10 例谈三角函数中的易错点及解题技巧-《中学生数理化》高考数学2024年10月刊

■河南省濮阳市第一高级中学 袁 媛 三角函数是高考的重点内容,其知识点 较多,需灵活应用,主要考查考生的数学运算 和逻辑推理的核心素养,以及数形结合的思 想方法。本文从以下几个方面归纳总结了三 角函数中的易错点及解题技巧。 易错点一、忽略角的隐含范围 例 1 已知α,β∈(0,π),且cos α= - 72 10 ,tan(α-β)= 1 3 ,则α-2β=( )。 A.- π 4 或 3π 4 B. 3π 4 或 π 4 C.- π 4 D.- 3π 4 解析:因为0<α<π,cos α=- 72 10 ,所 以sin α= 1-cos2α= 2 10 ,所 以tan α= - 1 7 ,π 2<α<π 。又0<β<π,则-π<-β< 0,所以- π 2<α-β<π 。因为tan(α-β)= 1 3 >0,所以0<α-β< π 2 。因为tan 2(α-β)= 2tan(α-β) 1-tan2(α-β) = 3 4 ,所 以tan(α-2β)= tan[2(α-β)-α]= tan 2(α-β)-tan α 1+tan 2(α-β)tan α= 1,故α-2β=kπ+ π 4 (k∈Z)。因为0<α-β < π 2 ,所以0<2(α-β)<π。因为tan 2(α- β)= 3 4>0 ,所以0<2(α-β)< π 2 。因为π 2 <α<π,所以-π<-α<- π 2 ,则-π<α- 2β<0,故α-2β=- 3π 4 。故选D。 易错点拨:当利用已知角求未知角时,注 意利用三角函数的正负来缩小角的范围,不 然容易产生增解。 易错点二、不能识别常见公式的变形 例 2 已知sin θ+cos θ= 7 13 ,则sin θ -cos θ的值为( )。 A. 17 13 B. 7 13 C.± 17 13 D.± 7 13 解析:由sin θ+cos θ= 7 13 ,可得(sin θ+ cos θ)2 =1+2sin θcos θ= 49 169 ,所 以 2sin θcos θ=- 120 169 ,则(sin θ-cos θ)2= sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=1+ 120 169= 289 169 。 因为2sin θcos θ=- 120 169<0 ,所以sin θ 与 cos θ异号,可得θ为第二或第四象限角。当 θ为第二象限角时,可得sin θ-cos θ= 17 13 ;当 θ为第四象限角时,可得sin θ-cos θ=- 17 13 。 故选C。 易错点拨:三角函数的公式较多,且变化 灵活,需要熟练掌握公式的变形及其之间的 关系,例如:(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ =1+sin 2θ,(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ =1-sin 2θ,(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2 =2, 1±tan θ 1∓tan θ=tanθ± π 4 , 1±sin α 1∓sin α = (1±sin α)2 (1-sin α)(1+sin α)= 1±sin α cos α 等。 易错点三、忽略正余弦函数的有界性 例 3 函数f(x)= 2sin 2x+3 22sinx+ π 4 , x∈ 0, π 2 的值域为( )。 A.0, 3 2 52 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年10月 B.32 ,+∞ C.3 2 ,52 4 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 D.0, 3 2 ∪ 524 ,+∞􀭠􀭡 􀪁􀪁 解析:已知 f(x)= 2sin 2x+3 22sinx+ π 4 = 4sin xcos x+3 22sin xcos π 4+cos xsin π 4 = 2(sin2x+cos2x)+4sin xcos x+1 2(sin x+cos x) = 2(sin x+cosx)2+1 2(sin x+cos x) =sin x +cos x + 1 2(sin x+cos x) 。令t=sin x+cos x= 2sin x+ π 4 ,又x∈ 0,π2 ,则π4≤x+π4 ≤ 3π 4 ,故 2 2≤sin x+ π 4 ≤1,即1≤t≤ 2, 所以f(x)=g(t)=t+ 1 2t ,则g'(t)=1- 1 2t2 = 2t2-1 2t2 。