07 基于选择题场景，处理与ω相关问题-《中学生数理化》高考数学2024年10月刊

■江苏省泗洪中学 王 伟 在三角函数的综合问题中,与参数ω 的 值或取值范围相关的问题,一直是高考命题 中的一个热点,也是一个重点。此类问题巧 妙融合三角函数的周期性、单调性、最值(极 值、值域)、零点等,以不同的方式加以灵活创 设,综合考查三角函数的图像与性质,以及与 之相关的交汇知识,有很好的灵活度与技巧 性,备受各方关注。 一、周期性与ω 的取值范围 对于三角函数的周期性,最小正周期T 与参数ω 的值密切相关,成为三角函数综合 问题中创设的一个重要场景。 例 1 (2024年吉林省东北师大附中、 长春十一中、四平一中、松原实验中学等五校 联考高考数学模拟试卷)(多选题)已知函数 f(x)=2sinωx+ π 6 +b(ω>0)的最小正周 期 T 满 足3π<T<5π,且 P - π 3 ,1 是 f(x)的一个对称中心,则( )。 A.ω=2 B.f(x)的值域是[-1,3] C.x= 2π 3 是f(x)的一条对称轴 D.π是f(x)的一个零点 解析:依题意,函数f(x)的最小正周期 T 满足3π<T<5π,且ω>0,则3π< 2π ω < 5π,解得 2 5<ω< 2 3 。令ωx+ π 6=kπ ,k∈Z, 解得x=- π 6ω+ kπ ω ,k∈Z,则函数f(x)= 2sinωx+ π 6 +b(ω>0)的 对 称 中 心 为 - π 6ω+ kπ ω ,b ,k∈Z。因为 P -π3,1 是 f(x)的一个对称中心,所以b=1,- π 6ω+ kπ ω =- π 3 ,即ω= 1 2-3k ,k∈Z,所以ω= 1 2 ,故 选项 A错误。由以上分析可知,函数f(x) =2sin 12x+ π 6 + 1,当 x ∈ R 时, sin 12x+ π 6 ∈[-1,1],所以f(x)∈[-1, 3],故选项B正确。而当x= 2π 3 时,1 2x+ π 6 = 1 2× 2π 3+ π 6= π 2 ,则x= 2π 3 是f(x)的一条 对称轴,故选项C正确。又当x=π时,f(π) =2sin π2+ π 6 +1=2sin2π3+1= 3+1≠ 0,则π不是f(x)的零点,故选项 D错误。 故选BC。 总结提炼:利用正弦函数或余弦函数的 最小正周期公式T= 2π |ω| 来构建两者之间的 联系。有时通过周期的值来构建其与参数ω 的关系式,有时通过周期的取值范围来构建 其与参数ω 的不等式,有时多种方式联合起 来,从而求解参数ω 的值或取值范围等。 二、单调性与ω 的取值范围 对于三角函数的单调性,单调区间与参 数ω 的正负、参数ω 的值有关,同时单调区 间的长度也与周期有关,能很好地“串联”并 设置相应的综合问题。 例 2 若 函 数 f (x ) = cosωx+ π 3 (ω<0)在 π2,π 上单调递减, 则实数ω 的取值范围是( )。 A.- 4 3 ,- 2 3 B.-13,0 C.- 2 3 ,- 1 3 D.-56,-23 解析:因为函数f(x)=cosωx+ π 3 (ω<0)的最小正周期T= 2π |ω| ,所以π- π 2≤ 1 2× 2π |ω| ,即-2≤ω<0。当x∈ π2 ,π 时, 81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年10月 ωπ+ π 3≤ωx+ π 3≤ ωπ 2+ π 3 ,依题意知-π+ 2kπ≤ωπ+ π 3< π 2ω+ π 3≤2kπ ,k∈Z,解得 - 4 3+2k≤ω≤- 2 3+4k ,k∈Z。又-2≤ω <0,所以当k=0时,ω∈ - 4 3 ,- 2 3 。故 选A。 总结提炼:已知f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)在给定的区间上单调,求ω 的 取值范围的方法有:①根据题意可知区间 [x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的 一半,即x2-x1≤ 1 2T ,求得0<ω≤ π x2-x1 ; ②以单调递增为例,利用[ωx1+φ,ωx2+φ] ⊆ - π 2+2kπ ,π 2+2kπ (k∈Z),解得ω 的 范围。 