04 数量积中的最值(或取值范围)问题的解题技巧-《中学生数理化》高考数学2024年10月刊

■江苏省淮阴中学教育集团淮安市新淮高级中学 丁振琪 作为平面向量模块中的基本知识之一, 平面向量数量积成为近年来高考试卷中的一 个基本考点。特别是涉及数量积的最值(或 取值范围)问题,是基于平面几何,依托平面 向量,融合函数与方程、三角函数、基本不等 式等其他相关知识,成为该模块考查的重中 之重,也是复习备考中的一个基本专题。下 面结合实例,对平面向量数量积中的最值(或 取值范围)问题的常见解题技巧与方法加以 剖析,希望能起到抛砖引玉的作用。 一、定义法 定义法解决数量积中的最值(或取值范 围)问题,其实质就是借助平面向量a与b的 数量积定义:a·b=|a||b|cos θ,将问题转 化为对应两向量的模与夹角的余弦值乘积的 表达式,进而结合题设条件加以分析与求解 对应的最值(或取值范围)问题。 例 1 已知平面向量a,b,c 满足|a| =|b|=1,a·c=b·c=1,则a·b+c2 的最 小值为 。 图1 解析:作出符合题意的图形, 如图1所示,设OA→=a,OB→=b, OC→=c,由题意可知a与c的夹角 和b与c的夹角相等,设为α。结 合|a|=|b|=1,a·c=b·c=1, 利用数量积的定义有|c|cos α= |OA|=|OB|,则有OA⊥AC,OB⊥BC。所 以a·b+c2=cos 2α+ 1 cos2α =2cos2α-1+ 1 cos2α ≥2 2cos2α× 1 cos2α -1=2 2-1,当 且仅当2cos2α= 1 cos2α ,即cos2α= 2 2 时,等号 成立,所以a·b+c2 的最小值为2 2-1。 故填22-1。 点评:定义法是解决平面向量数量积及 其综合问题的基石,借助数量积的定义,将数 量积表示为两平面向量的模与夹角的关系 式,特别是与角有关的三角函数关系式,为进 一步利用三角函数的图像与性质,以及不等 式的综合应用等来确定数量积的最值(或取 值范围)问题奠定基础,成为解决此类问题的 一种“通性通法”。 二、基底法 基底法解决数量积中的最值(或取值 范围)问题,主要是通过转化思维,利用平 面向量的线性运算来巧妙转化,借助基底 的应用,将数量积转化为对应向量的模的 表达式或易求解的数量积问题,利用数形 结合思想来分析与处理相应的最值(或取 值范围)问题。 例 2 若平面向量a,b,c满足|a|= |b|=a·b=2,|a+b+c|=1,则(a+c)· (b+c)的最小值是( )。 A.-3 B.3-23 C.4-23 D.-23 解析:利用数量积公式有cos<a,b>= 图2 a·b |a||b|= 1 2 ,可得a,b 的 夹角为 π 3 。如图2所示, 设OA→=a,OB→=b,OC→= c,OE→=a+b,OF→=-(a +b),结合|a+b+c|=|-(a+b)-c|= |OF→-OC→|=|CF→|=|FC→|=1,可知C 在以 F 为圆心、1为半径的圆上。由于|a+b|2= (a+b)2=a2+2a·b+b2=12,可知|OE→|= |OF→|=23。设m=a+b+c,则|m|=1。 而(a+c)·(b+c)=(m-b)·(m-a)=m2 -(a+b)·m+2=[m-(a+b)]·m+2= 21 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年10月 c·m+2=OC→·FC→+2=(FC→-FO→)·FC→ +2=FC→2-FO→·FC→+2=3-FO→·FC→。结 合平面向量的数量积公式,可知FO→·FC→∈ [-23,23],所以(a+c)·(b+c)=3- FO→·FC→∈[3-23,3+23],即(a+c)· (b+c)的最小值是3-23。故选B。 点评:基底法是平面向量数量积的最值 (或取值范围)问题中最为常用的一种解题策 略,恰当选择基底是解决问题的关键。基底 法的应用,往往需要通过向量的模的关系、线 性运算的几何意义等来构建对应的平面几何 图形,利用平面几何图形的直观来分析与解 决问题。 三、坐标法 坐标法解决数量积中的最值(或取值范 围)问题,往往是借助平面直角坐标系的建 立,利用点的坐标及数量积的坐标公式,将数 量积表示成相应的坐标关系式,利用函数、不 等式等思维,并结合关系式的应用来确定对 应的最值(或取值范围)。 