13 夯实基础融会贯通——2024年高考数学新课标Ⅱ卷解三角形问题评析-《中学生数理化》高考数学2024年10月刊

■江苏省锡东高级中学 曲 婷 解三角形作为高考数学的必考内容,重 点考查对三角函数公式、正余弦定理等基础 知识的理解和应用。此外,这类问题还经常 与其他数学知识(如平面几何、向量等)相结 合,考查同学们的综合运用能力。针对新高 考背景下的解三角形问题,我们以2024年高 考数学新课标Ⅱ卷第15题为例,总结解题策 略和技巧,以提高解题效率和准确性,为高考 取得优异成绩奠定坚实基础。 一、真题呈现 题目 记△ABC 的内角A,B,C 的对边 分别为a,b,c,已知sin A+ 3cos A=2。 (1)求A。 (2)若 a=2,2bsin C=csin 2B,求 △ABC 的周长。 试题综述:试题设置了两个问题,涉及了 同角三角函数之间的基本关系、三角函数的 恒等变换,以及正弦定理和余弦定理的应用 等多个方面。在这些问题中,特别考查了对 数学知识内在联系的理解和应用,要求能够 深入理解数学的本质,并能够将不同的知识 点进行有效的融合和应用,重点考查必备基 础知识的掌握程度,以及在构建完整知识体 系框架方面的能力。这不仅包括了对三角函 数知识的深入理解,还包括了对其他相关数 学领域的了解。试题还考查了同学们解决实 际问题的能力,以及在数学运算、逻辑推理等 方面的核心素养。 二、多角度求解 (1)解法1:根据角的单一性,直接利用 同角三角函数的基本关系列方程进行求解。 因为sin A+ 3cos A=2,所以sin A= 2- 3cos A,代入sin2A+cos2A=1,解得 cos A= 3 2 。又因为 A∈(0,π),所以 A= π 6 。 解法2:根据数字特征,利用辅助角公式 合一变形求解。 因为sin A+ 3cos A=2,即 1 2sin A+ 3 2cos A=1,所以cos π 3sin A+sin π 3cos A =1,即sinA+ π 3 =1。又因为A∈(0,π), 即A+ π 3∈ π 3 ,4π 3 ,所以A+π3=π2,解得 A= π 6 。 解法3:融合知识联系,构造向量特征转 化求解。 设a=(1,3),b=(sin A,cos A),则有 a·b=sin A+ 3cos A=2。又因为a·b= |a||b|cos<a,b>=2cos<a,b>,所以cos<a, b>=1,即a,b 共线且同向。由向量共线的 坐标公式可得1·cos A= 3sin A,又因为 A∈(0,π),所以cos A≠0,所以tan A= 3 3 , 所以A= π 6 。 (2)解法1:利用正弦定理进行边角关系 的转化,求出角及边长。 由正弦定理 a sin A= b sin B= c sin C ,以及 2bsin C=csin 2B,可得 2sin Bsin C= 2sin Csin Bcos B。因为B,C∈(0,π),所以 sin Bsin C≠0,所以cos B= 2 2 ,解得 B= π 4 ,所以 C=π-A-B= 7π 12 ,所以sin C= sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 1 2 53 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年10月 × 2 2 + 3 2 × 2 2 = 6+ 2 4 ,所 以 2 sin π 6 = b sin π 4 = c sin 7π 12 ,解得b=22,c= 6+ 2,所 以△ABC 的周长为2+ 6+32。 解法2:根据目标求周长,观察图形特征 构建几何关系求解。 求角B 的方法同解法1,过点 C 作边 AB 的高CH,则在Rt△CBH 中,因为BC= 2,B= π 4 ,所以BH=CH= 2;在Rt△ABH 中,因为A= π 6 ,所以 AH= 6,AC=22。 所以△ABC 的周长为2+ 6+32。 第(1)问中的解法1是比较简单直接的, 题目中仅仅涉及一个角的问题,直接利用 sin2A+cos2A=1的基本关系来列方程求 解,这是一个很容易想到的方法,而且本题中 的数据特殊易于求解,但是对于一般数据来 讲,这个方法就不是很合适了。解法2是根 据题目中的数据特征,略做转化,利用辅助角 公式化简,此方法要求熟练掌握两角和与差 的公式及特殊角的三角函数值,计算量不大。 解法3是将向量与问题中的其他元素进行融 合,需要构造合适的向量,或者将问题中的其 他元素转化为向量的形式,这不仅要熟练掌 握向量的基本概念和运算,还需要能够灵活 运用来解决问题。 第(2)问中的解法1直接利用正弦定理进 行边角关系转化,思路清晰,计算步骤较多,计 算量不大,主要是7π 12 这个非特殊角的三角函数 值的求解,容易出错。解法2则根据条件中所 涉及的周长问题,结合两个特殊角联想到作高 的方法,将一般三角形割补成两个已知特殊角 的直角三角形进行求解,计算量较小。 三、溯源母题 教材例题及习题是高考试题改编的参考 之一,特别是基础题目的考查,更要注重对教 材的仔细研读,本试题的母题在教材中随处 可见。 母题1 (人教A版必修二第54页习题 6.4第22题)已知a,b,c分别为△ABC 的三 个 内 角 A,B,C 的 对 边,且 acos C + 3asin C-b-c=0。 (1)求A; (2)若a=2,则△ABC 的面积为 3,求 b,c。 母题2 (人教A版必修二第47页例7) 在△ABC 中,已知 A=15°,B=45°,c=3+ 3,解这个三角形。 在教材参考中给出的母题1的解法,就 是利用基本关系式列方程进行求解,解题方 法极为基础常规。母题2根据已知条件,直 接利用正弦定理进行边角关系的转化求解。 这些题型与今年高考新课标Ⅱ卷第15题的 考点极为相似,是在学习过程中必须掌握的 基本技能。 四、复习启示 高考数学意在全面检验同学们的数学综 合能力,培育其深厚的数学素养。近年来,高 考数学改革经历了情境化新题型、深入数学 本质、强化运算与结论活用等阶段,最终回归 教材例题导向。改革虽多,但核心目标始终 如一。为了更好地进行高考复习,同学们可 以做好以下几点: (1)夯实基础,强化训练。 深入理解并熟练掌握正弦定理、余弦定 理、三角形面积公式等基础知识,通过大量练 习提升运算速度和准确性。 (2)积少成多,熟能生巧。 在高考复习的过程中,同学们需要重视方 法论的指导,而非简单的题海战术。在解题过 程中,不仅追求答案的正确性,更要注重解题 过程的经验积累,提升解题技巧和思维能力。 (3)注重方法,多角度思考。 在解三角形的复习过程中,应注重从多 个角度思考问题,掌握多种解题方法。通过 对比不同解法的优劣,可以找到最适合的解 题方法,并拓展思维。此外,还应注重探究能 力和创新能力的提升,勇于尝试新的解题思 路和方法。 63 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年10月 􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛􀤛 (4)回归教材,重视例题。 高考数学试题的命题趋势越来越注重回 归教材,因此同学们要重视教材例题和习题 的学习。通过研究教材例题和习题,可以了 解高考数学试题的命题特点和规律,掌握解 题方法和技巧,为高考备考提供有力的支持。 同时,还应注重例题的拓展和变式训练,更好 地理解和应用所学知识。 总之,高考数学复习不仅是对知识的复习, 更是对思维能力和解题技巧的提升。高考数学 复习是一个全面而系统的过程,需要同学们注 重基础、方法和经验积累。只有这样,才能在高 考中取得优异的成绩,为未来的学习和生活打 下坚实的基础。 (责任编辑 王福华) 73 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年10月