03 解三角形中的最值与取值范围问题的多角度命制-《中学生数理化》高考数学2024年10月刊

■安徽省霍邱县第一中学 甘晓兵 余其权(特级教师) 解三角形中的最值与取值范围问题的命 制具有一定的新颖性、综合性和创新性,能够 有效地考查同学们分析与解决问题的能力, 是解三角形专题中的重点与难点。试题常常 从角度、边长、周长、面积等维度进行命制。 下面归纳几种常见的题型,帮助同学们把握 命题趋势,达到精准备考及提高备考效率的 目的。 角度一、与角度有关的取值范围问题 例 1 记△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,已知bsin B+csin C- asin A=2bsin Bsin C 且C≠ π 2 。 (1)求证:B=A+ π 2 ; (2)求cos A+sin B+sin C的取值范围。 解析:(1)已知bsin B+csin C-asin A =2bsin Bsin C,由正弦定理得b2+c2-a2= 2bcsin B,由余弦定理得b2+c2-a2=2bc· cos A=2bcsin B,所以cos A=sin B。 又 因 为 cos A =sin π2-A ,所 以 sin π2-A =sin B。 因为0<A<π,0<B<π,所以 π 2-A= B 或 π 2-A+B=π ,所 以 A+B= π 2 或 B=A+ π 2 。 又因为C≠ π 2 ,所以A+B=π-C≠ π 2 , 所以B=A+ π 2 ,结论得证。 (2)由(1)知 B=A+ π 2 ,所以C=π- A-B= π 2-2A 。 由(1)知cos A=sin B,则cos A+sin B +sin C=2sin B+sin C=2sinA+ π 2 + sin π2-2A =2cos A+cos 2A=2cos2 A+ 2cos A-1=2cos A+ 1 2 2 - 3 2 。 因为 0<A<π, 0<B=A+ π 2<π , 0<C= π 2-2A<π , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以0<A< π 4 ,所以 2 2<cos A<1。 因为 函 数 y=2cos A+ 1 2 2 - 3 2 在 cos A∈ 2 2 ,1 上 单 调 递 增, 所 以 2× 2 2+ 1 2 2 - 3 2= 2<2cos A+ 1 2 2 - 3 2<2× 1+ 1 2 2 - 3 2=3 ,即cos A+sin B +sin C 的取值范围为(2,3)。 角度二、与边长有关的最值问题 例 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 的 对边分别为a,b,c,且1+cos 2C=cos 2A+ cos 2B-2sin Asin B。 (1)求角C; (2)若c=5,D 为边AB 上一点,∠ACD =∠BCD,求CD 的最大值。 解析:(1)因为1+cos 2C=cos 2A+ 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年10月 cos 2B-2sin Asin B,所以2-2sin2C=1- 2sin2A+1-2sin2B-2sin Asin B,化简得 sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B。 由正弦定理得a2+b2-c2=-ab。 由余 弦 定 理 得cos C= a2+b2-c2 2ab = - 1 2 。 因为C∈(0,π),所以C= 2π 3 。 (2)由(1)知∠ACB= 2π 3 ,所以∠ACD= ∠BCD= π 3 。又S△ABC=S△ACD+S△BCD,所以 1 2absin∠ACB= 1 2a ·CD·sin∠BCD+ 1 2b ·CD·sin∠ACD,化简整理得ab=a· CD+b·CD,所以CD= ab a+b 。 由(1)得a2+b2+ab=25,即(a+b)2- ab=25,又 ab≤ a+b2 2 ,得 (a+b)2 - a+b 2 2 ≤25,解得a+b≤ 103 3 ,当且仅当 a=b= 53 3 时取等号。 又因为a+b>5,所以5<a+b≤ 103 3 。 而CD= ab a+b= (a+b)2-25 a+b =a+b- 25 a+b ,且是关于a+b的增函数,则当a+b= 103 3 时,CD 的最大值为 53 6 。 角度三、与周长有关的取值范围问题 例 3 已知向量a=(3sin x,cos x), b=(1,1),函数f(x)=a·b。 (1)求函数f(x)在[0,π]上的值域; (2)若△ABC 的内角A,B,C 所对的边 分别为a,b,c,且f(A)=2,a=1,求△ABC 的周长的取值范围。 解析:(1)由题意得,f(x)=a·b= 3sin x+cos x=2sinx+ π 6 。又x∈[0, π],则 x+ π 6 ∈ π 6 ,7π 6 ,sin x+π6 ∈ - 1 2 ,1 ,所以f(x)=2sinx+π6 在[0, π]上的值域为[-1,2]。 (2)由(1)得f(A)=2sinA+ π 6 =2, 所以sinA+ π 6 =1。又因为A∈(0,π),所 以A+ π 6= π 2 ,所以A= π 3 。 