例 3 在 菱 形 ABCD 中,AB=2, ∠BAD=60°,E 是BC 的中点,F 是CD 上 一点(不与C,D 重合),DE 与AF 交于G,则 AG→·DG→ 的取值范围是( )。 A.0, 2 3 B.0,43 C.(0,2) D.(0,3) 解析:以A 为坐标原点,直线 AB 所在 图3 的直线为x 轴,建立平面直 角坐标系xAy,如图3所示, 则A(0,0),B(2,0),C(3, 3),D(1,3)。因为 E 是 BC 的 中 点, 所 以 E 5 2 ,3 2 。而 F 是CD 上 一点(不与C,D 重合),故可设F(t,3),1< t<3。所以直线AF 的方程为y= 3 tx ,直线 DE 的方程为y- 3= 3 2- 3 5 2-1 (x-1),即y =- 3 3x+ 43 3 。联立直线AF 与DE 的方 程,可得 G 4t t+3 ,43 t+3 。所以 AG→·DG→= 4t t+3 ,43 t+3 · 4tt+3-1,43t+3- 3 = 12(t-1)2 (t+3)2 。令s=t+3∈(4,6),则有AG→· DG→=12 (t-1)2 (t+3)2 = 12(s-4)2 s2 =121- 4 s 2 =12 4s-1 2 。而4 s∈ 2 3 ,1 ,利用二次函 数的图像与性质知 AG→·DG→=12 4s-1 2 ∈ 0, 4 3 。故选B。 点评:坐标法解题的关键是巧妙构建对 应的平面直角坐标系,引入相关点的坐标并 确定对应向量的坐标,引入相应的变量,正确 构建数量积的坐标关系式成为解决问题的关 键。利用参数关系式的构建,通过函数与方 程、不等式等相关知识来分析与解决,实现最 值(或取值范围)问题的突破与求解。 四、极化恒等式法 极化恒等式法解决数量积中的最值(或 取值范围)问题,往往适用于两向量的加与减 是不变的向量问题,借助平面向量的极化恒 等式加以应用,为进一步探究数量积的最值 (或取值范围)提供条件。 例 4 已知圆O:x2+y2=r2,r>0,P 是圆O 外一点,过点P 作圆O 的两条切线, 切点分别为 A,B,则 PA→·PB→ 的最小值为 。 图4 解析:依题意知,|OA|= |OB|=r,如 图 4 所 示,连 接 AB,交OP 于点Q,则有AB⊥ OP。利用直角三角形的射影定 理得|OA|2=|OP||OQ|,所以 |OQ|= r2 |OP| 。利用极化恒等式与投影向量 得PA→·PB→=(OA→-OP→)·(OB→-OP→)= OA→·OB→-OA→·OP→-OB→·OP→+OP→2= (OQ→2-QA→2)-|OQ→||OP→|-|OQ→||OP→|+ 31 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年10月 􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹 OP→2=|OQ|2-(|OA|2-|OQ|2)-2|OA|2 +|OP|2=|OP|2+2|OQ|2-3|OA|2= |OP|2+ 2r4 |OP|2 -3r2。利用基本不等式得 PA→ ·PB→ =|OP|2 + 2r 4 |OP|2 -3r2 ≥ 2 |OP|2× 2r4 |OP|2 -3r2=2 2r2-3r2= (2 2-3)r2,当且仅当|OP|2= 2r4 |OP|2 ,即 |OP|=42r时,等号成立,所以PA→·PB→ 的 最小值为(22-3)r2。故填(22-3)r2。 点评:利用极化恒等式求解平面向量数 量积的最值(或取值范围)问题时,经常要回 归平面几何图形的直观应用,特别是与三角 形的中线相关的图形,合理通过变形与转化, 综合应用平面几何知识、解三角形知识或基 本不等式知识等,实现数量积的最值(或取值 范围)问题的解答。 总之,解决平面向量数量积的最值(或取 值范围)问题,要合理寻觅并挖掘数量积的结 构特征与题设条件,从“数”的属性或“形”的 直观等视角切入,合理进行恒等变形与转化, 借助解题经验的积累与技巧方法的应用,选 取行之有效的数学思维方法与对应的技巧策 略,实现数量积最值(或取值范围)问题的求 解,从而养成良好的数学思维品质,提升数学 解题能力,拓展数学应用与创新思维。 (责任编辑 王福华) 41 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年10月