1.2 各种函数值域-遇见最美的数学系列-——技巧篇2（章节综合版）

6 1.2各种函数值域 所谓的值域，跟定义城一样，其实就是函数 )(xf 的取值范围。很多小伙伴们 都认为这一节很简单，也很基础，但其实函数的值域在整个高中都至关重要， 像压轴题中的最值，其实就是值域。下面讲解下函数求值域的几种方法。 秒杀原理:根据函数的定义域、解析式以及函数自身的性质求解函数的值域。 秒杀结论:直接法、二次函数、法、逆推法、有界性法、求导法、基本不等 式 秒杀用时: 5 秒。 秒杀步骤:根据不同函数的解析式及性质采用上述结论求解函数值域。 1、直接法 对于一些简单函数，采用直接法进行求值域。 例 1:求函数 xxf -3）（ 的值域。 解: 3-300  xxx 故， ）（xf 的值域为  3- ， 2、二次函数 从初中就开始学的二次函数，在高中仍然是扮演非常重要的角色。 例 2:求函数  2,1522  xxxxf ，）（ 的值域。 解: 4152 22  ）（）（ xxxxf ∵  2,1x 由二次函数的图像性质可知: 当 1x 时， 4)( min xf ; 当 1-x 时， 8)( max xf ; 故，函数 )(xf 的值域为  8,4 高中数学，并不难 7 3、法 对于含有二次函数的分式形式，是求值域的必备良药! 例 3:求函数 2 2 1 1)( x xxxf    的值域 解：原函数可化为     01)(1)( 2  xfxxxf , 这是一个关于 x的二次函数 ∴当 1)( xf 时， 0x : 当 1)( xf 时，   01)(4-1- 22  xf）（ 即， 2 3)( 2 1  xf 故，函数 )(xf 的定义域为     2 3 2 1 ， 4、比值法 对于函数 dcx baxxf    2 2 )( 形式的值域 秒杀口诀： 大的的小的，同号取中间即小大的或异号取两边即② ①求出两个比值，   )()()(, , xfxfxfdc d bn c am 备注： 值取等号n 例 3：求函数 1-4 3)( 2 2 x xxf  的值域。 解： 3-)( 4 1)( , 3-, 4 1   xfxf dc nm 或 异号取两边② ①求出两个比值，  5、逆推法 求原函数的反函数的定义域即为原函数的值域。 高中数学，并不难 8 例 4:求函数 65 43)(    x xxf 的值域。 解:原函数的反函数为 3)(5 )(64    xf xfx ∴ 5 3)( xf 故，函数 )(xf 的值域为              ，， 5 3 5 3- 6、有界性法 针对一些特殊函数，自身具有一定的有界性，判断其复合函数的值域， 比如，正弦函数 xsin 、余弦函数 xcos 、指数函数 xe 、对数函数 xalog 等。 例 5:求函数 3sin cos)(   x xxf 的值域 解:由原函数可得 )(3cossin)( xfxxxf  即， )(3)sin(1)(2 xfxxf   1)sin(1-  x ∴ 1 1)( )(31- 2    xf xf ∴ 4 2)( 4 2-  xf 故，函数 )(xf 的值域为       4 2 4 2- ， 7、求导法 通过导数判断函数的单调性，从而根据单调性求出函数的最大或最小值。当 然，有的题目不需要求导也可轻易判断其单调性。 例 6:求函数 )102(1log2 3 5   xxxf x）（ 解:函数  10,21log2 35 在和  xx 都是增函数 高中数学，并不难 9 ∴函数 )(xf 在  10,2 上也是增函数 ∴ 8 1)2()( min  fxf ， 33)10()( max  fxf 故，函数 )(xf 的值域为     33, 8 1 8、基本不等式 各种最值问题，最常用的方法就是  Rcbaabccbaabba ,,32 3 ，且， 。函数最值、面积最值等问题中 都是通过这个方法进行求解。 例 7:求函数 2 2 1 1)( x xxxf    的最大值。 解: x xx x x x x xxxf 1 11 1 1 11 1)( 2 2 22 2           ∵ 21  x x ∴ 2 3 2 11)( xf 故，函数 )(xf 的最大值为 2 3 PS:函数的值域并不难，但是高考题往往是求某某某的最值，这一下就增加了 题目的难度系数，因此函数值城定职养重练习!另，在函数的任何题目中，一 定要始终注意定义域，千万不要因为忽收了定义城而导致结果全错。 高中数学，并不难 10 刷题特训: [1]函数 ）（ Rx x xf    21 1)( 的值域是( )        10D. 0,1C. 10B. 1,0. ，，A [2]函数  ）（ 6,2 1 2)(    x x xf 的值域是( )    20D. 2, 5 2C. )0(,0-B. . ，，    RA [3] 已知函数 )(xf 的定义域为  3,2- ,值域为  ba, ，则函数 )4( xf 的值域为 ( )        4,4D. ,C. 1-6-B. 7,2.  babaA ， [4]函数 ）（ 243-1)( 2  xxxf 的值域是 [5]函数 xxxf 41332)(  的值域是 高中数学，并不难 高中数学,并不难 习题答案 1.1刷题特训 1.B 2. 3.A 4.D 5.(-1) 1.2刷题特训 1.B 2.C 3.C 4. (-oo.1 5.(-,4) 1.3刷题特训 1.C 2.A 3.A 1.4刷题特训 1.A 2.D 1.5刷题特训 1. C 2.0 3.-26 4.D 1.6刷题特训 1.(} 2.B 3.B 4.(-11) 1.7刷题特训 1.1 2.0 3.0 1.8刷题特训 1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 1.9刷题特训 4.}# 1.C 2.D 3.A 1.10刷题特训 1.C 2.D 3.271) 4.A 5. B 2.2刷题特训 245