08 三角形中的周长或面积模型研究-《中学生数理化》高考数学2024年10月刊

􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘 ■江苏省梅村高级中学 章建锋 解三角形知识是基于平面几何、平面向 量及三角函数等知识的重要交汇与融合,一 直是高考数学试卷中的重要考点,也是历年 高考中的一类重要题型。其中,有关三角形 的周长或面积的最值或取值范围问题的设置 与考查,更是最为常见的一类综合应用问题。 熟练理解并掌握求解有关三角形的周长或面 积的最值或取值范围问题,往往离不开平面 几何、平面向量、三角函数、函数与方程、不等 式等知识,并借助合理的数形结合、巧妙的恒 等变形、等价的化归转化等,实现求解三角形 中的周长或面积的最值或取值范围问题。 一、三角形中周长的最值或取值范围问题 三角形中周长的最值或取值范围问题包 括相应边、若干边的代数式以及周长的最值或 取值范围问题等,要结合题设条件合理转化, 进而利用相关的数学思维来分析与处理。 例 1 在△ABC 中,内角 A,B,C 的 对边分别为a,b,c,若AB→·AC→=92,且满足 bsin A=4(sin Acos C+cos Asin C)。 (1)试求边长a的长度; (2)试确定△ABC 周长的最大值。 解析:(1)由bsin A=4(sin Acos C+ cos Asin C),结合两角和正弦公式与诱导公 式,可得bsin A=4sin B,由正弦定理得ab= 4b,所以a=4。 (2)由于 AB→·AC→=92,利用平面向量 的数量积公式可得bccos A= 9 2 。结合余弦 定理有bc· b2+c2-16 2bc = 9 2 ,整理得b2+ c2=25。利用基本不等式得25=b2+c2≥ (b+c)2 2 ,解得b+c≤52,当且仅当b=c= 52 2 时等号成立,所以a+b+c≤4+52,即 △ABC 周长的最大值为4+52。 点评:在已知三角形的一边,且借助题设 条件可以确定三角形的另外两边的平方和 时,可以通过基本不等式的合理放缩与转化, 确定这两边和的最值,给三角形周长的最值 或取值范围的确定创造条件。基本不等式的 性质与放缩为三角形中相关边或对应边的代 数关系式的最值或取值范围的确定与求解创 造条件。 例 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 的 对边分别为a,b,c,且a=1,A= π 3 。 (1)求bc,b+c,b2+c2 的取值范围; 02 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年10月 (2)求b的最大值; (3)求中线AD 长度的取值范围。 解析:(1)方法一(余弦定理+基本不等 式):由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A≥ 2bc-bc=bc,所以0<bc≤1。 由余弦定理得b2+c2=a2+2bccos A= 1+bc,所以b2+c2∈(1,2]。 因为(b+c)2=b2+c2+2bc=3bc+1∈ (1,4],所以b+c∈(1,2]。 方法二(正弦定理+函数思想):由正弦 定 理 a sin A = b sin B = c sin C = 2 3 ,得 b= 2 3 sin B,c= 2 3 sin C= 2 3 sinB+ π 3 ,B∈ 0, 2π 3 ,所 以 b + c = 23 sin B + 2 3 sinB+ π 3 =2sinB+π6 ∈(1,2]。 bc = 4 3 sin Bsin B+ π 3 = 43 · 1 2sin 2B+ 3 2sin Bcos B = 23 · 3 2sin 2B- 1 2cos 2B + 13 = 23 · sin2B- π 6 +13∈(0,1]。 b2+c2 = 4 3 sin 2B+sin2 B+ π 3 = - 2 3 cos 2B+cos2B+ 2π 3 + 43 = 2 3 3 2sin 2B- 1 2cos 2B + 43 = 2 3sin2B- π 6 +43∈(1,2]。 (2)由(1)知,b= 2 3 sin B∈ 0, 23 3 􀭤􀭥 􀪁􀪁 ,当 B= π 2 时,b取得最大值 23 3 。 (3)由(1)知,0<bc≤1,所 以 AD= 1 2 b 2+c2+bc= 1 2 2bc+1∈ 1 2 ,3 2 􀭤􀭥 􀪁􀪁 。 点评:解决三角形中周长的最值或取值 范围问题的基本策略:(1)若题设中是无约束 条件的三角形,则可以利用基本不等式 ab ≤ a+b 2 ,再 结 合 余 弦 定 理 求 周 长 的 取 值 范 围;(2)若题设中是受条件约束的三角形,则 可以 利 用 正 弦 定 理 a=2R sin A,b= 2R sin B,代入周长(边长)公式,再结合辅助 角公式,根据角的取值范围,从而求出周长 (边长)的取值范围。 二、三角形中面积的最值或取值范围问题 三角形中面积的最值或取值范围问题, 基本是依托题设条件下三角形面积的最大值 或最小值的确定、取值范围的求解等问题,解 决问题时可以转化为边的问题,利用基本不 等式或导数思维来处理,或转化为角的问题, 利用三角函数思维来处理。 