06 依托抽象场景应用，构建特殊三角函数-《中学生数理化》高考数学2024年10月刊

■江苏省南京市天印高级中学 胡 伟 抽象函数场景及其综合应用问题是近年 来高考数学试卷中比较常见的一类综合考 点,往往以多项选项题的形式来创设与应用, 考查的知识点更加丰富,思想方法更加多样, 备受各方关注。而在解决此类抽象函数场景 及其综合应用问题时,借助特殊思维,合理构 建与题设相吻合的具体函数,是解决此类问 题的一种“巧技妙法”。其中,三角函数是最 为常见的一类基本函数。 一、构建特殊的正弦型函数 抽象函 数 满 足 的 关 系 式 为 f2(x)- f2(y)=f(x+y)f(x-y),其结构特征恰好 吻 合 正 弦 平 方 差 公 式 sin2A -sin2B = sin(A+B)sin(A-B),巧妙联想,合理构建 特殊的正弦型函数f(x)=sin ωx 加以综合 应用。 例 1 (多选题)已知函数f(x)的定义 域为R,满足f(x+y)f(x-y)=f2(x)- f2(y),且f(1)=1,f(2x+1)为偶函数,则 ( )。 A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数 C.f(2+x)=-f(2-x) D.∑ 2 024 k=1 f(k)=0 分析:依托题设条件中抽象函数的结构 特征,发现其吻合正弦平方差公式,进而从特 殊三角函数入手,直接构建相应的三角函数 模型———正弦型函数,结合条件合理配凑对 应的参数,实现函数的吻合性,利用各选项中 的信息来逐一分析与判断,从而实现问题的 突破与快捷处理。 解:依题意,构建特殊的三角函数f(x) =sin ωx,结 合 f(1)=1,可 取 f(x)= sin π 2x ,此时f(2x+1)=sin π 2 (2x+1)= sinπx+ π 2 =cos πx 为偶函数,满足题设条 件。函 数 f(x)=sin π 2x 是 奇 函 数,且 f(0)=0,故选项 A 正确,选项B错误。由 f(2+x)=sin π 2 (2+x)=sinπ+ π 2x = -sin π 2x ,f (2-x)=sin π 2 (2-x)= sinπ- π 2x =sinπ2x,可 得 f(2+x)= -f(2-x)成立,故选项C正确。由于函数 f(x)=sin π 2x 的最小正周期为T= 2π π 2 =4, 且f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,f(4)=0, 则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以 ∑ 2 024 k=1 f(k)=506× [f(1)+f(2)+f(3)+ f(4)]=0,故选项D正确。 故选ACD。 点评:抓住题设条件中抽象函数所满足 的关系式与正弦平方差公式相一致的特征, 联想并合理构建特殊的正弦型函数f(x)= sin ωx,给问题的解决开创新局面。在三角 函数模块中,熟练理解并掌握一些相关的三 角函数公式,往往会给此类问题的解决提供 更多的思维方式。 二、构建特殊的余弦型函数 抽象函数满足的关系式为f(x+y)+ f(x-y)=2f(x)f(y),其结构特征恰好吻 合两角和与差的余弦公式及其综合应用;或 抽象 函 数 满 足 的 关 系 式 为 f(x-y)= f(x)f(y)+f(1+x)f(1+y),其结构特征 恰好吻合余弦公式的性质与应用等,巧妙联 想,合 理 构 建 特 殊 的 余 弦 型 函 数 f(x)= cos ωx 加以综合应用。 例 2 (多选题)已知函数f(x)的定义 域为 R,满 足 f(x+y)+f(x-y)= 2f(x)f(y),且f(1)=-1,则( )。 A.f(0)=1 B.f(x)为奇函数 61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年10月 C.f(1)+f(2)+…+f(2 024)=0 D.