11 借你一双慧眼，顺利走出误区——解三角形易错点的分类与探究-《中学生数理化》高考数学2024年10月刊

■河南省濮阳市第一高级中学 关传平 解三角形是高考的必考内容,通常在解 答题中出现,难度中等,主要考查利用正、余 弦定理解三角形。解题时,有些同学往往忽 略三角形的特殊性,从而得出错误的结果,本 文就解三角形中的易错点做了如下探究。 易错点一、不能正确判断三角形的个数 例 1 (多选)在△ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别是a,b,c,且a=2,A= π 6 , 若 △ABC 有 两 个 解,则 b 的 值 可 以 为 ( )。 A.2 B.3 C.4 D.5 解析:因为a=2,A= π 6 ,当bsin A<a <b时,△ABC 有两个解,即bsin π 6<2<b , 解得2<b<4。故选BD。 易错点拨:在△ABC 中,已知a,b,A 时,我们可以先画一个角并标上字母A;再标 斜边(非对角边)b;然后画角的高,观察a 与 bsin A 的大小关系。解的情况如表1: 表1 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin Absin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 易错点二、忽略大边对大角,小边对小角 例 2 在△ABC 中,已知a= 2,b= 3,B=60°,则角A 的度数为( )。 A.30° B.45° C.45°或135° D.150° 解析:因为a= 2,b= 3,即a<b,所以 A<B,即0°<A<60°。 由正弦定理得sin A= asin B b = 2× 3 2 3 = 2 2 ,所以A=45°。 故选B。 易错点拨:在三角形中,大边对大角,小 边对小角;大角的正弦值也较大,正弦值较大 的角也较大,即在△ABC 中,A>B⇔a>b⇔ sin A>sin B。若 A,B 为任意角,则“A> B”是“sin A>sin B”的既不充分也不必要条 件。 易错点三、忽略三角形中角度的互相“制 约” 例 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 的 对边分别为a,b,c,且 B=2C,b= 2a,则 ( )。 A.△ABC 为直角三角形 B.△ABC 为锐角三角形 C.△ABC 为钝角三角形 D.△ABC 的形状无法确定 解析:因为b= 2a,所以由正弦定理可 得sin B= 2sin A。 又因为 B=2C,A+B+C=π,所以 sin 2C= 2sin(π-3C)= 2sin 3C,所以 sin 2C= 2sin 2Ccos C+ 2cos 2Csin C, 所以2sin Ccos C=22sin Ccos2C+ 2· (2cos2C -1)·sin C,所 以 2cos C = 22cos2C+ 2(2cos2C-1),所以42cos2C -2cos C- 2=0,即(4cos C+ 2)(2cos C -1)=0。 因为B=2C>C,所以C 只能为锐角,所 以cos C= 2 2 。 03 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年10月 因为0<C< π 2 ,所以C= π 4 ,B= π 2 ,所 以△ABC 为直角三角形。 故选A。 易错点拨:在△ABC 中,A+B+C=π, 注意结合三角形内角范围进行讨论,以及条 件之间的相互“制约”。 易错点四、利用正弦定理进行边角互化 时,忽略是否为齐次式 例 4 在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足 b3+c3 b+c =a 2。若 a=23,则b2+c2 的取值范围为( )。 A.(12,24] B.(20,24] C.[12,24] D.[20,24] 解 析: 由 题 意 可 得,b 3+c3 b+c = (b+c)(b2-bc+c2) b+c =b 2-bc+c2=a2,所以 由余弦定理可得,cos A= b2+c2-a2 2bc = 1 2 。 又因为A∈(0,π),所以A= π 3 ,B+C= π-A= 2π 3 。 由 正 弦 定 理 可 得, a sin A = b sin B= c sin C = 2 3 sin π 3 = 4,所 以 b2 +c2 = 16sin2B+16sin2 2π3 -B =16sin2B+ 81-cos4π3-2B =8(1-cos 2B)+8+ 4cos 2B+43sin 2B=43sin 2B-4cos 2B +16=8sin2B- π 6 +16。 又因 为 △ABC 为 锐 角 三 角 形,所 以 0<B< π 2 , 0<C< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 0<B< π 2 , 0< 2π 3-B< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 π 6 < B< π 2 ,所 以 π 6 <2B - π 6 < 5π 6 ,所 以 1 2<sin2B- π 6 ≤1,所以20<b2+c2≤24, 即b2+c2 的取值范围为(20,24]。 故选B。 易错点拨:在用正弦定理进行边角互化 时,需要注意2R 的存在,当等式是齐次式, 即两边2R 的次数一致时才可相消。 易错点五、解实际应用问题时,对专业名 词理解不清 例 5 雷峰塔是“西湖十景”之一,中国九 图1 大名塔之一,为中国首座彩色铜雕 宝塔。如图1,某同学为了测量雷峰 塔的高度,在地面C 处时测得塔顶 A 在东偏北45°的方向上,向正东方 向行走50米后到达D 处,测得塔顶 A 在东偏北75°的方向上,仰角为 45°,则可得雷峰塔离地面的高度值为( )。 A.502米 B.50米 C.25 6+ 2 米 D.50 6- 2 米 图2 解析:根据题意画出图形,如 图2所示,∠BCD=45°,CD=50, ∠CDB =180°-75°=105°,则 ∠CBD=180°-45°-105°=30°, ∠ADB=45°。 由正弦定理可得,CD sin 30°= BD sin 45° ,即50 1 2 = BD 2 2 ,解得BD=502。 在Rt△ABD 中,AB=BDtan 45°=BD =502。 故选A。 易错点拨:在实际应用问题中,有关名词、 术语也是同学们容易忽视和混淆的。要注意 理解仰角(目标视线在水平视线上方时为仰 角)、俯角(目标视线在水平视线下方时为俯 角)、方向角(从指定方向线到目标方向线所成 的水平角)、方位角(从正北方向线按顺时针到 目标方向线所转过的最小正角)、坡度(坡面的 垂直高度h和水平宽度l的比,即坡角的正切 值)的具体含义。 (责任编辑 王福华) 13 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年10月