2.4 由参数引起的血案：含参导数-遇见最美的数学系列-——技巧篇2（章节综合版）

42 2.4由参数引起的血案:含参导数 题型:含参导数， 秒杀原理:不同情况含参导数分类讨论 秒杀结论:含参导数大题模板 秒杀用时: 3 分钟 秒杀步骤:根据题目己知条件及问题，套用不同含参导数大题模板 含参导数大题模板： 1、求导后，根据 0)(' xf 的实根是否存在进行分情况讨论。 例 1:已知函数    Raaxaaxxxf  412633)( 23 (1) 证明:曲线 )(xf 在 0x 处的切线过点  2,2 (2)若 )(xf 在 0xx  处取得极小值，  3,10 x ， 求 a的取值范围。 解: (1) 略 (2) 由题可知，函数的定义域为 Rx 求导得，  aaxxxf 2123)(' 2  (此时，需要根据 0)(' xf 的实根是否存在进行分情况讨论) ①当 1212  a 时， )(xf 没有极小值； ②当 1212  aa 或 时， 20 xx  ∴ 312-1 2  aaa 解得 12- 2 5  a 。综上所述，       1-2- 2 5- ，a 2、求导后，根据 0)(' xf 的实根大小进行分情况讨论 例 2:已知函数    1ln1- 2 1)( 2  axaaxxxf (1)讨论 )(xf 的单调性; 高中数学，并不难 43 (2)略 解: (1) 由题可知: )(xf 的定义域为   ，0x 求导得:      x axx x aaxxf 111-)('  (此时，需要根据“ 0)(' xf 的实根大小进行分情:况讨论) (i)当 11a ， 即 2a 时，   01)(' 2    x xxf ，则 )(xf 在  ，0 单调递增 (ii)当 111  aa 且 时，      x axxxf 11)('  令 0)(' xf ，解得     ,110 ax ， 为增区间， 令 0)(' xf ,解得  11， ax 为减区间， (i) 当 11a ，即 2a 时，同理可得， )(xf 在  11， ax 上单调递减， 在     ,110 ax ， 上单调递增。 3、求导后，令导数大于或小于 0时，不等式两边需同除一个代数式，讨论代 数式的正负。 例 3:已知函数   1ln1)( 2  axxaxf (1)讨论 )(xf 的单调性; (2)略。 解:由题可知: )(xf 的定义域为   ，0x 求导得: x aaxxf 12)(' 2   (此时，需要根据代数式的正负进行分情况讨论) (i)当 0a 时， 0)(' xf , )(xf 在  ，0 上单调递增 (ii) 当 1-a 时， 0)(' xf , )(xf 在  ，0 上单调递减 高中数学，并不难 44 (ii)当 01  a 时，令 0)(' xf ，解得         a ax 2 1-0， 为增区间;令 0)(' xf , 解得          ， a ax 2 1- 为减区间; 4、求导后，根据 0)(' xf 的实根是否在定义域内进行分情况讨论。 例 4:已知函数   0,1 2 3)( 23  aRxxaxxf 其中 (1)若 1a ，求曲线在点  )2(2 f， 处的切线方程； (2)若在区间     2 1 2 1- ， 上 0)( xf 恒成立，求 a的取值范围。 解: (1) 略 (2)求导得: )1(33-3)(' 2  axxxaxxf 令 0)(' xf ，解得 a xx 1,0 21  (此时，需要根据 0)(' xf 的实根是否在定义域内进行分情况讨论) (i)当 20  a ,即 2 11  a 时， ∵在区间     2 1 2 1- ， 上 0)( xf ∴        0) 2 1( 0) 2 1-( f f ， 解得 55-  a (ii) 当 2a ，即 2 110  a 时 ∵在区间     2 1 2 1- ， 上 0)( xf ∴        0)1( 0) 2 1-( a f f 高中数学，并不难 45 解得 2 25 2 2  aa 或 综上所述， a的取值范围 50  aa 。 高中数学，并不难 46 刷题特训: [1]设函数   1,1132)( 23  axaxxf 其中 ,求函数 )(xf 的单调区间 [2]已知函数 a xaxxf 313)( 23  ，讨论函数 )(xf 的单调性。 [3]已知函数 13)( 23  xaxxf .若 )(xf 存在唯一的零点 0x ，且 00 x .则 a的 取值范围是( )        1-,-D. 2--C. 1B. 2.  ，，，A [4]设函数   RaRxaxxxf  ，其中2)(-)( ,当 0a 时，求函数的极大值和 极小值。 [5]当  12- ，x 时，不等式 03423  xxax 恒成立，则实数 a的取值范围是 （ ）      3-4-D. 2-6-C. 8 9-6-B. 3-5-. ，，，，    A 高中数学，并不难 高中数学，并不难 1.y=3x+12.e,e）3.-3435.1 2013 2.3刷题特训 1.D2.D 3.解：由题可知，f(x)的定义域为x∈R 当a=-10时求导得，m=x4r2+3ax+4=2x2x-1以x-2) 3 令fe>0,解得x0》+ 令f<0,解得xe(0小侣2 故，函数f的单调增区间为0》2+小.单调减区间为(m0小（行2 4,C 5,由题可知，f(x)的定义域为xe(0,+o) 求导得，r=.-a2r+a 令f(x)>0,解得xe(0,a) 令f'(x)<0,解得xe(a,+o) 故，函数f(x)的单调增区间为(0，a),单调减区间为(a,+∞) 2.4刷题特训 1,解：由题可知，f(x)的定义域为x∈R 求导得，f(m)=6xx-(a-) 令f(x)=0,解得x=0,x2=a-1 (1)当a=1时，f(x)=6x≥0，f(x)的单调增区间为(o,+o) (2)当a>1时，令(x)>0,解得x∈-o,0U(a-l,+oo) 令f(x)<0,解得x∈(0，a-1 246 高中数学，并不难 综上所述，当a=1时，f(x)的单调增区间为(o,+o):当a>1时，函数f(x) 的单调增区间为(o,0小U(a-1,+),单调减区间为(0，a-) 2,解：由题可知，f(x)的定义域为xeR,a≠0 求导得，=3a-引 令f(x)=0,解得x=0,x2= (1)当a>0时，若x∈(-o.0),则f"(x)>0,所以f(x)的单调增区间为 则()<0，所以fx)的单调减区间为0，三 若x+小 则f(x)>0,所以f(x)的单调增区间为 a" 3,C 4,解：由题可知，f(x)的定义域为xe(0,+o) 求导得，f(x)=3x-ax-a) 令=0，解得=0，名=号 当a<0a<号r<a时，<0： 当a<x<8时，f()>0: 3 当x>9时，rw)<0: 3 所以函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0: 在=号处取得极大位得= 3 故，函数f()的极小值为0，极大值为- 27 5,C 2.5刷题特训 247