内容正文:
■江苏省淮州中学 张月娥
向量的投影与投影向量是平面向量知识
中非常重要的基本概念,给解决平面向量的
数量积及其他相关应用问题提供一种实用的
工具,成为解决问题的一种特殊技巧方法。
当问题中涉及的几何图形有垂直条件或隐含
垂直信息时,尤其是在垂足确定的条件下,比
较常见的几何模型有三角形中的直角三角
形、三角形的外心,平行四边形中的菱形对角
线,圆中的直径所对的圆周角等,经常可以采
用投影来合理转化,利用直观形象解决数量
积的综合应用问题。
一、概念的识别
已知两个非零向量a,b 的夹角为θ,θ∈
[0,π],则向量a 在向量b 上的投影向量为
|a|cos
θ·
b
|b|=
|a|b
|b|cos
θ,向量b在向量a
上的投影向量为|b|cos
θ·
a
|a|=
|b|a
|a|cos
θ。
例 1 已知向量a,|a|=2,e为单位向
量,这两个向量的夹角为π
3
,则向量a在向量
e上的投影向量为 ;向量e在向量a上的
投影向量为 。
解析:依题意,结合投影向量的概念与计
算公式,可知向量a在向量e上的投影向量为
|a|cos
π
3
·e=e;向量e在向量a上的投影向
量为|e|cos
π
3
·a
|a|=
1
4a
。故填e,
1
4a
。
点评:涉及概念问题,要分清投影、投影
向量、投影数量等几个不同概念之间的区别
与联系,
同时还要明确“向量a 在向量b 方
向上的投影”与“向量b在向量a方向上的投
影”的区别,不要混淆。
二、数量积的求值
借助投影与投影向量的概念与计算公
式,依托平面几何图形的直观与实质,通过数
形结合来求解对应平面向量的数量积的值,
合理回避平面向量之间的夹角情况,快速求
解相应的数量积。
图1
例 2 如图1所示,
在平行四边形 ABCD 中,
AP⊥BD,P 为 垂 足,且
AP=1,则 AP→ ·AC→ =
。
解析:依题意,过C 作AP 延长线的垂线
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年10月
CE,垂足为E,则 AC→ 在AP→ 上的投影向量
图2
为 AE→,如 图 2 所 示。又
AP=1,O 为AC 的中点,
结合 平 面 几 何 性 质 可 得
AE=2。利用投影法可得
AP→·AC→=|AP→|·|AE→|
=2。故填2。
点评:在利用投影思维求解平面向量的
数量积时,经常要通过几何视角加以直观想
象,借助几何直观图形,依托垂直关系,结合
投影向量的概念与计算公式来直接求解相应
的数量积的值。这里往往离不开平面几何的
性质与应用等。
三、数量积的范围
借助投影与投影向量的概念与计算公
式,通过几何图形直观,利用一个向量的变化
情况,以及与之相关的投影向量的变化规律,
借助端点思维来确定数量积的极端值,进而
确定相应平面向量的数量积的最值(或取值
范围)。
例 3 已知菱形ABCD 的边长为2,P
是其内部一点,若∠BAD=120°,则 AP→·
AB→ 的取值范围是( )。
A.(-2,4) B.(-2,2)
C.(2,4) D.(-4,2)
解析:依题意,设AP→ 与AB→ 的夹角为θ,
图3
则AP→ 在AB→ 上的投影向量
为|AP→|cos
θ。如图3所示,
结合图形加以直观分析,当点
P 与点B 重合时,AP→·AB→
=4;当点P 与点D 重合时,
AP→·AB→=-2。因为点 P 在菱形ABCD
内,所以 AP→·AB→∈(-2,4),即 AP→·AB→
的取值范围是(-2,4)。故选A。
点评:在利用投影思维解决平面向量的数
量积的最值(或取值范围)时,必须清楚动点所
对应的向量在另一个确定的向量的方向上的
投影向量及其变化情况,利用变化中的极端场
景来分析最值或极值的取值情况,进而合理确
定相应数量积的最值(或取值范围)。
四、参数的应用
借助投影与投影向量的概念与计算公
式,合理通过平面向量的数量积的转化与应
用,给相关参数关系式的确定与求值提供条
件,这也是平面向量的数量积与投影向量等
综合应用的一个重要方向。
例 4 古希腊数学家特埃特图斯(The-
图4
aetetus)利用如图4所示的直
角三角形来构造无理数。已知
AB=BC=CD=2,AB⊥BC,
AC⊥CD,若 DO→ =λAB→ +
μAC
→,则λ2+μ2=( )。
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:在△ABC 中,由 AB⊥BC,AB=
BC=2,可知∠ACB=45°。在△BCD 中,由
OC⊥CD,BC=CD=2,可知∠DCB=90°+
45°=135°,∠BDC=∠DBC=22.5°。又因
为tan
45°=
2tan
22.5°
1-tan222.5°
=1,所以tan
22.5°
= 2-1(负值舍去)。设AC 与BD 交于点
O,则OC=DC·tan
22.5°=2(2-1)。又
DO→=λAB→+μAC→,则有 DO→·DC→=λAB→·
DC→+μAC→·DC→,结合投影向量与几何直观
可得2×2=λ×2×
2
2×2
,解得λ= 2。又
有DO→·CO→=λAB→·CO→+μAC→·CO→,结合
投影向量与几何直观得4(2-1)2=λ×2×
(2-1)× -
2
2 ×2-μ×22×2(2-
1),解得μ=-1。所以λ2+μ2=2+1=3。
故选C。
点评:在利用投影思维解决平面向量中
的参数值时,往往需要借助平面向量的线性
运算与数量积运算之间的转化与变形,合理
选取相应的向量来构建对应的数量积,结合
投影向量与几何直观想象,给问题的破解提
供一个全新的场景与应用。
向量的投影与投影向量,有“数”的基本属
性,也有“形”的结构特征,给解决平面向量的
数量积及其他相关应用问题开拓更加宽广的
空间,同时以其特殊的概念、公式等,给平面向
量相关问题以“数”与“形”的巧妙结合,为更加
多样的应用提供丰富多彩的场景。
(责任编辑 王福华)
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2024年10月