例 3 已知a,b,c是△ABC 的三个内 角A,B,C 的对边,且 a+c b =cos C+ 3· sin C。 (1)求角B 的大小; (2)若b=2,求△ABC 面积的最大值。 解析:(1)已知 a+c b =cos C+ 3sin C, 结合正弦定理可得 sin A+sin C sin B =cos C+ 3sin C,则sin A+sin C=sin Bcos C+ 3sin Bsin C。 因为sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B +C)=sin Bcos C +cos Bsin C,所 以 sin Bcos C+cos Bsin C+sin C=sin B· cos C+ 3sin Bsin C,即cos Bsin C+sin C = 3sin Bsin C。又 因 为 sin C>0,所 以 cos B+1= 3sin B,所以 3sin B-cos B= 2sinB- π 6 =1,即sinB-π6 =12。 因为- π 6<B- π 6< 5π 6 ,所以B- π 6= π 6 ,即B= π 3 。 (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得a2+c2-ac=4≥ac,当且仅当a=c=2时 等号成立,此时S△ABC= 1 2acsin B= 3 4ac≤ 3,即△ABC 面积的最大值为 3。 12 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年10月 图1 􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖 点评:解决三角形中面积的最值或取值 范围问题的基本方法:一是利用基本不等式 ab≤ a+b2 2 ≤ a2+b2 2 ,再代入面积公式;二 是利用正弦定理a=2R sin A,b=2R sin B, 代入面积公式,再结合辅助角公式,根据角的 取值范围,进而求面积的最值或取值范围。 例 4 在△ABC 中,三边a,b,c 满足 a=2,c=2b,则△ABC面积的最大值为 。 解析:如 图 1 所 示,以 BC 和BC 的中垂线所在的直 线分别为x 轴,y 轴,建立平 面直角坐标系,则有B(-1, 0),C(1,0)。 设A(x,y),由c=2b,得 c2=2b2,代入坐标有(x+1)2+y2=2[(x-1)2+ y2],化简整理得(x-3)2+y2=8(y≠0)。 结合图形可知,当点 A 到BC 的距离取 最大 值 2 2时,△ABC 的 面 积 最 大,即 (S△ABC)max= 1 2×2×22 =22。故填22。 点评:解有关三角形的综合应用问题,经 常借助坐标法的数形结合思维来处理。特别 对于确定三角形中面积的最值或取值范围问 题,可以通过平面解析几何的转化与化归,以 三角形中动点的轨迹或变化情况来建立相应 的坐标,借助坐标思维来解决。坐标法的解题 技巧与应用就是通过三角形应用场景来构建 边或角的对应轨迹,并利用轨迹的直观图形或 相应的几何意义来化归与应用。 解决三角形中周长或面积的最值或取值 范围问题,要合理融合解三角形中的正弦定理 (或余弦定理)、三角形的面积公式、三角形的 基本性质等,巧妙“串联”平面几何与解三角形 等知识之间的联系,合理应用解三角形与三角 函数、方程、不等式等基本知识及其相应的工 具,借助相应的数学思维方法与对应的技巧策 略,实现三角形中的周长或面积的最值或取值 范围问题的求解,从而养成良好的数学思维品 质,提升数学解题能力,拓展数学应用与创新 思维。 (责任编辑 王福华) ■山东省济南市莱芜第一中学 杨 萍 三角函数关系式的最值(或取值范围)问 题,基于三角函数模块的基础知识、基本性质 与思想方法,合理并巧妙融合函数与方程、不 等式、平面解析几何及导数的应用等其他相 关知识,吻合高考数学试卷中“在交汇处命 题”的基本精神,成为高考命题中一类基本考 点。 一、辅助角公式法 辅助角公式法是处理三角函数最值(或 取值范围)问题的一种基本技巧方法,利用三 角函数的辅助角公式,通过三角函数关系式 的合理配凑或待定系数法的应用,有效实现 三角函数的最值(或取值范围)的确定。 例 1 已 知 x ∈ R,则 代 数 式 4sin xcos x+3 cos2x 的最小值为 。 解法1:(配凑法)结合三角函数的辅助 角公式,可得12sin 2x-5cos 2x=13sin(2x +φ)≥-13,其 中tan φ=- 5 12 ,整 理 得 12sin 2x+18≥5cos 2x+5,即4sin 2x+6≥ 5 3 (cos 2x+1)。 因 为 4sin xcos x+3 cos2x = 2sin 2x+3 1+cos 2x 2 = 4sin 2x+6 1+cos 2x≥ 5 3 ,所以4sin xcos x+3 cos2x 的最小 值为 5 3 。故填5 3 。 解法2:(待定系数法)依题意,令y= 4sin xcos x+3 cos2x = 2sin 2x+3 1+cos 2x 2 = 4sin 2x+6 1+cos 2x , 22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年10月