02 向量交汇题的多角度命制-《中学生数理化》高考数学2024年10月刊

■江苏省南京市金陵中学河西分校 王巧锋 平面向量是衔接代数与几何的纽带,是 沟通“数”与“形”的典范。向量运算有着丰富 的背景和几何意义,所以向量经常穿插、渗 透、融合到其他知识点,向量的交汇题已经成 为各种命题试卷中的一道亮丽风景。本文介 绍向量交汇题的常见命题角度。 角度一、平面向量与函数或不等式的交汇 图1 例 1 如图1,在△ABC 中,点D 满足BD→=34BC →,点 E 在射线AD(不含点 A)上 移动,若 AE→=λAB→+μAC→, 则(μ+2)2+λ2 的取值范围是( )。 A.[4,+∞) B.(4,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 解析:由点E 在射线AD(不含点A)上, 可设AE→=kAD→,k>0。 因为 BD→=34BC →,所以 AE→=k(AB→+ BD→)=k AB→+34(AC →-AB→) =k4AB→+ 3k 4AC →,于是 λ= k 4 , μ= 3k 4 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 因此t=(μ+2)2+λ2= 3k 4+2 2 + 1 16k 2 = 5 8k 2+3k+4>4,所以(μ+2)2+λ2 的取值 范围是(4,+∞)。 故选B。 例 2 已 知△ABC 中,AB→=(2m, m+5),AC→=(cos α,sin α),m,α∈R。若对 任意的实数t,都有|AB→-tAC→|≥|AB→- AC→|恒成立,则BC 边的最小长度是( )。 A.10 B.15 C.19 D.25 解析:设AD→=tAC→,因为对任意的实数 t,都有|AB→-tAC→|≥|AB→-AC→|恒成立,即 |AB→-tAC→|=|AB→-AD→|=|DB→|≥|CB→| 恒成立,则AC⊥BC,如图2所示。 图2 因为 AB→=(2m,m+5), AC→=(cos α,sin α),所以|AB→| = 5(m+1)2+20,|AC→|=1, 所 以|BC→|= |AB→|2-|AC→|2 = 5(m+1)2+20-1≥ 20-1= 19,当且仅当m=-1时,等号成立。 故选C。 评注:通 过 设 AD→=tAC→,得 到|AB→- tAC→|=|DB→|≥|CB→|恒成立,从而得出 AC ⊥BC,这是解决本题的关键。 备考策略:平面向量与函数、不等式等知 识的交汇大多考查向量数量积运算公式的应 用,以及函数恒成立问题的求解,通过合理运 算、化简,转化为与二次函数相关的图像与性 质的应用问题进行解答,着重考查转化思想、 换元思想及数形结合思想。此类问题的解题 思路是转化为代数运算,其转化途径主要有 两种:一是利用向量平行或垂直的充要条件; 二是利用向量数量积的公式和性质。 角度二、平面向量与三角形元素的交汇 图3 例 3 如图3,在△ABC 中,O 是BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线AB,AC 于 不同的两点 M,N。若 AB→= mAM→,AC→=nAN→,求 m+n 的值。 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年10月 解析:连接 AO,则 AO→=12(AB →+AC→) = 1 2 (mAM→+nAN→)。 在 △AMO 中, MO→ = MA→ +AO→ = 1 2m-1 AM→+12nAN→。 在 △ANO 中, ON→ = NA→ +AO→ = 1 2mAM →+ 12n-1 AN→。 因 为 MO→ 与 ON→ 共 线, 所 以 1 2m-1 12n-1 -14mn=0,化简得m+ n-2=0,即m+n=2。 评注:这里选择 AM→ 与AN→ 为一组基向 量,将共 线 向 量 MO→ 与ON→ 表 示 为 AM→ 和 AN→ 的线性组合,利用共线向量的坐标满足 的条件得到关于m,n 的等式,进而求出代数 式m+n的值。 角度三、平面向量与圆锥曲线的交汇 例 4 已知曲线C 上的动点M 到y 轴 的距离比到点F(1,0)的距离小1 。 (1)求曲线C 的方程。 (2)过点F 作弦PQ,RS, 设PQ,RS 的 中点分别为A,B。 若PQ→·RS→=0, 求当AB→ 取最小值时,弦PQ,RS 所在直线的方程。 (3)试问:是否存在定点 T,使得 AF→= λTB→-FT→? 若存在,请求出T 的坐标;若不 存在,请说明理由。 解析:(1)由题意知,动点 M 到点F(1, 0)的距离等于到直线x=-1的距离,所以曲 线C 是以F 为焦点,直线 x=-1为准线的 抛物线, 其方程为 y2=4x。 (2)设lPQ:y=k(x-1),代入y2=4x, 化简得k2x2-2(k2+2)x+k2=0。 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由韦达定理得 x1+x2= 2(k2+2) k2 ,x1x2=1,所 以 xA = x1+x2 2 = k2+2 k2 =1+ 2 k2 ,yA=k(xA-1)= 2 k ,所以A 1+ 2 k2 ,2 k 。 因为PQ→·RS→=0,所以PQ⊥RS。 只要将点A 坐标中的k 换成- 1 k ,可得 B (1 + 2k2,- 2k),所 以 |AB→ | = 1+ 2 k2 -(1+2k2) 2 + 2k+2k 2 = 4 k4 +4k4+ 4 k2 +4k2≥4,当且仅当 k=±1 时,等号成立。 所以当|AB→|取最小值时,弦PQ,RS 所 在直线的方程为y=±(x-1),即 x+y-1 =0或x-y-1=0。 (3) 因为AF→=λTB→-FT→,所以AF→+FT→ =λTB→,故AT→=λTB→,即A,T,B 三点共线, 所以问题转化为:是否存在定点T,使得AF→= λTB→-FT→,即探求直线AB 是否过定点。 由(2)知,直线 AB 的方程为 y+2k= -2k- 2 k 2k2+1- 2 k2 +1 (x-2k2-1),化简整理得 (1-k2)y=k(x-3),所以直线 AB 过定点 (3,0)。 所以存在定点T(3,0),使得AF→=λTB→ -FT→。 评注:对于平面向量与圆锥曲线的交汇试 题,应在对曲线的定义和性质理解的基础上进 行解答,因此,在熟练应用直线方程、圆锥曲线 的概念和性质的同时,由向量关系式列出方程 是后续应用韦达定理、函数的增减性等简化运 算的关键。同学们在备考时应注重以向量运 算作为突破口的综合解题能力的培养。 角度四、平面向量与三角函数的交汇 例 5 已知锐角△ABC 满足 AB= 23,∠C=60°,且O 为△ABC 的外接圆圆 心。若OC→=λOA→+μOB→,则2λ-μ 的取值 范围为( )。 A.(-2,1) B.(-1,2) C.[-2,2) D.(-2,2) 解析:如图4所示,由正弦定理得2R= c sin C= 23 sin 60°=4 ,所以R=2。 在△AOB 中,由余弦定理得cos∠AOB 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年10月 图4 = |OA|2+|OB|2-|AB|2 2|OA|·|OB| = 4+4-12 2×2×2=- 1 2 。 因为∠AOB∈(0°,180°), 所以∠AOB=120°。 又因为OC→=λOA→+μOB→,所以|OC→|2= λ2|OA→|2+μ2|OB→|2+2λμ·|OA→|·|OB→|· cos ∠AOB,即4=4λ2+4μ2-4λμ,即λ2+μ2 -λμ=1,所以 μ- λ 2 2 + 3λ 2 2 =1。 设 3 2λ=-sin α, μ- λ 2=-cos α, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则 λ=- 23 3sin α, μ=-cos α- 3 3sin α。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 又因 为 △ABC 为 锐 角 三 角 形,所 以 -1≤λ<0, -1≤μ<0, 即 -1≤- 23 3sin α<0, -1≤-cos α- 3 3sin α<0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 设 sin α = m,cos α = n,则 有 -1≤- 23 3 m<0 , -1≤-n- 3 3m<0 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 所以2λ-μ=- 43 3 sin α+cos α+ 3 3sin α=- 3sin α+cos α=- 3m+n= 2× - 23 3 m - -n- 33m ∈(-2,1)。 故选A。 评注:在解决平面向量与三角函数的交汇创 新试题时,同学们应关注向量的平行四边形法则、 同角三角函数的关系、三角函数的恒等变形、正弦 定理、基本不等式等知识,兼顾引参、消元、化归、 数形结合等数学思想,可以借助类比对照的方法, 提升学习新知识的能力,培养创新意识。 角度五、平面向量与新定义的交汇 例 6 若 P 为△ABC 所在平面内一 点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则 P 叫作△ABC 的费马点。当三角形的最大 角小于120°时,可以证明费马点就是“到三角 形的三个顶点的距离之和最小的点”,即PA +PB+PC 最小。已知O 是边长为2的正 △ABC 的费马点,D 为BC 的中点,E 为BO 的中点,则AC→·DE→= 。 图5 解析:如图5,设正△ABC 的 中 心 为 O',则 ∠BAO'= ∠CAO'=∠ACO'=∠BCO' =∠CBO'=∠ABO'=30°,故 ∠AO'B=∠AO'C=∠BO'C =120°,所以O'为△ABC 的费 马点。 图6 结合已知条件可知点O 与点O'重合,如图6,以D 为 原点,DC→,DA→ 为x 轴,y 轴 的正方向,建立平面直角坐 标系,则A(0,3),C(1,0), D(0,0),O 0, 3 3 ,B(-1, 0),E - 1 2 ,3 6 ,所以 AC→=(1,- 3),DE→ = - 1 2 ,3 6 ,所以AC→·DE→=1× -12 + (- 3)× 3 6=-1 。 故填-1。 评注:新定义主要是指即时定义的新概 念、新公式、新定理、新法则、新运算,然后根 据此新定义去解决问题,有时还需要用类比 的方法去理解新定义。但是,透过现象看本 质,试题考查的还是数学基础知识,所以说 “新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变 应万变才是制胜法宝。 通过上述交汇探索,以平面向量知识作为 交汇点设计的高考试题,运用了知识之间的交 叉、渗透和组合,是基础性与综合性的最佳表现 形式。随着对平面向量的认识深入,知识积累 增多,各部分知识在各自发展中的纵向联系以 及部分知识之间的横向联系日益密切,特别是 向量与解析几何、立体几何、函数、不等式等形 成一个广阔的知识联合体。因此,只要任取一 个知识单元,就有可能衍生、扩散,成为新颖、灵 活的综合交汇试题。 (责任编辑 王福华) 8 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年10月