因为1≤t≤ 2,所以2t2-1>0 恒成立,故g'(t)>0,所以g(t)在[1,2]上 单调递增,故g(t)max=g(2)= 2+ 1 22 = 52 4 ,g(t)min=g(1)=1+ 1 2= 3 2 ,所以f(x) 的值域为 3 2 ,52 4 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 。故选C。 易错点拨:求含有正余弦函数的函数值 域时,需先利用三角恒等变换进行化简,然后 利用函数的单调性和正余弦函数的有界性进 行求解。 易错点四、对三角函数图像变换的研究 对象认识不清 例 4 (多 选)要 想 得 到 函 数 y= cos4x+ π 3 的图像,可以将函数y=cos x 的图像上所有的点( )。 A.向左平移 π 3 个单位长度,再把所得图 像上各点的横坐标缩短到原来的 1 4 B.向左平移 π 12 个单位长度,再把所得图 像上各点的横坐标缩短到原来的 1 4 C.横坐标缩短到原来的 1 4 ,再把所得图 像上各点向左平移 π 3 个单位长度 D.横坐标缩短到原来的 1 4 ,再把所得图 像上各点向左平移 π 12 个单位长度 解析:将函数y=cos x 的图像上所有的 点向 左 平 移 π 3 个 单 位 长 度 得 到 y = cosx+ π 3 ,再把所得图像上各点的横坐标 缩短到原来的 1 4 得到y=cos4x+ π 3 。也 可以将函数y=cos x 的图像上各点的横坐 标缩短到原来的 1 4 得到y=cos 4x,再向左平 移 π 12 个单位长度得到y=cos 4x+ π 12 = cos4x+ π 3 。故选AD。 易错点拨:在三角函数图像变换中,左右 平移和横坐标的缩短(或扩大),针对的只是 x,因此先平移后伸缩,与先伸缩后平移是不 同的。若横坐标缩短到原来的1 n ,则x 变为 nx;若横坐标扩大到原来的n 倍,则x 变为 x n 。 易错点五、求φ 时,忽略升降零点的区别 例 5 已知函数f(x)=Acos(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< π 2 的部分图像如图1所 图1 示,则 f(x)的 解 析 式 为 。 解析:由题意可得T 2= π 3- - π 6 = π2,即 T= 62 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年10月 π= 2π ω ,解得ω=2。由图知f π 3 =0,可得 2π 3+φ= π 2+2kπ ,k∈Z。又|φ|< π 2 ,则 φ=- π 6 。又f(0)=Acos - π 6 = 32A= 3,则A=2,所以f(x)=2cos2x- π 6 。 易错点拨:求φ时,要注意 π 3 ,0 为三角 函数的下降零点,因为需要左右平移2π个单 位才能到相邻的下降零点,所以2π 3 +φ= π 2+2kπ (k∈Z),而不是 2π 3+φ= π 2+kπ (k∈Z);同理 - π 6 ,0 为三角函数的上升零 点,所以- π 3+φ=- π 2+2kπ (k∈Z),而不 是- π 3+φ=- π 2+kπ (k∈Z)。 易错点六、求单调区间时,忽略ω 系数的 正负 例 6 函数y=cos9π4-2x 的单调递 减区间为 。 解 法 一:由 y = cos 9π 4-2x = cosπ4-2x =cos2x-π4 ,得2kπ≤2x- π 4≤π+2kπ (k∈Z),解得 π 8+kπ≤x≤ 5π 8+ kπ(k∈Z),所 以 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 π 8+kπ ,5π 8+kπ (k∈Z)。 解法二:由内层函数u= π 4-2x 单调递 减,外层函数y=cos u 单调递增,可知y= cosπ4-2x 单 调 递 减,所 以 -π+2kπ≤ π 4-2x≤2kπ (k∈Z),即-2kπ≤2x- π 4≤ π-2kπ(k∈Z),解得 π 8-kπ≤x≤ 5π 8-kπ (k∈Z),所 以 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 π 8-kπ ,5π 8-kπ (k∈Z)。 易错点拨:在求三角函数的单调区间时, 需先利用诱导公式对三角函数进行化简,尤 其要注意x 的系数是否为负数。若x 的系 数为负数,则可以采取下面两种方法:①利用 函数的奇偶性,将x 的系数化为正,再求单调 区间;②利用复合函数的单调性———同增异 减,求单调区间。 易错点七、不能正确求解ω 的值(或取值 范围) 例 7 若函数y=2sinωx-π3 (ω> 0)在区间 π3 ,π 上有且仅有一个零点,则ω 的取值范围为( )。 