14 2024年数学高考中三角及向量内容的试题分析及解题启示-《中学生数理化》高考数学2024年10月刊

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π 12 ,π 6 上的最小 值是( )。 A.- 3 2 B.- 3 2 C.0 D. 3 2 分析:先由诱导公式化简,结合周期公式 求出ω,得f(x)=-sin 2x,再利用整体思想 求出x∈ - π 12 ,π 6 时,2x 的范围,结合正弦 三角函数的图像与性质即可求解。 解:f(x)=sin 3ωx+ π 3 =sin(3ωx+ π)=-sin 3ωx。由T= 2π 3ω=π ,得ω= 2 3 ,即 f(x)=-sin 2x。当x∈ - π 12 ,π 6 时,2x ∈ - π 6 ,π 3 ,画出f(x)=-sin 2x 图像,如 图2 图2所示。由图可知,f(x)= -sin 2x 在 - π 12 ,π 6 上 递 减,所以当x= π 6 时,f(x)min =-sin π 3=- 3 2 。故选A。 解题启示:2024年三角函数内容的高考 题主要考查同学们对基本概念、常用公式,以 及三角函数的图像与性质的掌握与应用,在 解题过程中注重通性通法,例如:三角恒等变 换时的弦切互化,图像与性质求解中整体思 想的应用等。其中例1和例3都是教材中例 题和习题的改编题,故在高三一轮复习中,需 要回归教材,回归知识本源,打通数学学习的 “任督二脉”。 二、解三角形高考真题分析及解题启示 例 5 (2024年全国甲卷数学(理))在 △ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a, b,c,若B= π 3 ,b2= 9 4ac ,则sin A+sin C= ( )。 A. 3 2 B.2 C. 7 2 D. 3 2 分析:利用正弦定理得sin Asin C= 1 3 , 再利用余弦定理得a2+c2= 13 4ac ,然后利用 正弦定理得sin2A+sin2C= 13 12 ,最后利用三 角形的性质即可解决问题。 解:已知B= π 3 ,b2= 9 4ac ,由正弦定理 得sin Asin C= 4 9sin 2B= 1 3 ,由余弦定理得 b2=a2+c2-ac= 9 4ac ,即a2+c2= 13 4ac ,结 合正弦定理得sin2A+sin2C= 13 4sin Asin C = 13 12 ,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C +2sin Asin C= 7 4 。因为A,C 为三角形的 内角,所以sin A+sin C>0,所以sin A+ sin C= 7 2 。故选C。 例 6 (2024年全国甲卷数学(理))已 知点B 在点C 的正北方向,点 D 在点C 的 正东 方 向,BC=CD。若 存 在 点 A 满 足 ∠BAC=16.5°,∠DAC=37°,则∠BCA= (精确到0.1度)。 分析:利用正弦定理解决问题,设∠BCA =θ,在△DCA 和△BCA 中分别利用正弦定 理得到 CA sin D= CD sin∠CAD , CA sin(θ+16.5°)= CB sin 16.5° ,两式相除即可得到答案。 解:设∠BCA=θ,则∠ACD=90°-θ。 83 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年10月 图3 根据题意画出图形,如图3所示。 在 △DCA 中,由 正 弦 定 理 得 CA sin∠ADC = CD sin∠CAD , 即 CA sin[180°-(90°-θ+37°)] = CD sin 37° ,即 CA sin(90°-θ+37°)= CD sin 37° ① 。 在 △BCA 中,由 正 弦 定 理 得 CA sin B = CB sin∠CAB , 即 CA sin[180°-(θ+16.5°)] = CB sin 16.5° ,即 CA sin(θ+16.5°)= CB sin 16.5° ② 。 因为CD=CB,所以 ② ① 得 sin(90°-θ+37°) sin(θ+16.5°) = sin 37° sin 16.5° ,利 用 计 算 器 得θ≈7.8°。故 填 7.8°。 解题启示:2024年解三角形内容的高考 题主要考查同学们对正余弦定理的掌握与应 用,在解题过程中注重通性通法,如正余弦定 理的边角互化等。 三、平面向量高考真题分析及解题启示 高考数学中向量模块的选填小题主要围 绕向量的基本概念、性质及其运算等基础知 识进行考查。 例 7 (2024年新课标全国Ⅰ卷)已知 向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a), 则x=( )。 A.-2 B.-1 C.1 D.2 分析:根据向量垂直的坐标运算得到关 于x 的方程,从而求得x 的值。 解:因为b⊥(b-4a),即b·(b-4a)= 0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0,解 得x=2。故选D。 例 8 (2024年新课标全国Ⅱ卷)已知 向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b- 2a)⊥b,则|b|=( )。 A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D.1 分析:由(b-2a)⊥b 得b2=2a·b,结 合|a|=1,|a+2b|=2,得1+4a·b+4b2= 1+6b2=4,由此即可得解。 