2.5 无需求导的高次函数导数-遇见最美的数学系列-——技巧篇2（章节综合版）

47 2.5无需求导的高次函数导数 题型:高次函数导数 秒条原理:高次函数求导后为二次函数，利用二次函数方程的求根公式得到高 次函数导数的零点即高次函数的极值点。 秒杀结论之一:对于三次函数 Rdcbadcxbxaxxf  ,,,)( 23 ，其中 . 其 极值为 a acbbx 3 32   ，取“+”时为极小值点，取“-”时为极大值点。 秒杀用时: 10 秒 秒杀步骤:由结论一直接得答案 例 1: 函数 13-)( 23  xxxf 在 x 处取得极小值。 解: 2 13 0-93 3 32       a acbbx极小 秒杀结论之二:对于三次函数 Rdcbadcxbxaxxf  ,,,)( 23 ，其中 ，存在 以下三组结论: (1) “有极值” 032  acb (2)“有极大值和极小值”有三个单调区间 032  acb (3)“ )(xf 存在唯一零点” 0)()(  极大极小 xfxf 秒杀用时: 10 秒 秒杀步骤:根据题目不同问题，由结论二直接得答案。 例 2:若函数   1233)( 23  xaaxxxf 有极大值和极小值，则 a的取值范围 解: 12020)2(33903 222  aaaaaaacb 或 例 3:已知函数 13)( 23  xaxxf ，若函数存在唯一的零点 0x 且 00 x ，则 a的 高中数学，并不难 48 取值范围( )        1-,-D. 2--C. 1B. 2.  ，，，A 解: aa acbbx 2 3 32   极小 ， 03 3- 2    a acbbx极大 由图像可知， 02  a ，即 0a ∴   2002       af a f PS：三次函数求导题型，一定注意题目条件所等价于的结论，是否含有“=” 刷题特训： [1]函数 13- 3 1)( 23  xxxf 在 x 处取得极小值。 [2]若函数 4 2 3- 3 1)( 23  axxxxf 恰好在  4,1- 单调递减，则 a的值为_ [3]若 0,0  ba ，且函数 22-4)( 23  bxaxxxf 在 1x 处有极值，则 ab的 最大值( ) A.2 B.3 C.6 D.9 [4]已知函数 xaxxf -)( 3 在  ,1 上是单调增函数，则 a的最小值是( ) A.3 B.2 C. 3 1 D.0 [5]已知函数 axxxf  3-)( 3 有三个零点，则 a的取值范围是( )            2,2-D. 22-C. 22--B. 22--. ，，，， A 高中数学，并不难 247 综上所述，当 1a 时， )(xf 的单调增区间为  ，- ；当 1a 时，函数 )(xf 的单调增区间为     ,10, a ，单调减区间为  1,0 a 2，解：由题可知， )(xf 的定义域为 0,  aRx 求导得，        a xaxxf 23)(' 令 0)(' xf ，解得 01 x ， a x 22  （1）当 0a 时，若  0,x ，则 0)(' xf ，所以 )(xf 的单调增区间为        a 2- ， ，若       a x 2,0 ，则 0)(' xf ，所以 )(xf 的单调减区间为       a 20， ； 若        ， a x 2 ，则 0)(' xf ，所以 )(xf 的单调增区间为       ， a 2 3，C 4, 解：由题可知， )(xf 的定义域为   ,0x 求导得，   axaxxf  -3-)(' 令 0)(' xf ，解得 ax 1 ， 32 ax  当 axaaa  , 3 ,0 时， 0)(' xf ; 当 3 axa  时， 0)(' xf ; 当 3 ax  时， 0)(' xf ; 所以函数 )(xf 在 ax  处取得极小值 )(af ，且 0)( af ； 在 3 ax  处取得极大值 3 27 4-) 3 ( aaf  故，函数 )(xf 的极小值为 0，极大值为 3 27 4- a 5，C 2.5 刷题特训 高中数学，并不难 248 1，2 2，-4 3，D 4，A 5，C 2.6 刷题特训 1，A 2，B 3，B 2.7 刷题特训 1，解：（1）  2,1x ，都有 )()( xgxf  恒成立，即 12 2 3    x xxa ， 令 12 )( 2 3    x xxxh ，则 0 12 12)(' 2 24     x xxxh ， )(xh 在  2,1x 上为增 函数， 3 2)1()( min  hxh ∴实数的取值范围是 3 20  a （2）当  4,22 x 时， )( 2xg 为减函数，∴ 2)2()( max2 agxg  当 10  a 时， afxf 22)1()( min1  ∴ )2()1( gf  解得: 5 40  a 当 21  a 时， 2min1 1)()( aafxf  4 1170, 2 1 2  aaa 解得 当 2a 时， afxf 45)2()( min1  ∴ 9 10 2 45  aaa ，解得 综上所述， a取值范围是 2 5 40  aa 或 2，解：由题意得， minmin )()( xgxf     4,0)(2,0 21  xxfx ， ， 0)( min xf即 在             mmmxgx x 2 1, 4 1 2 1)(2,12 ， mxg  4 1)( min 高中数学，并不难