A.13 ,1 ∪ 43,73 B.13 ,1 ∪ 43,73 C.43 ,7 3 D.13 ,1 ∪ 103,4 解析:由函数y=2sinωx- π 3 (ω>0), 得周期T= 2π ω 。因为x∈ π3 ,π ,所以t= ωx- π 3∈ ωπ 3- π 3 ,ωπ- π 3 。因为函数y= 2sinωx- π 3 (ω>0)在区间 π3,π 上有且 仅有一个零点,所以函数y=2sin t在区间 ωπ 3- π 3 ,ωπ- π 3 (ω>0)上有且仅有一个 零点,则 (k-1)π≤ ωπ 3- π 3<kπ , kπ<ωπ- π 3≤ (k+1)π, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 k∈Z,且 2π ω≥π- π 3 ,即 k-1≤ ω 3- 1 3<k , k<ω- 1 3≤k+1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 且ω≤3。 当 k = 0 时, -1≤ ω 3- 1 3<0 , 0<ω- 1 3≤1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 72 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年10月 -2≤ω<1, 1 3<ω≤ 4 3 , 所以13<ω<1;当k=1时, 0≤ ω 3- 1 3<1 , 1<ω- 1 3≤2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 1≤ω<4, 4 3<ω≤ 7 3 , 所以43< ω≤ 7 3 ;当 k=2 时, 1≤ ω 3- 1 3<2 , 2<ω- 1 3≤3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 4≤ω<7, 7 3<ω≤ 10 3 , 此时解集为空集。综上可得,实数 ω的取值范围为 13 ,1 ∪ 43,73 。故选A。 易错点拨:对于y=Asin(ωx+φ),利用 已知条件求ω 时,往往令t=ωx+φ,利用已 知x 的范围,求出t的范围,然后找到一个满 足条件的基础等式或不等式(组),若为基础 不等式(组),需注意不等号是否能取等,然后 判断左右平移a个单位,可以再满足条件,那 么平移的单位个数a 即为周期,再加上ka (k∈Z),列出含有ω 的等式或不等式(组), 解出ω,然后对k赋值,将符合条件的范围并 在一起,即可求出ω 的取值范围。在本题中, 基础不等式组为 -π≤ ωπ 3- π 3<0 , 0<ωπ- π 3≤π , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 然后左右 平移π个单位,可以满足有且仅有一个零点,所 以 -π+kπ≤ ωπ 3- π 3<0+kπ , 0+kπ<ωπ- π 3≤π+kπ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 k∈Z。 易错点八、不能正确判断三角函数型函 数的性质 例 8 (多选)若函数f(x)=|sin x+ cos x|+|sin x-cos x|,则下列关于函数 f(x)的说法,正确的是( )。 A.f(x)的一个周期为 π 2 B.f(x)的图像关于x= π 2 对称 C.f(x)在 - π 4 ,π 4 上单调递增 D.f(x)的值域为 2,2 解析:对 于 A,根 据 诱 导 公 式 可 知, f x+ π 2 = sinx+π2 +cosx+π2 + sinx+ π 2 -cosx+π2 = |sin x - cos x|+|sin x+cos x|=f(x),故f(x)的 一个周期为 π 2 ,即A正确。对于B,根据诱导 公式可知,f(π-x)=|sin(π-x)+cos(π- x)|+|sin(π-x)-cos(π-x)|=|sin x- cos x|+|sin x+cos x|=f(x),所以f(x) 的图像关于x= π 2 对称,即B正确。对于C, 易知f(-x)=|sin(-x)+cos(-x)|+ |sin(-x)-cos(-x)|=|sin x-cos x|+ |sin x+cos x|=f(x),即f(x)为偶函数, 当x∈ 0, π 4 时,f(x)=sin x+cos x+ (cos x-sin x)=2cos x,显 然 此 时 函 数 f(x)单调递减,由偶函数的对称性可知,当 x∈ - π 4 ,0 时,函数f(x)单调递增,故C 错误。