[f(x)]2+ f x+ 1 2 2 =1 分析:依托题设条件中抽象函数的结构 特征,从特殊三角函数入手,直接加以构建相 应的三角函数模型———余弦型函数,结合条 件的加持合理配凑对应的参数,实现函数的 吻合性,在对应三角函数的基础上,结合各选 项中的信息加以分析与判断,即可方便快捷 地解决问题。 解:依题意,构建特殊的三角函数f(x) =cos ωx,结合f(1)=-1,可取f(x)= cos πx,满 足 题 设 条 件。由 函 数 f(x)= cos πx,可得f(0)=cos 0=1,f(x)为偶函 数,则选项 A正确,选项B错误。因为函数 f(x)的最小正周期T= 2π π=2 ,所以f(2)= f(0)=1,所以f(1)+f(2)+…+f(2 024) =1 012×[f(1)+f(2)]=1 012×(-1+1) =0,则 选 项 C 正 确。 而 [f (x)]2 + fx+ 1 2 2 =[cos πx]2+ cos πx+ 1 2 2 =cos2πx+cos2 πx+ π 2 =cos2πx+sin2πx =1,则选项D正确。故选ACD。 点评:抓住题设条件中抽象函数所满足 的关系式与两角和与差的余弦公式及其综合 应用相一致的特征,联想并合理构建特殊的 余弦型函数f(x)=cos ωx,为简单快捷处理 问题创造条件。理解并掌握三角恒等变换公 式,成为利用特殊化思维解决该类问题的一 种快捷方式,也为问题的优化解决创造更加 理想的空间。 三、构建特殊的三角线性组合型函数 抽象函数满足的关系式为f(x+y)+ f(x-y)=2f(x)cos y,其结构特征恰好吻 合正弦与余弦的线性组合公式,巧妙联想,合 理构建特殊的三角线性组合型函数f(x)= asin x+bcos x 加以综合应用。 例 3 (多选题)已知函数f(x)的定义 域为 R,若满足 f(x+y)+f(x-y)= 2f(x)cos y,且 f(0)=0,f π 2 =1,则 ( )。 A.f(x)为奇函数 B.f π 4 =12 C.f(x)为周期函数 D.f(x)在(0,π)内单调递减 分析:根据题设条件,抓住抽象函数所满 足的关系式,挖掘其对应的结构特征,其恰好 吻合正弦与余弦的线性组合公式,进而构建 特殊的三角线性组合型函数f(x)=asin x +bcos x,利用条件的加持确定对应的参数, 进而确定与之对应的函数解析式,结合三角 函数的图像与性质来分析与判断。 解:依题意,构建特殊的三角函数f(x) =asin x+bcos x。结 合 f(0)=0,可 得 f(0)=asin 0+bcos 0=b=0。又f π 2 = 1,可得f π 2 =asinπ2+bcosπ2=a=1,所 以函数 f(x)=sin x 满足条件。由函数 f(x)=sin x 的图像与性质,可知函数f(x) 是奇函数,f π 4 = 22,f(x)是周期为2π的 周期函数,f(x)在 0, π 2 内单调递增,在 π 2 ,π 内单调递减。故选AC。 点评:根据题设条件,抓住此类抽象函数 问题所对应的结构形式与特征规律,凭借解 题经验或直觉思维,合理确定对应的正弦与 余弦函数的线性组合关系式f(x)=asin x +bcos x,进而结合待定系数法来确定参数 值,从而求出抽象函数所满足的解析式。 总之,对于此类抽象函数的场景创设与 综合应用问题,常见的思维方式是赋值归纳 法,但解题过程往往比较繁杂,会浪费比较多 的时间。而相比于赋值归纳法,特殊三角函 数模型及其他相关函数模型的构建与应用更 加有效,更加具体化,由具体函数直接验证选 项,可以“一招破敌”,特别是在考试中可以大 胆尝试,当然最好能严格证明一下,确保严谨 性。 (责任编辑 王福华) 71 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年10月