三、最值(极值、值域)与ω 的取值范围 三角函数的最值(极值、值域)与三角 函数的单调性、单 调 区 间 的 长 度、周 期 性 等密切相关,为综合问题的创设提供更大 的空间。 例 3 若函数f(x)=2sin (ωx+φ) ω>0,0<φ< π 2 的图像过点(0,1),且在区 间(π,2π)内不存在最值,则ω 的取值范围是 ( )。 A.0, 1 6 B.14 ,7 12 C.0, 1 6 ∪ 14,712 D.0, 1 6 ∪ 13,23 解析:因为函数f(x)=2sin (ωx+φ)的 图像过点(0,1),所以f(0)=2sin φ=1,即 sin φ= 1 2 。又因为0<φ< π 2 ,所以φ= π 6 , 所以f(x)=2sinωx+ π 6 。令ωx+π6= π 2+kπ ,k∈Z,则x= π 3ω+ kπ ω ,k∈Z,所以当 x= π 3ω+ kπ ω 时,函数f(x)=2sin(ωx+φ)取 最值。因为f(x)在区间(π,2π)内不存在最 值,所以 π 3ω+ kπ ω≤π , π 3ω+ (k+1)π ω ≥2π , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 1 3+k≤ω ≤ 2 3+ k 2 ,k∈Z。当k<-1时,ω 不存在;当 k=-1时,- 2 3≤ω≤ 1 6 ,又因为ω>0,所以 0<ω≤ 1 6 ;当k=0时, 1 3≤ω≤ 2 3 ;当k>0 时,ω 不存在。综上可得,ω 的取值范围是 0, 1 6 ∪ 13,23 。故选D。 总结提炼:对于极值、最值与ω 结合的问 题,可以画出简图,利用三角函数的最值或周 期,列出关于ω 的不等式(组),通过解不等式 (组)来求参数的最值或范围。 四、零点与ω 的取值范围 三角函数的零点问题,可以回归函数本 质,利用整体思维、数形结合思维来分析与处 理,合理构建相应的不等式(组),给综合问题 的创设打下坚实的基础。 例 4 设函数f(x)=sin (ωx+φ)- 1 2 (ω>0),若对于任意实数φ,函数f(x)在 区间[0,2π]上至少有3个零点,至多有4个 零点,则ω 的取值范围是( )。 A.1, 4 3 B.43,53 C.53 ,2 D.2,73 解析:因 为 φ 为 任 意 实 数,所 以 函 数 f(x)的 图 像 可 以 任 意 平 移,故 研 究 函 数 f(x)在区间[0,2π]上的零点问题,即研究函 数y=sin ωx- 1 2 在任意一个长度为2π-0 =2π的区间上的零点问题。令y=sin ωx- 1 2=0 ,得sin ωx= 1 2 ,其在y 轴右侧靠近坐 标原点处的零点分别为 π 6ω ,5π 6ω ,13π 6ω ,17π 6ω , 25π 6ω ,…,则它们相邻两个零点之间的距离分 91 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年10月 􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘􀤘 别为 2π 3ω ,4π 3ω ,2π 3ω ,4π 3ω ,…,故相邻四个零点之 间的最大距离为 10π 3ω ,相邻五个零点之间的距 离为 4π ω ,所以要使函数f(x)在区间[0,2π]上 至少有3个零点,至多有4个零点,则需相邻 四个零点之间的最大距离不大于2π,相邻五 个零点之间的距离大于2π,即 10π 3ω≤2π ,4π ω> 2π,解得 5 3≤ω<2 。故选C。 总结提炼:已知零点个数求ω 的取值范 围:对于区间长度为定值的动区间,若区间上 至少含有k个零点,需要确定含有k 个零点 的区间长度,一般和周期相关;若在区间上至 多含有k个零点,需要确定包含k+1个零点 的区间长度的最小值。 解决三角函数中与参数ω 相关的问题, 其实质就是抓住三角函数的解析式,结合三 角函数的图像与性质,通过整体思维或数形 结合思维等方式,合理构建对应的关系式或 不等式(组),有效实现对应参数的确定与应 用,全面提升同学们对知识的掌握情况及综 合应用能力等。 (责任编辑 王福华) 02 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年10月