由B可知,- π 4 ,π 4 为f(x)的一个 周期,在 此 区 间 上,f(x)max=f(0)=2, f(x)min=f ± π 4 = 2,故 D 正确。故选 ABD。 易错点拨:求函数周期时,可以先将函数 进行化 简,然 后 通 过 下 面 的 方 法 求 周 期。 ①利用常见函数的周期进行求解,例如,y= Asin(ωx+φ)的周期T= 2π |ω| ,y=A|sin(ωx +φ)|的周期T= π |ω| ,y=Atan(ωx+φ)与 y=A|tan(ωx+φ)|的周期为T= π |ω| ,需注 意此处ω 的本质为x 的系数,若x 的系数为 2ω,则周期T= 2π |2ω| 或T= π |2ω| ;②利用周 期函数的定义f(x+T)=f(x)进行求解, 通过代入特殊值进行验证,其中 T 一般为 π 6 、π 4 、π 3 、π 2 、π、2π等。判断函数的对称性 82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年10月 时,若需判断f(x)是否关于x=a对称,则验证 f(2a-x)=f(x)是否成立;若需判断f(x)是 否关于(a,0)对称,则验证f(2a-x)=-f(x) 是否成立。判断函数的单调性时,可根据x 的 范围,进一步将函数化简为常见的三角函数的 形式进行研究,也可以利用导数来研究。 易错点九、不能将题意正确转化 例 9 若函数f(x)=sinωx+π6 (ω∈N*)有一条对称轴为x= 2π 3 ,则当ω 取 最小值时,f'(x)与g(x)=2cos2x- π 3 的 对称轴为 。 解析:由 函 数 f(x)=sinωx+ π 6 (ω∈N*)的对称轴知 2π 3ω+ π 6= π 2+kπ (k∈ Z),则ω= 1 2+ 3k 2 (k∈Z)。因为ω∈N*,所 以ω 的最小值为2,即f(x)=sin2x+ π 6 , 所以f'(x)=2cos2x+ π 6 。又因为g(x) =2cos2x- π 3 =2cos 2x+π6 -π2 = 2sin2x+ π 6 ,且cos x 与sin x 关于x= π 4+kπ (k∈Z)对称,所以2x+ π 6= π 4+kπ (k∈Z),即x= π 24+ kπ 2 (k∈Z),所以f'(x) 与g(x)=2cos2x- π 3 的对称轴为 x= π 24+ kπ 2 (k∈Z)。 易错点拨:解题时,需要将题意进行转 化,透过现象看本质。在本题中,f'(x)= 2cos2x+ π 6 与g(x)=2sin2x+π6 对称, 可类比cos x 与sin x 关于x= π 4+kπ (k∈ Z)对称。若f(x)平移a 个单位后,和原图 像重合,则a=kT;若f(x)=Acos(ωx+φ) 向左平移a(a>0)个单位后为奇函数,则 g(x)=Acos[ω(x+a)+φ]=Acos[ωx+ (ωa+φ)]为奇函数,即g(x)=Asin ωx,所 以ωa+φ=(2k+1)· π 2 (k∈Z);若f(x)= Acos(ωx+φ)向左平移a(a>0)个单位后为 偶函数,则g(x)=Acos[ω(x+a)+φ]= Acos[ωx+(ωa+φ)]为偶函数,即g(x)= Acos ωx,所以ωa+φ=2k· π 2 (k∈Z)。 易错点十、忽略对kπ(k∈Z)中的系数k 进行分类讨论 例 10 已知角α 的始边为x 轴的非 负 半 轴,终 边 经 过 点 P (-3,4),则 sin α 2-cos α 2 sin α 2+2cos α 2 =( )。 A.2 B.- 1 2 C. 1 2 或2 D. 1 4 解析:由题意知,α是第二象限角,则α∈ π 2+2kπ ,π+2kπ ,k ∈ Z,所 以 α2 ∈ π 4+kπ ,π 2+kπ ,k∈Z。当k=2n,n∈Z 时,α 2∈ π 4+2nπ ,π 2+2nπ ,n∈Z,α2为第 一象 限 角;当 k=2n+1,n∈Z 时, α 2 ∈ 5π 4+2nπ ,3π 2+2nπ ,n∈Z,α2为第三象限 角。因为α 2 是第一象限角或第三象限角,所 以tan α 2>0 。因 为tan α= 2tan α 2 1-tan2 α 2 = - 4 3 ,所以tan α 2=2 或tan α 2=- 1 2 (舍 去),所以 sin α 2-cos α 2 sin α 2+2cos α 2 = tan α 2-1 tan α 2+2 = 2-1 2+2 = 1 4 。故选D。 易错点拨:当α 为象限角,求半角时,需 要对kπ(k∈Z)中的系数k进行分类讨论。 (责任编辑 王福华) 92 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2024年10月