2.2 导数的应用：切线方程-遇见最美的数学系列-——技巧篇2（章节综合版）

34 2.2导数的应用:切线方程 题型:切线方程 秒杀结论:导数的几何意义就是函数在某一点处的切线的斜率。 秒杀原理:切线方程大题模板 秒杀用时: 1 分钟 秒杀步骤:根据题目已知条件，套用相应的大题模板进行书写。 切线方程大题模板: 解:设切点为 ),( 00 yxP ，求导可得: )(' 0xf 由导数的几何意义得切线的斜率  )(' 0xfk 由点斜式可得切线方程为: ))((' 000 xxxfyy  故:曲线 在点 ),( 00 yxP 处的切线方程为: 例 1:曲线 13 23  xxy 在点 )1,1(  处的切线方程为 解:求导可得： xxxf 63)(' 20  由导数的几何意义得切线的斜率 3-)(' 0  xfk 由点斜式可得切线方程为: ))((' 000 xxxfyy  即， 23)1(3-1  xyxy 故:曲线 13 23  xxy 在点 )1,1(  处的切线方程为: 23  xy PS:曲线在点 P处的切线方程，属于基础简单题型，直接模板套用，切点就不 用设。 例 2;与直线 042  yx 平行的抛物线 2xy  的切线方程为 解:设切点为 ),( 00 yxP ，求导可得: xy 2 高中数学，并不难 35 由导数的几何意义得切线的解率 00 2)(' xxfk  由题可知， 22)(' 00  xxfk ，即 10 x 由点斜式可得切线方程为: ))((' 000 xxxfyy  即， 1-2)1(21- xyxy  故：曲线 2xy  平行于直线 042  yx 的切线方程： 012  yx PS:切点未知，需设出切点坐标，同时此题为抛物线，也可以利用 0 进行求 解。 例 3:求过曲线 xxy 23  上点 )1,1(  的切线方程。 解:设切点为 ),( 00 yxP ，求导可得： 23' 2  xy 由导数的几何意义得切线的斜率 2-3)(' 200 xxfk  由点斜式可得切线方程为:     )(3-32- 020030 xxxxxy  由题可知，     )1(3-32-1- 020030 xxxx  ，解得 10 x 或 2 1-0 x 故:曲线 xxy 23  过点 )1,1(  处的切线方程为: 02-  yx 或 01-45  yx PS:通过答案可以发现 01-45  yx ，并不是以 )1,1(  为切点，而是经过了 )1,1(  以 ) 8 7, 2 1-( 为切点的直线。因此，过曲线上某一点的切线，该点未必就是切点。 例 4:求过点 )0,2( 且与曲线 x y 1 相切的直线方程。 解:设切点为 ),( 00 yxP ，求导可得: 2 1-' x y  由导数的几何意义得切线的斜率 2 0 0 1-)(' x xfk  由点斜式可得切线方程为: )(11- 02 00 xx xx y  高中数学，并不难 36 由题可知， )2(11-0 02 00 x xx  解得 11 00  yx ， 故:过点 )0,2( 且与曲线 x y 1 相切的直线方程为: 02-  yx 。 PS：过曲线外一点的切线方程，该点一定不是曲线的切点，切点必须另设 高中数学，并不难 37 刷题特训: [1]曲线 12  xxey x 在点 )1,0( 处的切线方程为 [2]若曲线 xxy ln 上点 P处的切线方程平行于直线 01-2 yx ，则点 P的坐 标为 [3]在平面直角坐标系 xoy 中，若曲线  为常数ba x baxy ,2  过点 P )5-,2( ，且 曲线在点 P处的切线与直线 0327  yx 平行，则 ba  的值是 [4]已知函数 )(xfy  的图像在点 M ))(,1( xf 处的切线方程是 2 2 1  xy ，则  )1(')1( ff [5]设曲线    Nnxy n 1 在点 )1,1( 处的切线与 x轴的交点的横坐标为 nx ，则  54321 xxxxx 高中数学，并不难 高中数学，并不难 习题答案 1.1刷题特训 1.B2.B3.A4.D 5 1.2刷题特训 1.B2.C3.C4.(-o,l5.（-o,4 1.3刷题特训 1.C2.A3.A 1.4刷题特训 1.A2.D 1.5刷题特训 1.C2.03.-264.D 1.6刷题特训 2.B 3.8 4.) 1.7刷题特训 1.12.03.0 1.8刷题特训 1.C2.B3.B4.C5.C 1.9刷题特训 1.C2.D 3.A 4 1.10刷题特训 1.C2.D 4.A5.B 2.2刷题特训 245 高中数学，并不难 1.y=3x+12.e,e）3.-3435.1 2013 2.3刷题特训 1.D2.D 3.解：由题可知，f(x)的定义域为x∈R 当a=-10时求导得，m=x4r2+3ax+4=2x2x-1以x-2) 3 令fe>0,解得x0》+ 令f<0,解得xe(0小侣2 故，函数f的单调增区间为0》2+小.单调减区间为(m0小（行2 4,C 5,由题可知，f(x)的定义域为xe(0,+o) 求导得，r=.-a2r+a 令f(x)>0,解得xe(0,a) 令f'(x)<0,解得xe(a,+o) 故，函数f(x)的单调增区间为(0，a),单调减区间为(a,+∞) 2.4刷题特训 1,解：由题可知，f(x)的定义域为x∈R 求导得，f(m)=6xx-(a-) 令f(x)=0,解得x=0,x2=a-1 (1)当a=1时，f(x)=6x≥0，f(x)的单调增区间为(o,+o) (2)当a>1时，令(x)>0,解得x∈-o,0U(a-l,+oo) 令f(x)<0,解得x∈(0，a-1 246