特训: [1]设 )(xf 是奇函数 )(' xf 的导数， 0)1-( f . 0x 时， 0)()('  xfxxf 使得 0)( xf 成立的 x的取值范围是                 ，，，，， 10,1D. 1,0-1--C. 11,0-B. 101--.A [2]函数 )(xf 是可导函数，且 )(')(1)1( xfxfRx e f  ，， ，则使得不等式 2)(  xexf 成立的解集为         ，，， eeeA D. 1,C. 1B. -. [3]函数 )(xf 定义域为 R,且满足 2)(',2)1-(  xfRxf ， ，则 42)(  xxf 的解集为( )         ，，， -D. 1,--C. 1-B. 11-.A 高中数学，并不难 高中数学，并不难 1,22,-43,D4,A 5,C 2.6刷题特训 1,A 2,B 3,B 2.7刷题特训 1,解：(1)x∈，2]，都有fx)>g(x)恒成立，即a< x+x 2x2+11 令)=+，则四=2+>0，h在x2上为增 2x2+1 2x2+1 函数，)m=0)= 2 实数的取值范围是0<a<号 (②)当4利时，8，)为减函数，六8)m=g2)=号 当0<a≤1时，f(x)mm=f)=2-2a∴f)>g(2) 解得：0<a<号 当1<a<2时，f(x)mm=f(a)=1-a2 1-a2>号，解得0<a<7- 2 4 当a≥2时，fx)mm=f(2)=5-4a 5-如>受解得a< 9 综上所述，a取值范围是0<a<4或a≥2 2,解：由题意得，f(x)m>g(x)m x1∈[0,2}fx)=x2∈0,4.即f(x)mn=0 在e2lgu-周-me[日mm] 1 ∴gx)m=4 -m 248