在△ABC 中,由余弦定理得1=a2=b2 +c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2- 3bc≥(b+c)2- 3(b+c)2 4 = (b+c)2 4 ,当且仅 当b=c=1时取等号,所以0<b+c≤2。 又因为b+c>a=1,所以1<b+c≤2, 所以2<b+c+a≤3,所以△ABC 的周长的 取值范围为(2,3]。 角度四、与面积有关的取值范围问题 例 4 已知在锐角△ABC 中,内角A, B,C 的对边分别是a,b,c,且(2a-b)· cos C=ccos B。 (1)求角C 的大小; (2)若a=2,求△ABC 的面积S 的取值 范围。 解析:(1)由 题 意 及 正 弦 定 理 可 得 2sin Acos C-sin Bcos C=sin Ccos B,即 2sin Acos C=sin Bcos C+sin Ccos B= sin(B+C)。 因为A+B+C=π,所以2sin Acos C= sin(B+C)=sin A。 因为A∈ 0, π 2 ,所以sin A>0,所以 cos C= 1 2 。 又因为C∈ 0, π 2 ,所以C=π3。 (2)由(1)得sin B=sinA+ π 3 。 由 正 弦 定 理 a sin A = b sin B ,得 b= 2sinA+ π 3 sin A 。 01 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年10月 所 以 S = 1 2 absin C = 3 2 b = 3sinA+ π 3 sin A = 3 2+ 3 2tan A 。 因 为 △ABC 是 锐 角 三 角 形,所 以 0<A< π 2 , 0< 2π 3-A< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 π 6 <A < π 2 ,所 以 tan A> 3 3 ,0< 3 2tan A< 33 2 。 从而S△ABC∈ 3 2 ,23 。 角度五、与具体表达式有关的取值范围 问题 例 5 在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且△ABC 的面积S= bc(1-cos A),则 a2 bc 的取值范围为( )。 A.45 ,+∞ B.45,1615 C.45 ,32 35 D.3235,1615 解析:由三角形面积公式S= 1 2bcsin A, 结合S=bc(1-cos A),可知 1 2sin A=1- cos A,即sin A=2(1-cos A)。 因为sin2A+cos2A=1,所 以 4(1- cos A)2+cos2A=1,即5cos2A-8cos A+ 3=0,解得 cos A= 3 5 , sin A= 4 5 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 cos A=1, sin A=0 (舍去)。 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可 得 a2 bc= b2+c2-2bccos A bc = b c+ c b-2cos A = b c+ c b- 6 5 。 令t= b c ,则a 2 bc= b c+ c b- 6 5=t+ 1 t- 6 5 ,故只需求出t的范围即可。 由正弦定理将边化角得t= b c= sin B sin C= sin[π-(A+C)] sin C = sin(A+C) sin C = sin Acos C+cos Asin C sin C = sin A tan C+cos A= 4 5tan C+ 3 5 。 注意到,在锐角△ABC 中,有 A+C> π 2 ,所以0< π 2-A<C< π 2 。 因为正切函数y=tan x 在 0, π 2 上单 调 递 增,所 以 tan C >tan π2-A = sin π2-A cosπ2-A = cos A sin A= 3 5 4 5 = 3 4 ,从而3 5<t= 4 5tan C+ 3 5< 4 5× 3 4 + 3 5= 5 3 。 因为 函 数 a2 bc=t+ 1 t - 6 5=f (t)在 3 5 ,1 上单调递减,在 1,53 上单调递增,所 以 4 5=f (1)≤f(t)<maxf 3 5 ,f 53 = max1615 ,16 15 =1615。 综上可得,a 2 bc 的取值范围为 4 5 ,16 15 。 通过以上例题我们可以发现,对于解 三角形中的最值与取值范围问题,通常有 下列解题途径:(1)利用基本不等式求取值 范围或最值;(2)利用三角函数求取值范围 或最值;(3)利用三角形中的不等关系求取 值范围或最值;(4)根据三角形解的个数求 取值范围或最值;(5)利用二次函数求取值 范围或最值。通常要建立所求量(式子)与 已知角或边的关系,然后把角或边作为自 变量,所求量(式子)的值作为函数值,转化 为函数关系,将原问题转化为求函数的值 域或最值问题。同时要利用条件中的范围 限制,以及三角形自身范围的限制,要尽量 把角或边的范围(也就是函数的定义域)找 完善,避免结果的范围过大。 (责任编辑 王福华) 11 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年10月