解:因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b =0,即b2=2a·b。又因为|a|=1,|a+2b| =2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而 |b|= 2 2 。故选B。 图4 例 9 (2024年新高考天 津卷)如图4,在边长为1的正方 形ABCD 中,E 为线段CD 的三 等分点, CE= 1 2DE ,BE→=λBA→ +μBC →,则λ+μ= ;若F 为线段BE 上 的动点,G 为AF 的中点,则 AF→·DG→ 的最 小值为 。 解法一:因为 CE= 1 2DE ,所以 CE→= 1 3BA →,则BE→=BC→+CE→=13BA →+BC→,所以 λ= 1 3 ,μ=1,所以λ+μ= 4 3 。 由题意可知,|BC→|=|BA→|=1,BA→· BC→=0。因为 F 为线段BE 上的动点,设 BF→=kBE→=13kBA →+kBC→,k∈[0,1],则AF→ =AB→+BF→=AB→+kBE→= 13k-1 BA→+ kBC→。又因为G 为AF 的中点,所以 DG→= DA→+AG→=-BC→+12AF →=12 1 3k-1 BA→ + 12k-1 BC→。 因 此,AF→ · DG→ = 1 3k-1 BA→+kBC→ · 1 2 1 3k-1 BA→+ 12k-1 BC→ = 12 · 1 3k-1 2 +k 12k-1 =59 k-65 2 - 3 10 。 又因为k∈[0,1],所以当k=1时,AF→·DG→ 取到最小值- 5 18 。 图5 解法二:以 B 为坐标原 点,建立平面直角坐标系,如 图5所示,则A(-1,0),B(0, 0),C (0,1),D (-1,1), E - 1 3 ,1 ,所以BA→=(-1,0), 93 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年10月 􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝􀤝 BC→=(0,1),BE→= -13,1 。 因为BE→=λBA→+μBC→=(-λ,μ),所以 -λ=- 1 3 , μ=1, 所以λ+μ=43。 因为点 F 在线段 BE:y=-3x,x∈ - 1 3 ,0 上,且 G 为 AF 的中点,设 F(a, -3a),a∈ - 1 3 ,0 ,则G a-12 ,-32a ,可 得 AF→ = (a + 1,- 3a),DG→ = a+1 2 ,- 3 2a-1 ,所以AF→·DG→=(a+1) 2 2 +(-3a)- 3 2a-1 =5a+25 2 - 3 10 ,且a ∈ - 1 3 ,0 ,所以当a=-13时,AF→·DG→ 取 到最小值- 5 18 。 评注:解 法 一 是 以{BA→,BC→}为 基 底 向 量,根 据 向 量 的 线 性 运 算 求 BE→,即 可 求 得 λ+μ;设BF →=kBE→,求AF→,DG→,结合数量积 的运算律即可求得 AF→·DG→ 的最小值。解 法二是利用平面坐标法,建系标点,根据向量 的坐标运算求BE→,即可求得λ+μ;设F(a, -3a),a∈ - 1 3 ,0 ,求 AF→,DG→,结合数量 积的坐标运算求得AF→·DG→ 的最小值。 解题启示:2024年平面向量内容的高考 题主要考查同学们对平面向量的基本概念、 坐标表示及其运算,以及数量积的最值计算 等的掌握。在解题过程中注重通性通法,例 如,利用向量垂直或平行的条件进行坐标表 示得到关于变量的方程,进而求出变量的值; 利用坐标法解决平面向量问题,将几何问题 转化为代数问题去解决,从而降低思维难度。 (责任编辑 王福华) ■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟 一、选择题 图1 1.如图1,在△ABC 中, AD→=2DB→,P 为CD 上一点, 且满足 AP→=mAC→+12AB → (m ∈ R),则 m 的 值 为 ( )。 A.- 3 4 B.- 1 4 C. 1 4 D. 3 4 2.若函数f(x)=(1+ 3tan x)cos x, 0≤x< π 2 ,则f(x)的最大值为( )。 A.1 B.2 C.3+1 D.3+2 3.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos A· sin C,则下列等式成立的是( )。 A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 4.已知tan θ 2= 3 2 ,则1-cos θ-2sin θ 1+cos θ+2sin θ =( )。 A. 5 6 B. 3 16 C.- 3 16 D.2 5.崇丽阁之名取自晋代左思《蜀都赋》中 图2 的名 句“既 丽 且 崇,实 号 成 都”。如图2,在测量府河西 岸的崇丽阁的高 AB 时,测 量者选取了与塔底B 在同一 水平面内的两个测量基点C 与D,并测得∠BDC=120°,∠BCD=15°, CD=303米,在点C 处测得塔顶A 的仰角 为30°,则塔高AB=( )。 A.156米 B.153米 C.206米 D.303米 6.已知函数f(x)=cosωx- π 3 ,ω> 04 演练篇 核心考点AB卷 高考数学 2024年10月